물리학 에서, 특히 특수상대성이성과 일반상대성이론 의 경우, 4-텐저 는 4차원 스페이스타임 의 텐서(tensor )의 약칭이다.[1]
제너럴리티스 일반 사선(四線)은 보통 다음과 같이 텐서(tensor ) 지수 표기법 으로 표기한다.
A ν 1 , ν 2 , . . . , ν m μ 1 , μ 2 , . . . , μ n {\displaystyle A_{\;\nu_{1},\nu_{2},...,\nu_{m}^{\mu_{1},\mu_{2}, ...,\mu_{n}}}}} 시간 구성 요소의 경우 0에서 3까지의 정수 값, 공간 구성 요소의 경우 1, 2, 3의 값을 갖는 지수. 반대 지수와 m 공변량 지수가 있다.[1]
특수상대성이성과 일반상대성이성에서는 관심 4텐더가 많은 것이 1차(4벡터 )나 2차 순서지만, 고차 텐서가 발생한다. 다음은 예들이다.
특수상대성이론에서 벡터 기반은 정형화된 것으로 제한될 수 있으며, 이 경우 로렌츠 변환 하에서 모든 4-텐더가 변환된다. 일반 상대성에서는 그러한 제한이 일반적으로 가능하지 않기 때문에 보다 일반적인 좌표 변환이 필요하다.
예 1차 텐서 특수상대성이론에서 4텐저의 가장 단순한 비특례 중 하나는 4분위수다.
x μ = ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) = ( c t , x , y , z ) {\displaystyle x^{\mu }=(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}=(ct,x,y,z)}} 4각형 1등 공변량 0등 공변량 이런 종류의 4-텐더는 보통 4-벡터 라고 알려져 있다. 여기서 성분 x 0 = ct 는 시간 내에 몸의 변위를 제공한다(좌표 시간 t는 빛 의 속도로 곱하여 x가 길이 의0 치수를 갖도록 한다). 4 변위의 나머지 구성 요소는 공간 변위 벡터 x = (x1 2 , x, x 3 )를 형성한다.[1]
질량이 크거나 질량 이 없는 입자의 네 모멘텀은
p μ = ( p 0 , p 1 , p 2 , p 3 ) = ( E / c , p x , p y , p z ) {\displaystyle p^{\mu }=(p^{0},p^{1},p^{2},p^{3}=(E/c,p_{x},p_{y},p_{z})}}} 에너지 조합(c 로 나누어진) p 0 = E /c 와 3-모멘텀 p = (p1 2 , p, p 3 )[1]
쉼표 질량이라고 도 하는 불변 m_{o
p μ = m o d x μ d τ {\dplaystyle p^{\mu }=m_{o}{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}} 입자 적절한 ({\displaystyle \tau })
The relativistic mass is m = γ m o {\displaystyle m=\gamma m_{o}} Lorentz factor γ = 1 1 − v 2 c 2 = 1 1 − β 2 = d t d τ {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {dt}{d\tau }}}
2차 텐서 (++) 관례를 위한 정형 기준의 Minkowski 메트릭 텐서는
η μ ν = ( − 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) {\displaystyle \eta ^{\mu \nu }={\pmatrix}-1&0&0&0\\0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix},} 선 요소 를 계산하고 지수를 올리거나 내리는 데 사용된다.위의 내용은 데카르트 좌표에 적용된다. 일반상대성이론에서 미터법 텐서는 곡선 좌표에 대한 훨씬 더 일반적인 표현식에 의해 주어진다.
상대론적 질량 m 과 상대론적 운동량 p 를 가진 입자의 각도 운동량 L x p 실험실 프레임 에서 관찰자가 측정한 값)은 상대론적 각도 운동량 텐서[2] [3] N mx pt
M μ ν = ( 0 − N 1 c − N 2 c − N 3 c N 1 c 0 L 12 − L 31 N 2 c − L 12 0 L 23 N 3 c L 31 − L 23 0 ) {\displaystyle M^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-N^{1}c&-N^{2}c&-N^{3}c\\ N^{1}c&0&L^{12}-L^{31}\\\N^{2}c&-L^{12}{0&L^{23}\\N^{3}C&L^{3}C&L^{31}&-L^{23}&0\end{pmatrix}}}}}}}}}}}}}}}? 구성 요소 포함
M α β = X α P β − X β P α {\displaystyle M^{\alpha \beta \}=X^{\p^{\p^{\p^{}-X^{}P^{\p^{\alpha }}}}}}}} 연속체 또는 장의 응력-에너지 텐서 는 일반적으로 2차 텐서의 형태를 취하며, 일반적 으로 T로 표시된다. 시간 단위 구성 요소는 에너지 밀도(단위 부피당 에너지), 모멘텀 밀도 에 대한 혼합 스페이스 시간 구성 요소(단위 부피당 모멘텀), 3d 스트레스 텐더에 대한 순전히 공간적인 부품에 해당한다.
