결정점공정

수학에서 결정요인점 과정은 확률적인 점 과정으로, 확률 분포는 일부 함수의 결정요인으로 특징지어진다.그러한 과정은 무작위 매트릭스 이론, 조합론, 물리학,^[1] 무선 네트워크 모델링에서 중요한 도구로 발생한다.^[2][3][4]

정의

$\lambda {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Lambda}$을(를$)$ 국소적으로 컴팩트한 폴란드 공간, $[\displaystyle \lambda }$에 대한 라돈 측정으로 두십시오$$$.$ 또한 측정 가능한 함수 K:λ² → ℂ을 고려하십시오.

$X{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle X}$이(가) 주어진 조인트 강도 또는$$ 상관 함수(요인 모멘트 $측정$의 밀도)로 joint ${\displaystyle \Lambda }$에 대한 단순 점 프로세스인 경우$$ 커널 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ K$}$을(를) 가진 $\lambda {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyleda }$에 대한 결정 요소 프로세스라고 한다$$.

${\displaystyle \rho _{n}(x_{1},\ldots,x_{n})=\det[K(x_{i},x_{j}]_{1\leq i,j\leq n}}}}}}$

매 n ≥ 1과 x₁, . . , x ∈ λ에_n 대하여.^[5]

특성.

존재

다음의 두 가지 조건은 강도를 갖는 결정요인 무작위 지점 프로세스의 존재에 필요하며 충분하다_k. ρ.

• 대칭: ρ은_k 대칭군 S의_k 작용 하에 불변한다.따라서 다음과 같다.

${\displaystyle \rho _{{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(k)}=\rho_{k}(x_{1},\ldots,x_{k})\quad \forallsigma \in S_{k},k}}$

• 긍정:모든 N과 측정 가능한 경계함수 collection_k:: → ℝ^k, k = 1. . .N의 경우, 콤팩트한 지원을 통해:

만약

${\displaystyle \quad \varphi _{0}+\sum _{k=1}^{N}\sum _{i_{1}\neq \cdots \neq i_{k}}\varphi _{k}(x_{i_{1}}\ldots x_{i_{k}})\geq 0{\text{ for all }}k,(x_{i})_{i=1}^{k}}$

그러면

${\displaystyle \quad \varphi _{0}+\sum _{k=1}^{N}\int _{\Lambda ^{k}}\varphi _{k}(x_{1},\ldots ,x_{k})\rho _{k}(x_{1},\ldots ,x_{k})\,{\textrm {d}}x_{1}\cdots {\textrm {d}}x_{k}\geq 0{\text{ for all }}k,(x_{i})_{i=1}^{k}}$ ^[6]

유니크함

이음매 강도를 갖는 결정 무작위 공정의 고유성을 위한 충분한 조건 ρ은_k 다음과 같다.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\inflt }\왼쪽 사진\frac {1}{k!}}}}\{A^{k}}\rho_{k}(x_{1},\ldots,x_{k})\,{\textrm {{d}x_{k}\cdots{\textrm{d}}}}^{-\frac{1}}}}=\flt}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\fltflt.$

모든 경계 보렐 A ⊆ λ λ에 대하여.^[6]

예

가우스 유니터리 앙상블

가우스 유니터리 앙상블(GUE)에서 도출한 랜덤 m × m 에르미타니아 행렬의 고유값은 커널이 있는$$ $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 결정요인 포인트 프로세스를 형성한다.

${\displaystyle K_{m}(x,y)=\sum _{k=0}^{m-1}\psi _{k}(x)\psi _{k}(y)}$

여기서 ${\displaystyle {\psi k}_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \filename _{k}(x)}$은(는) 다음에 의해 정의된 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ 발진기 파형 함수임$$

${\displaystyle \propert_{k}(x)={\frac {1}{\sqrt {{\sqrt{2n}n!}}}H_{k}(x)e^{-x^{2}/4}}}$

및 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle H_{k}(x)}$은(는) $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ th$$ Hermite 다항식이다.^[7]

포아송화 평면도 측정

정수 분할에 대한 포아송화된 Planchrel 측정(따라서 Young 다이어그램에 대한)은 무작위 순열의 가장 긴 증가 부분들에 대한 연구에 중요한 역할을 한다.수정된 프로베니우스 좌표로 표현된 랜덤 영 다이어그램에 해당하는 포인트 프로세스는 ℤ^{[clarification needed]} +에 대한 결정적 포인트 프로세스다.이산 베셀 커널을 사용한 1⁄2:

${\displaystyle K(x,y)={\begin{cases}{\sqrt {\theta }}\,{\dfrac {k_{+}( x , y )}{ x - y }}&{\text{if }}xy>0,\\[12pt]{\sqrt {\theta }}\,{\dfrac {k_{-}( x , y )}{x-y}}&{\text{if }}xy<0,\end{cases}}}$

어디에

${\displaystyle k_{+}(x,y)=J_{x-{\frac {1}{1}{1}2}}({{\sqrt{\ta }})J_{y+{\frac{1}{1}{1}:{2}}:(2{\sqrt{\ta }})-J_{x+{\frac{1}{1}:{2}}({\sqrt{\ta }}})J_{y-{\frac {1}{1}:{2}}({{\sqrt {\theta }}),}$

${\displaystyle k_{-}(x,y)=J_{x-{\frac {1}{1}{1}2}}({{\sqrt{\ta }})J_{y-{\frac {1}{1}:{2}}:(2{\sqrt {\theta }})+J_{x+{\frac{1}{1}{1}:{{{\sqrt {\ta }}}})J_{y+{\frac {1}{1}:{2}}({{\sqrt {\theta }}})}$

J의 경우 첫 번째 종류의 베셀 함수, ^[8]and 포아송화에 사용되는 평균.

이는 헤리티지안 이외의 커널을 가진 잘 정의된 결정요인 포인트 프로세스의 예로서 기능한다(양축과 음축의 반축에 대한 제약은 에르미티안이다).^[6]

균일 스패닝 트리

G를 엣지 집합 E와 함께 유한하고, 방향을 잡지 않고 연결된 그래프가 되게 하라.다음과 같이 I^e:E → ℓ²(E)를 정의한다:먼저 에지 E에 대한 임의의 방향 집합을 선택하고, 그 결과 각 에지 e에 대해 별 흐름에 의해 확장된 ℓ²(E)의 하위 공간에 e를 따라 단위 흐름의 투영으로 I를^e 정의한다.^[9]그러면 G의 균일 랜덤 스패닝 트리는 커널이 있는 E의 결정요인점 과정이다.

${\displaystyle K(e,f)=\langle$$I^{f}\rangele,\quad e,f\in$ E$\}.$^[5]

참조