퍼지 측도 이론

수학에서 퍼지 척도 이론은 첨가물 특성이 단성성의 약한 속성으로 대체되는 일반화된 척도를 고려한다. 퍼지 측정 이론의 중심 개념은 퍼지 통합의 맥락에서 1974년 수게노가 독자적으로 정의한 퍼지 측정(역시 용량, 참조)이다. 신뢰성/신뢰성 측정, 가능성/필요성 측정, 그리고 고전적 측정의 하위 집합인 확률 측정을 포함하여 다양한 종류의 퍼지 측정치가 존재한다.

정의들

Let ${\displaystyle \mathbf {X} }$ be a universe of discourse, ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ be a class of subsets of ${\displaystyle \mathbf {X} }$, and ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}$. A function ${\displaystyle g:{\mathcal {C}}\to \mathbb {R} }$ where

1. ${\displaystyle \empt \in {\mathcal {C}\Rightarrow g(\empt )=0}$
2. ${\displaystyle E\subseteq F\Rightarrow g(E)\leq g(F)}$

퍼지 척도라고 불린다. 퍼지 측정은 $g{\displaystyle }$( ${\displaystyle X\mathbf{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ g$(\mathbf {X} )=1}$이면 정규 또는 정규이라고 한다$.$

퍼지 측정값의 속성

퍼지 척도는 다음과 같다.

• additive if for any ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}$ such that ${\displaystyle E\cap F=\emptyset }$, we have ${\displaystyle g(E\cup F)=g(E)+g(F).$$}$;
• supermodular if for any ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}$, we have ${\displaystyle g(E\cup F)+g(E\cap F)\geq g(E)+g(F)}$;
• submodular if for any ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}$, we have ${\displaystyle g(E\cup F)+g(E\cap F)\leq g(E)+g(F)}$;
• superadditive if for any ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}$ such that ${\displaystyle E\cap F=\emptyset }$, we have ${\displaystyle g(E\cup F)\geq g(E)+g(F)}$;
• subadditive if for any ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}$ such that ${\displaystyle E\cap F=\emptyset }$, we have ${\displaystyle g(E\cup F)\leq g(E)+g(F)}$;
• $E{\displaystyle }$ ,${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \in }$ C ${\$$displaystyle$ $E,F\in {\mathcal{C$에 대해${\displaystyle E}$ = ${\displaystyle F}${\$displaystyle$E = $F$}이${\displaystyle (가}$)${\displaystyle }$g (${\displaystyle }$E ) = ${\displaystyle g}$ = g$(E)=g(F$을(가);
• Boolean ${\displaystyle 만약\mathcal{}}$ $E{\displaystyle }$ ∈${\displaystyle }$C ${\$ {C$}$에$$대해 $g{\displaystyle }$( ${\displaystyle \mathrm{E}}$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle$ g$(E)=0}$ $또는$ g ${\displaystyle (\mathrm{E}}$)${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle g(E)=1}$이 ${\displaystyle \mathrm{있다}}$$.$

퍼지 측정의 특성을 이해하는 것은 응용에 유용하다. 스게노 적분 또는 초케 적분 같은 함수를 정의하기 위해 퍼지 측정을 사용할 때, 이러한 특성은 함수의 동작을 이해하는 데 결정적일 것이다. 예를 들어, 첨가 퍼지 측정과 관련하여 통합된 Choquet는 Lebesgue 적분으로 감소한다. 이산형 경우 대칭 퍼지 측정은 순서가 지정된 가중 평균(OWA) 연산자를 발생시킨다. 서브모듈러 퍼지 측정은 볼록한 기능을 초래하는 반면, 초모듈러 퍼지 측정은 초케 적분을 정의하기 위해 사용될 때 오목한 기능을 초래한다.

뫼비우스 표현

g를 퍼지 측정으로 하자, g의 뫼비우스 표현은 설정 함수 M에 의해 주어진다. 여기서 모든 $E{\displaystyle }$, ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E,F\subseteq X}$에 대해$,$

${\displaystyle M(E)=\sum _{F\subseteq E}(1)^{ E\backslash F }g(F).}$

뫼비우스 표현에서 등가 공리는 다음과 같다.

1. ${\displaystyle M}$ (${\displaystyle \mathrm{\varnothing }}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ M$(\emptyet )=0}$.
2. ${\displaystyle \sum _{F\subseteq E i\in F}M(F)\geq 0}$, for all ${\displaystyle E\subseteq \mathbf {X} }$ and all ${\displaystyle i\in E}$

$\sum {\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{E}}$ ${\displaystyle \underset{}{\subseteq }}$ ${\displaystyle \underset{}{X}}$ ${\displaystyle M}$( E${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 1${\displaystyle \sum _{E\subseteq \mathbf {X}}M(E)=1$이면 Möbius 표현 M의 퍼지 척도가 정규화라고 한다$.$$}$

뫼비우스의 표현은 어떤 X의 하위 집합이 서로 상호작용을 하는 지표를 주기 위해 사용될 수 있다. 예를 들어, 가법 퍼지 척도는 단골격을 제외하고 모두 0과 동일한 뫼비우스 값을 가진다. 표준 표현에서 퍼지 측정값 g는 제타 변환을 사용하여 뫼비우스 형식에서 복구할 수 있다.

