표현(수학)

Representation (mathematics)

수학에서 표현은 수학적인 물체나 구조 사이의 유사성(또는 동등성)을 표현하는 매우 일반적인 관계다. 대략적으로 말하면, 수학적 객체의 집합 Y는 다른 집합 X를 나타낸다고 말할 수 있다. 단, 표현 객체들 사이에i 존재하는 특성과 관계들이 상응하는 표현 객체들i 사이에 존재하는 것에 어떤 일관된 방식으로 일치한다. 보다 구체적으로, 속성들의 집합 π이 주어진다. 그리고 관계, 일부 구조 X의 π 표기는 π을 보존하는 동형상 하의 X의 이미지인 구조 Y이다. 라벨 표현은 동형성 그 자체(집단 이론의 집단 동형성 등)에도 적용되기도 한다.[1][2]

표현 이론

아마도 이 일반적인 개념의 가장 잘 발달된 예는 벡터 공간의 선형 변환에 의한 대수 구조의 원소들의 표상을 연구하는 표현 이론이라 불리는 추상 대수학의 하위 분야일 것이다.[2]

기타 예

앞에서 논한 대수적 의미에서는 표현론이라는 용어가 잘 정립되어 있지만 수학 전반에 걸쳐 표현론이라는 용어가 많이 사용되고 있다.

그래프 이론

그래프 이론의 활성 영역은 그래프와 다른 구조들 사이의 이형성을 탐구하는 것이다. 이러한 문제의 핵심 분류는 비방향 그래프에서의 인접성처럼 집합의 교차점(또는 더 정확히 말하면 비분리성)이 대칭 관계라는 사실에서 비롯된다. 이것은 무수한 집합의 가족을 위한 교차 그래프의 연구를 야기한다.[3] Paul Erd colleaguess와 그의 동료들 때문에 여기서 한 가지 기본적인 결과는 모든 n-vertex 그래프가 n2/4 이하의 크기 집합의 하위 집합들 사이의 교차점 측면에서 나타날 수 있다는 것이다.[4]

인접행렬과 라플라시안 행렬과 같은 대수적 구조로 그래프를 나타내는 것은 스펙트럼 그래프 이론의 장을 만들어낸다.[5]

순서론

모든 그래프가 교차로 그래프라는 위의 관측에 이중적인 것은 부분적으로 정렬된 모든 집합(일명 포셋이라고도 함)이 포함(또는 격납) 관계 ⊆에 의해 정렬된 집합 집합의 집합에 이형성이 있다는 사실이다. 개체의 자연 클래스에 대한 포함 순서에 따라 발생하는 일부 포셋에는 부울 래티와 차원 n의 순서가 포함된다.[6]

많은 부분적인 순서는 기하학적 물체의 집합에서 생겨나며 (따라서) 표현될 수 많은 부분 순서는 기하학적 물체의 집합에서 나타난다. 그 중에는 n볼 주문도 있다. 1볼 주문은 간격-접속 명령이며, 2볼 주문은 소위 서클 주문이다. 즉, 평면에 있는 디스크 사이의 격납 관점에서 표현 가능한 포지션이다. 이 분야에서 특히 좋은 결과는 정점-최점 입사 관계가 원 순서인 그래프처럼 평면 그래프의 특성화다.[7]

포함에 근거하지 않는 기하학적 표현도 있다. 실제로 이들 중 가장 잘 연구된 클래스 중 하나는 구간 순서인데,[8] 구간 순서로는 실제 선에서 구간의 불연속 우선 순위라고 할 수 있는 측면에서 부분 순서를 나타낸다. 포셋의 각 요소 x는 구간 [x12, x]로 표시된다. 즉, 포셋의 y와 z에 대해 y가 z 이하인 경우만 해당된다21.

논리학

논리학에서 관계 구조로서의 알헤브라의 대표성은 대수학과 관계 의미론의 등가성을 증명하기 위해 종종 사용된다. 스톤이 부울 알헤브라를 세트장으로 표현한 점, 에스아키아가 헤잉 알헤브라를 세트장으로 표현한 점,[9][10] 대표 가능한 관계 알헤브라와 원통형 알헤브라에 대한 연구 등이 그 예다.[11]

폴리세미

특정한 상황에서, 단일 함수 f : X → Y는 동시에 X의 여러 수학 구조에서 나온 이형성이다. 그러한 각각의 구조는 직관적으로 이미지 Y의 의미(Y가 우리에게 말하고자 하는 것 중 하나)로 생각할 수 있기 때문에, 이러한 현상을 언어학에서 차용한 용어인 폴리세미라고 한다. 폴리세미의 일부 예는 다음과 같다.