전자기장 텐서 는 전기장 과 E 와 자기장 B 를[4]
F μ ν = ( 0 − E x / c − E y / c − E z / c E x / c 0 − B z B y E y / c B z 0 − B x E z / c − B y B x 0 ) {\displaystyle F^{\mu \nu}={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{x}/c&-E_{z}/c_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y\}\\\\ E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{x}&B_{x}&0\end{pmatrix}}}}}}}
전자파 변위 텐서는 다음과[5] 전기 변위장 D와 자기장 강도 H를 조합한다.
D μ ν = ( 0 − D x c − D y c − D z c D x c 0 − H z H y D y c H z 0 − H x D z c − H y H x 0 ) . {\displaystyle {\mathcal{D}^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-D_{x}c&-D_{z_{x}c&0&-H_{z_{z}&H_{y}\}\} D_{y}c&H_{z}&0&-H_{x}\\\D_{z}c&-H_{x}&H_{x}&0\end{pmatrix}}}. } 자화-극화 P장 과[4] M장 을 결합한다.
M μ ν = ( 0 P x c P y c P z c − P x c 0 − M z M y − P y c M z 0 − M x − P z c − M y M x 0 ) , {\displaystyle {\mathcal {M}}^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&P_{x}c&P_{y}c&P_{z}c\\-P_{x}c&0&-M_{z}&M_{y}\\-P_{y}c&M_{z}&0&-M_{x}\\-P_{z}c&-M_{y}&M_{x}&0\end{pmatrix}},} 3개의 필드 텐셔너는 다음과 같다.
D μ ν = 1 μ 0 F μ ν − M μ ν {\displaystyle {\mathcal{D}^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu_{0}F^{\mu \nu }-{\mathcal {M}^{\matcal \mu \nu },},} D 및 H 필드 의 정의와 동일하다.
입자의 전기 쌍극자 모멘트 d 와 자기 쌍극자 모멘트 μ 는 단일 텐서[6]
σ μ ν = ( 0 d x d y d z − d x 0 μ z / c − μ y / c − d y − μ z / c 0 μ x / c − d z μ y / c − μ x / c 0 ) , {\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&d_{x}&d_{y}&d_{z}\\-d_{x}&0&\mu _{z}/c&-\mu _{y}/c\\-d_{y}&-\mu _{z}/c&0&\mu _{x}/c\\-d_{z}&\mu _{y}/c&-\mu _{x}/c&0\end{pmatrix}},} Ricci 곡률 텐서 는 또 다른 2차 텐서다.
고차 텐서 일반 상대성에는 리만 곡률 텐서 , 웨일 곡률 텐서 등 순서가 더 높은 경향이 있는 곡률 텐서가 있는데, 이는 모두 네 번째 순서 텐서다.
참고 항목 참조 ^ a b c d 람보른, 로버트 J. 상대성, 중력, 우주론. 케임브리지 대학 출판부. 2010. ^ R. Penrose (2005). The Road to Reality ISBN 978-0-09-944068-0 참고: Penrose를 포함한 일부 저자들은 스페이스타임에 벡터나 텐서 등에 그리스어 지수를 사용하는 것이 관례임에도 불구하고 이 정의에서 라틴 문자 를 사용한다. ^ M. Fayngold (2008). Special Relativity and How it Works John Wiley & Sons . pp. 137–139. ISBN 978-3-527-40607-4 ^ a b Vanderlinde, Jack (2004), classical electromagnetic theory ISBN 9781402026997 ^ Barut, A.O. (January 1980). Electrodynamics and the Classical theory of particles and fields . Dover. p. 96. ISBN 978-0-486-64038-9 ^ Barut, A.O. (January 1980). Electrodynamics and the Classical theory of particles and fields . Dover. p. 73. ISBN 978-0-486-64038-9 c 의 요인이 나타나지 않는다.
범위
표기법 텐서 정의들 운영 관련 추상적인 생각 주목할 만한 텐서
수학자
시간
