확률의 고전적 정의

확률의 고전적 정의나 해석은 제이콥 베르누이와 피에르 시몬 라플레이스의 작품으로 확인된다^[1].라플레이스의 Téory 분석 des probabilités에 언급된 바와 같이,

사건의 확률은 그것에 유리한 경우의 수와 가능한 모든 경우의 수의 비율로, 이 사건들 중 어떤 것이든 다른 어떤 사건보다 더 많이 발생해야 한다고 우리가 예상할 수 없을 때, 우리를 위해 동등하게 그들을 렌더링한다.

이 정의는 본질적으로 무관심의 원칙의 결과물이다.기초 사건이 동일한 확률을 할당받는 경우, 기초 사건의 분리 확률은 분리 내의 사건 수를 기초 사건의 총 수로 나눈 값일 뿐이다.null

확률에 대한 고전적인 정의는 존 벤과 조지 불 등 19세기의 몇몇 작가들에 의해 문제시 되었다.^[2]확률에 대한 빈번한 정의는 그들의 비판의 결과로서, 특히 R.A.의 작품을 통해 널리 받아들여지게 되었다. 피셔고전적 정의는 베이지안 확률에 대한 일반적인 관심 때문에 종류의 부활을 누렸다. 베이시안 방법은 사전 확률 분포를 필요로 하고 무관심의 원칙은 그러한 분포의 한 근원을 제공하기 때문이다.고전적 확률은 실험을 수행하기 전에 종종 적절해 보이는 무지를 반영하는 사전 확률을 제공할 수 있다.null

역사

수학 과목으로서 확률 이론은 매우 늦게 일어났다. 예를 들어 기하학과 비교했을 때, 우리는 전 세계의 문화에서 온 주사위를 가지고 놀았다는 선사시대의 증거를 가지고 있음에도 불구하고 말이다.^[3]개연성 있는 초기 작가들 중 한 명은 제롤라모 카르다노였다.그는 아마도 고전적 개연성에 대해 알려진 가장 초기 정의를 내놓았다.^[4]null

확률의 지속적인 발전은 1654년 블레즈 파스칼이 같은 해 초 여행 중 우연히 동행하게 된 체발리에 드 메레로부터 들은 우연의 게임에 관한 두 가지 문제에 대해 아버지의 친구 피에르 드 페르마트와 어느 정도 서신 왕래를 하면서 시작되었다.한 가지 문제는 소위 포인트의 문제였는데, 이미 그 당시 고전적인 문제인 1494년 루카 파키올리가,^[5] 1400년^[5] 익명의 원고에서 다루어졌는데, 당면한 게임이 반쯤 중단되었을 때 어떻게 하면 위태롭게 있는 돈을 공평하게 나눌 수 있을까 하는 문제를 다루었다.또 다른 문제는 주사위 게임을 하나의 주사위를 사용하는 것에서 두 개의 주사위를 사용하는 것으로 확장할 때 붙지 않는 것처럼 보이는 수학적인 엄지손가락 법칙에 관한 것이었다.이 마지막 문제, 즉 역설은 메레 자신이 발견되어, 수학을 현실에 적용하는 것이 얼마나 위험한가를, 그에 따르면 보여주었다.^[5][6]그들은 메레가 그의 일반적인 철학적 관점을 강화하고 있다고 생각했던 다른 수학-철학적 문제와 역설들을 여행 중에 토론했다.null

파스칼은 수학을 아름답고 흠잡을 데가 없지만 현실과 잘 연결되지 않는 존재로 보는 메레의 견해에 동의하지 않고, 이 두 문제를 순수한 수학 안에서 풀어서 메레가 틀렸다는 것을 증명해 보이기로 결심했다.이미 저명한 수학자로 인정받은 페르마도 같은 결론에 도달했다는 사실을 알게 되었을 때, 그는 그들이 그 문제들을 결정적으로 해결했다고 확신했다.이 서신은 특히 당시 다른 학자들 사이에 회자되었으며, 특히 후이겐스, 로베르발, 간접적으로 카라무엘에게 회자되었으며,^[5] 일반적으로 수학자들이 운수 게임에서 문제를 연구하기 시작한 시발점이 된다.그 서신은 "가능성"을 언급하지 않았다; 그것은 공정한 가격에 초점을 맞췄다.^[7]null

