카르탄 분해

수학에서 카르탄 분해는 반실행형 Lie 그룹이나 Lie 대수학의 분해로, 이들의 구조 이론과 표현 이론에서 중요한 역할을 한다. 행렬의 극 분해 또는 단수 값 분해를 일반화한다. 그것의 역사는 1880년대 에일리 카탄과 빌헬름 킬링의 작품으로 거슬러 올라갈 수 있다.^[1]

리알헤브라의 카르탄 비자발성

$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$을(를) 실제 반실행 Lie 대수학으로 $하고$ B$($ ${\displaystyle (}$ ,${\displaystyle ,}$ $displaystyle B(\cdot ,\cdot )}$을(를) 킬링 형식으로 한다. $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$에 대한 비자발성은 정사각형이 동일한 $g$ ${\$mathfak {$g}$의 Lie$$ 대수 자동형 $ism{\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta}}$이다. $B{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\theta }_{}}$(${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$) ${\displaystyle :=}$- B ( X , math Y ) {\$displaystyle B_{\theta }(X,$ Y$)}:=-B(X$,\$theta$ Y$)}$가 양확정 바이린 형태라면 g ${\$ style {\$mathfak{g}}}$에서 이러한 비자발생을 카르탄이라고 한다.

두 개의 비자발 $utions{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$} 및 $and$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$2}}$개$는 내부 자동형성에 의해서만 다른 경우 동등한 것으로 간주된다$$.

실제 반실행 리 대수학에는 카르탄 비자발성이 있으며, 어떤 두 카르탄 비자발도 동등하다.

예

• A Cartan involution on ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {R} )}$ is defined by ${\displaystyle \theta (X)=-X^{T}}$, where ${\displaystyle X^{T}}$ denotes the transpose matrix of ${\displaystyle X}$.
• $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 ID 맵은 비자발적이다$$. $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$$mathfak$${g}$의 킬링 형식이 음의 명확한 경우 또는$$ 동등하게, $g{\displaystyle \mathfrak{}}${\$displaystyle$ {\$mathfak$ {g$}$이(가) 콤팩트 세미스임벨 리 그룹의 리 대수인 경우에만$$ $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$displaystyle ${\mathfak {g$$}$의 고유한 카르탄 비자발현상이다.
• $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$을$($를) 실제 반실행 Lie 대수 $g{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$ ${\$$}$의 복합적 결합은$$ $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$에 대한 비자극이다$.$ $이것$은 g ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$ ${\$ ${\mathfak{g$}}이(가) 콤팩트 Lie 그룹의 Lie 대수인 경우에만$$$$ g ${\$displaystyle ${\mathfak$ {$g}{0}}$에 대한 카르탄 비자발이다.
• 다음 지도는 특수 유니터리 그룹SU(n)의$$ Lie $대수{\displaystyle \mathfrak{}}$ s ${\displaystyle \mathfrak{u}(n}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle${\$mathfrak{su}(n)}$의 비자발성이다.
  1. 신원불가 ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ $1{\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \theta _{1}(X)=X},$이 경우 특유의 카르탄 비자발이다.
  2. ${\displaystyle {복합적\mathrm{}}_{}}$ 결합${\displaystyle ,}$ $s{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \mathrm{u}}$(${\displaystyle {}_{}}$2 ){\$displaystyle {\$displaystyle $\theta _{2}(X)=-X^{T}}$에 u ( 2$){\displaystystyle {\mathfak{su}}(2$
  3. $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle p}$ +${\displaystyle q}$ ${\displaystyle n=p+q}$이() 홀수인 경우 3( X)=( I - ) X( - ) ${\$$I_{p}&0\\\0&-I_{q}\end{pmatrix}X{\begin{pmatrix}$$I_{p}&0\\\0&-I_{q}\end{pmatrix$ . 비자발성(1), (2) 및 (3)은 동일하지만( - I () ${\displaystyle${\$begin{pmatrix}$ 이후의 ID 비자발성과 동등하지는 않다.$I_{p}&0\\\0&-I_{q}\end{pmatrix}\notin {\mathfrak$ {$su}(n$ .
  4. $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{2m}}$ ${\displaystyle n=2m}$이() 짝수인 경우 X)=( m- ) T( 0 - I 0) ${\$도 있다.$I_{m}\\-I_{m}&0\end{pmatrix}X^{$$T}{\begin{pmatrix}0&$$I_{m}\\-I_{m}&0\end{pmatrix$