  • 그래프 G1과 G2의 공통적인 꼭지점에 교차점이다 polysemy—pairs 동시에 sets Sv의 단일 컬렉션, 만일 해당 세트(수애 ∩ Sw ≠ Ø)교차가 V에 뚜렷한 vertices 너와 wG1에 있고, 인접 등에 의해 G2에 만일 그 보완 역할을 하니(SuC ∩ SwC ≠ 바로 인접해 있표시할 수 있V을 세웠다.Ø).[12]
  • 경쟁 폴리세미—종 한 쌍이 공통의 먹이를 가지고 있거나 공통의 포식자를 가지고 있을 수 있는 생태학적 먹이사슬의 연구에 의해 입증되었다. 만일 하나 그래프 D는 같은 꼭지점 집합에 상태 등이 없는 뚜렷한 vertices 너 그리고 vG1에 바로 인접해 있고만 한다면 꼭지점 w두 uw과 vw Darcs고 있다 만일이 w등 월은 꼭지점은 그래프 G1과 G2의 한 꼭지점 세트에 한쌍 경쟁,,, 및 G2에 근접해 있거든, 다의어의 있다.bo에th wu와 wv는 D의 호이다.[13]
  • 구간 폴리세미—실제1 구간의 단일 집합으로 동시에 나타낼 수 있는 공통의 지면 집합에서 P와1 P의2 구간 순서 표현과 P의2 구간 결합 표현.[14]

참고 항목

참조

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Group Representation". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-12-07.
  2. ^ a b Teleman, Constantin. "Representation Theory" (PDF). math.berkeley.edu. Retrieved 2019-12-07.{{cite web}}: CS1 maint : url-status (링크)
  3. ^ McKee, Terry A.; McMorris, F. R. (1999), Topics in Intersection Graph Theory, SIAM Monographs on Discrete Mathematics and Applications, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, doi:10.1137/1.9780898719802, ISBN 978-0-89871-430-2, MR 1672910
  4. ^ Erdős, Paul; Goodman, A. W.; Pósa, Louis (1966), "The representation of a graph by set intersections", Canadian Journal of Mathematics, 18 (1): 106–112, CiteSeerX 10.1.1.210.6950, doi:10.4153/cjm-1966-014-3, MR 0186575
  5. ^ Biggs, Norman (1994), Algebraic Graph Theory, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45897-9, MR 1271140
  6. ^ Trotter, William T. (1992), Combinatorics and Partially Ordered Sets: Dimension Theory, Johns Hopkins Series in the Mathematical Sciences, Baltimore: The Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-4425-6, MR 1169299
  7. ^ Scheinerman, Edward (1991), "A note on planar graphs and circle orders", SIAM Journal on Discrete Mathematics, 4 (3): 448–451, doi:10.1137/0404040, MR 1105950
  8. ^ Fishburn, Peter C. (1985), Interval Orders and Interval Graphs: A Study of Partially Ordered Sets, Wiley-Interscience Series in Discrete Mathematics, John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-81284-5, MR 0776781
  9. ^ 마샬 H. 스톤 (1936) "부울 알헤브라의 표현 이론," 미국수학회의 거래 40: 37-111
  10. ^ Esakia, Leo (1974). "Topological Kripke models". Soviet Math. 15 (1): 147–151.
  11. ^ Hirsch, R.; Hodkinson, I. (2002). Relation Algebra by Games. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. Vol. 147. Elsevier Science.
  12. ^ Tanenbaum, Paul J. (1999), "Simultaneous intersection representation of pairs of graphs", Journal of Graph Theory, 32 (2): 171–190, doi:10.1002/(SICI)1097-0118(199910)32:2<171::AID-JGT7>3.0.CO;2-N, MR 1709659
  13. ^ Fischermann, Miranca; Knoben, Werner; Kremer, Dirk; Rautenbachh, Dieter (2004), "Competition polysemy", Discrete Mathematics, 282 (1–3): 251–255, doi:10.1016/j.disc.2003.11.014, MR 2059526
  14. ^ Tanenbaum, Paul J. (1996), "Simultaneous representation of interval and interval-containment orders", Order, 13 (4): 339–350, CiteSeerX 10.1.1.53.8988, doi:10.1007/BF00405593, MR 1452517