반세기가 지난 후, 제이콥 베르누이는 확률에 대한 정교한 파악을 보여주었다.그는 순열과 조합이 있는 설비를 보여주었고, 고전적 정의를 벗어난 사례(개인적, 사법적, 재정적 결정 등)로 확률 개념을 논의했으며, 재판 횟수가 증가함에 따라 불확실성이 감소되는 반복적인 재판에 의해 확률을 추정할 수 있음을 보여주었다.^[7][8]null

디데롯과 달렘베트의 고전 백과사전 1765권에는 그 때까지의 확률과 지식의 요약에 대한 장황한 논의가 담겨 있다."자연 자체에 대한 고려에서 도출된" 확률(물리적)과 "우리가 미래에 대한 결론을 자신 있게 도출할 수 있는 과거의 경험에 근거한 확률"(이명적)을 구별한다.^[9]null

확률에 대한 명확하고 지속적인 정의의 근원은 라플라스였다.1814년까지 그는 다음과 같이 말했다.

우연의 이론은 같은 종류의 모든 사건을 그 존재에 관해서 우리가 똑같이 결정하지 못하고 있을 수 있는 경우와 마찬가지로 가능한 일정한 수의 사례로 축소하고, 그 확률을 추구하는 사건에 유리한 경우의 수를 결정하는 데 있다.가능한 모든 경우의 수에 대한 이 숫자의 비율은 이 확률의 척도로, 따라서 분자가 유리한 경우의 수이고 분모가 가능한 모든 경우의 수인 분수에 지나지 않는다.

— Pierre-Simon Laplace, A Philosophical Essay on Probabilities^[10]

이 설명은 궁극적으로 확률의 고전적 정의를 제공하는 것이다.라플레이스는 반세기 동안의 확률에 대해 여러 개의 문서(기술 및 대중화)를 여러 판으로 발행했다.그의 전임자들(카르다노, 베르누이, 베이즈)은 사후에 하나의 문서를 발표했다.null

비판

확률의 고전적 정의는 동전, 카드, 주사위에 자연적인 물리적 대칭에 근거한 사건에 동일한 확률을 할당한다.null

• 일부 수학자들은 그 정의가 순환적이라고 반대한다.^[11]"공정한" 동전의 가능성은..."공정한" 동전은 ...의 확률로 정의된다.
• 그 정의는 매우 제한적이다.그것은 물리적 대칭성이 존재하지 않는 경우에 대해서는 아무 말도 하지 않는다.예를 들어, 보험료는 측정된 손해율에 의해서만 합리적으로 가격을 책정할 수 있다.
• 가장 단순하고 가장 이상화된 사례(문제 제한 정의의 확장)를 제외하고는 무관심의 원칙을 정당화하는 것은 사소한 일이 아니다.동전은 정말로 대칭적이지 않다.우리는 각 측면에 동일한 확률을 부여할 수 있는가?우리는 어떤 실제 세계 경험에도 동일한 확률을 부여할 수 있는가?

그러나 그 정의에는 상당한 신뢰가 수반된다.고전적 확률에서 현저한 이탈을 관찰하는 카지노는 그 가정이 위반되었다고 자신한다(어떤 사람들은 부정행위를 하고 있다).^{[citation needed][disputed – discuss]}확률의 수학의 많은 부분이 이 단순한 정의에 기초하여 개발되었다.확률에 대한 대안적 해석(예: 빈번론적, 주관적)도 문제가 있다.null

수학 확률 이론은 어떤 확률 해석의 한계와 철학적 복잡성을 피해 추상화를 다룬다.null

참조

• 피에르 시몬 드 라플라스테오리 분석은 확률적이다.파리: 쿠르시어 인마메우르, 1812년.
• 피에르 시몬 드 라플라스Essai 철학 sur relesabilités, 제3판.파리: 쿠르시어 인마메우르, 1816년.
• 피에르 시몬 드 라플라스확률에 대한 철학적인 에세이.뉴욕: Springer-Verlag, 1995. (A에 의해 번역됨)1825년 제5판 프랑스판 I. 데일. 방대한 노트.)

외부 링크

• 포인트의 문제