카르탄 쌍

Let ${\displaystyle \theta }$ be an involution on a Lie algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Since ${\displaystyle \theta ^{2}=1}$, the linear map ${\displaystyle \theta }$ has the two eigenvalues ${\displaystyle \pm 1}$. If ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ and ${\displaystyle \mathfrak{p}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ denote the eigenspaces corresponding to +1 and -1, respectively, then ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}$. Since ${\displaystyle \theta }$ is a Lie algebra automorphism, the Lie bracket of two of its eigenspaces is contained in the eigenspace 고유값의 산물에 해당된다. 그 뒤를 잇는다.

${\displaystyle [{\mathfrak {k}},{\mathfrak {k}}]\subseteq {\mathfrak {k}}}$, ${\displaystyle [{\mathfrak {k}},{\mathfrak {p}}]\subseteq {\mathfrak {p}}}$, and ${\displaystyle [{\mathfrak {p}},{\mathfrak {p}}]\subseteq {\mathfrak {k}}}$.

따라서 $k{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$은(는) Lie 하위골격인 반면$$ $p{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 하위골격은 상쇄적이다$$.

Conversely, a decomposition ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}$ with these extra properties determines an involution ${\displaystyle \theta }$ on ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ that is ${\displaystyle +1}$ on ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$$$ $및{\displaystyle \mathfrak{}}$ p ${\$에$$-${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}.$

이와 같은 쌍${\displaystyle (k\mathfrak{}}$ , $){\mathfak{k},{\mathfak{p}}$의 카르탄 쌍을 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$$}},$ (${\displaystyle g}$, $){\mathfak{k}}}$라고도 하며$$, 대칭 쌍이라고 한다$$. 여기서 카르탄 쌍의 이러한 개념은 상대적 리 대수학 코호몰로지 H((g, km그리고 4.9초 만){\displaystyle H^{*}({\mathfrak{g},{\mathfrak{k})}과 관련된 뚜렷한 개념과 혼동해서는 안 된다.

카르탄의 비자발성과$$ 연관된 $분해{\displaystyle \mathfrak{}}$g = ${\displaystyle kp\mathfrak{}}$ p$${\$displaystyle${\$mathfak{g}={\mathfak{k}\mathfak{p}}}}$을(를) $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\${\$mathfak {g}$의 카르탄 분해라고 한다$.$ 카르탄 분해의 특별한 특징은 킬링 $폼$이 k ${\$${k$$}}$에 음으로 확정되어 $있고$ p$${\$displaystyle${\$mathfrak{$p}}에 양으로 확정되어 있다는 것이다$.$ $나아가{\displaystyle \mathfrak{}}$ k$${\$displaystyle${\$mathfak$ {$k}$과 p${\$은 직교보완료다$$.$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 킬링 양식과 관련하여 서로 s.

Lie 그룹 수준에서 카르탄 분해

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) 비컴팩트 세미 구현 Lie 그룹과 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ {$g}$의 Lie$$ 대수학으로$$ 한다. $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \theta}$을(를) g ${\$에 카르탄 비자발성이 되게$$ 하고${\displaystyle }$(k$$ ,${\displaystyle p}$) ${\displaystyle({\mathfrak$ {$k},{\mathfak$ {$p})$을 결과 카르탄 쌍으로 한다$$. $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$을(를) Li 대수 k ${\$ $k{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\mathfak{k}}$와(와) $함께{\displaystyle }$ G$${\$displaystyle G$}의 분석 부분군이 되게$$ 한 다음$,$

• $\theta {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ \$theta }$을(를) 만족하는 ID에$$ $차동{\displaystyle }$ {$${\$displaystyle$\$theta$ }을(를) 가진$$ Lie 그룹 오토모르프 $Ⅱ{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$$displaystyle \{2}=1}$이$($가) 있다$.$
• $\theta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Teta}$에 의해 고정된 요소의 하위 $그룹$은 K$$ ${\displaystyle$ K$}$이며$,$ 특히 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$은 닫힌 하위 그룹이다$$.
• ${\displaystyle \mathrm{매핑}}$ $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ p${\displaystyle }$→ ${\displaystyle G\mathfrak{}}$ ${\displaystyle K\times${\$mathfak {p}\$mathfrak {p}\$wrightarrow G}$에서${\displaystyle }$(${\displaystyle k}$, X ) k${\displaystyle e\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{e}}$ ${\displaystyle \mathrm{x}}$ p${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$)$${\$displaystystyle (k,X)\mapsto \cdot$ \$mathrmatrmat {ex}$은 차이점이다$.$
• 부분군 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$은(는) $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 최대 소형 부분군이다$.$