${\displaystyle g(E)=\sum _{F\subseteq E}M(F),\all E\subseteq \mathbf {X}.}$

퍼지 측정에 대한 단순화 가정

퍼지 측정은 X의 전력 세트만큼 세분화될 수 있는 집합 또는 단조로운 등급의 의미에 정의되며, 이산형 경우에도 변수 수는 2개까지 ^X 정의할 수 있다. 이러한 이유로, 다중 기준 의사결정 분석 및 기타 분야의 맥락에서 퍼지 측정에 대한 단순화 가정이 도입되어 결정 및 사용 비용이 계산적으로 덜 든다. 예를 들어 퍼지 ${\displaystyle \mathrm{측정치}}$가 가법적이라고 가정할 때, 퍼지 측정값은 $g{\displaystyle }$( E${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{i}}$ ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{g}}$(${\displaystyle }${${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \}}$) ${\displaystyle g(E)=\sum _{i\in E}g(\{i\})$이며, 퍼지 측정값은 X의 값에서 평가할 수 있다. 마찬가지로 대칭 퍼지 측정은 X 값으로 고유하게 정의된다. 사용할 수 있는 두 가지 중요한 퍼지 척도는 스게노^[2](Sugeno) 또는 $(Displaystyle \lambda)$-fuzzy$$ 척도와 grabisch(Grabisch^[3])가 각각 도입하는 k-addictive 척도다.

스게노 λ-측정

Sugeno $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda$} - 측정은$$ 반복적으로 정의된 퍼지 측정의 특별한 경우다. 그것은 다음과 같은 정의를 가지고 있다.

정의

Let ${\displaystyle \mathbf {X} =\left\lbrace x_{1},\dots ,x_{n}\right\rbrace }$ be a finite set and let ${\displaystyle \lambda \in (-1,+\infty )}$. A Sugeno ${\displaystyle \lambda }$-measure is a function ${\displaystyle g:2^{X}\to [0,1]}$ su라고 말하다.

1. ${\displaystyle \mathrm{g}}$( ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle g(X)=1$
2. if ${\displaystyle A,B\subseteq \mathbf {X} }$ (alternatively ${\displaystyle A,B\in 2^{\mathbf {X} }}$) with ${\displaystyle A\cap B=\emptyset }$ then ${\displaystyle g(A\cup B)=g(A)+g(B)+\lambda g(A)g(B)}$.

As a convention, the value of g at a singleton set ${\displaystyle \left\lbrace x_{i}\right\rbrace }$ is called a density and is denoted by ${\displaystyle g_{i}=g(\left\lbrace x_{i}\right\rbrace )}$. In addition, we have that ${\displaystyle \lambda }$ satisfies the property

${\displaystyle \lambda }$+ ${\displaystyle 1}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$= ${\displaystyle \mathrm{1n}\underset{}{\overset{}{}}}$( 1${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \lambda }$ g ${\displaystyle i_{}}$) ${\displaystyle \lambda +1=\prod _{i=1}^{n}(1+\lambda g_{i$

왕과 클라이르뿐만 아니라 타하니와 켈러는 일단 밀도가 알려지면 이전의 다항식을 사용하여 ${\displaystyle \lambda}$의 값을$$ 고유하게 얻을 수 있다는 것을 보여주었다.

k-평균 퍼지 척도

k-additive 퍼지 측정은 하위 집합 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \subseteq }$ X ${\displaystyle E\subseteq X}$ 사이의$$ 상호작용을 E =${\displaystyle k}$ ${\displaystyle E =k}$ 크기로 제한한다$.$ 이렇게 하면 퍼지 측정을 정의하는 데 필요한 변수의 수가 급격히 감소하며, k는 (퍼지 측정이 가법인 경우) 1에서 X에 이르는 어떤 것이 될 수 있기 때문에 모델링 능력과 단순성 사이의 절충이 가능하다.

정의

A이산 퍼지 평가하는 집합 X에서 gk-additive(1≤ k≤ X{\displaystyle 1\leqk\leq \mathbf{X}})의 뫼비우스 표현 M(E)을 확인한다 초기 조향 순간 0{M(E)=0\displaystyle} 때마다 E>; 어떠한 E⊆ X{\displaystyle E\subseteq \mathbf{X}에 k{\displaystyle E>k}}, 그리고 전처라고 불린다.ists $M{\displaystyle }$(${\displaystyle F}$) ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle M(F)\neq 0}$과 같은 k 요소가 있는 부분 집합 F$.$

Shapley 및 교호작용

게임 이론에서는 샤플리 값이나 샤플리 지수를 사용하여 게임의 무게를 나타낸다. 각 단일 톤의 중요성을 어느 정도 나타내기 위해 퍼지 측정에 대한 샤플리 값을 계산할 수 있다. 가법 퍼지 측정의 경우 샤플리 값은 각 싱글톤과 동일할 것이다.

주어진 퍼지 측정값 g 및 ${\displaystyle X\mathbf{}}$= ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {X} =n$의 경우, ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $i{\displaystyle }$,${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \in }$ X ${\displaystyle i,\dots,n\in X}$에 대한 Shapley 지수는 다음과 같다$$.

${\displaystyle \phi(i)=\sum _{E\subseteq \mathbf {X} \backslash \{i\}}{\frac {(n- E -1)! E !}{n!}[g(E\cup \{i\}}-g(E)]]].}$

샤플리 값은 벡터 $\varphi {\displaystyle }$( ${\displaystyle g}$)${\displaystyle }$= (${\displaystyle \psi }$( ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle \psi }$(${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \mathbf {\pi }(g)=(\psi$(1$)),\dots ,\psi$ ($n)$이다.$}$

참고 항목

• 확률론
• 가능성 이론

참조

추가 읽기

• Belliakov, Pradera 및 Calvo, Aggregation Functions: A Guide for Practice, Springer, 2007 뉴욕 주(州)의 실무자들을 위한 가이드.
• 1991년 뉴욕 플레넘 프레스에서 왕, 첸위안, 그리고 조지 J. 클리르, 퍼지 측정 이론.

외부 링크

• 퍼지 이미지 처리에서의 퍼지 측정 이론