자동형성 ${\displaystyle \theta}$은(는) 글로벌 카르탄 비자발이라고도 하며, ${\displaystyle \mathrm{차이형성}}$ K ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle p}$→ G ${\displaystyle K\time {\mathfak{p}\$오른쪽 $화살표 G}$는 글로벌 카르탄 분해라고 한다. If we write ${\displaystyle P=\mathrm {exp} ({\mathfrak {p}})\subset G}$ this says that the product map ${\displaystyle K\times P\rightarrow G}$ is a diffeomorphism so ${\displaystyle G=KP}$.

일반 선형 그룹의 경우 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$( ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}{}^{}}$) ${\displaystyle T^{}}$ ${\$ X$\mapsto (X^{-1})^{$$T}}$은 카르탄 비자발이다.^{[clarification needed]}

콤팩트 또는 비컴팩트 유형의 대칭 공간에 대한 카르탄 분해의 정교함에 따라 $p{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 최대 아벨레아 아발레브라스 $a{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$이(가) K ${\displaysty K}$에 의해 변형될 수 있는 고유한 특성을$$ 가지고 있으며$,$

${\displaystyle \mathfrak {{p}=\bigcupp_{k\in K}\mathrm {Ad}\,k\cdot {\mathfrak {a}.}\\qquad {\text{and}}\qquad \displaystyle {P=\bigcup _{k\in K}\mathrm {Ad}\k\cdot A.}}$

여기서 $A{\displaystyle }$= ${\displaystyle {e\mathfrak{}}^{}}$ ${\$

콤팩트한 경우와 비컴팩트한 경우에서 전지구적 카르탄 분해가 이와 같이 암시한다.

${\displaystyle G=KP=KAK,}$

기하학적으로 $G{\displaystyle /K}$ ${\displaystyle G/K}$에서 부분군 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 이미지는 완전히 지오데틱 서브매니폴드다$$.

극분해와의 관계

)− XT{\displaystyle\theta(X)=-X^{T}}.[해명 필요한]는 카르탕 퇴축 θ(X)과 g 나는 n(R){\displaystyle{\mathfrak{gl}}_ᆮ(\mathbb{R})}를 생각해 보자.비대칭의 매트릭스의 k=s입니다 n(R){\displaystyle{\mathfrak{k}}={\mathfrak{ 그렇게}}_ᆬ(\mathbb{R})}의 진정한 리 대수, 그래서 그것. ${\displaystyle K}$= ${\displaystyle S\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{O}}$( ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle K=\mathrm {SO}(n$ $p{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$은 대칭 행렬의 하위 공간이다$$. 따라서 지수 지도는 $p{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$에서 양수 확정 행렬의 공간에 이르는$$ 차이점형이다. 이 기하급수적인 지도까지, 전지구적인 카르탄 분해는 행렬의 극 분해다. 반전성 매트릭스의 극 분해는 독특하다.

참고 항목

• 거짓말 집단 분해

메모들

참조

이 글은 일반적인 참고문헌 목록을 포함하고 있지만, 그에 상응하는 인라인 인용구가 충분하지 않기 때문에 대체로 검증되지 않은 상태로 남아 있다. 보다 정밀한 인용구를 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. (2016년 3월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

• Helgason, Sigurdur (1978), Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces, Pure and Applied Mathematics, vol. 80, Academic Press, ISBN 0-8218-2848-7, MR 0514561
• Kleiner, Israel (2007). Kleiner, Israel (ed.). A History of Abstract Algebra. Boston, MA: Birkhäuser. doi:10.1007/978-0-8176-4685-1. ISBN 978-0817646844. MR 2347309.
• Knapp, Anthony W. (2005) [1996]. Bass, Hyman; Oesterlé, Joseph; Alan, Weinstein (eds.). Lie groups beyond an introduction. Progress in Mathematics. Vol. 140 (2nd ed.). Boston, MA: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5. MR 1920389.