다르부스 틀

표면의 차등 기하학에서 다부스 프레임은 표면에 만들어진 자연스러운 이동 프레임이다.표면 기하학에 적용되는 Frenet-Serret 프레임의 아날로그다.다부스 프레임은 유클리드 공간에 내장된 표면의 어떤 비우밀 지점에 존재한다.프랑스의 수학자 장 가스통 다르부스의 이름을 따서 지은 것이다.

내장형 곡선의 Darboux 프레임

S는 3차원 유클리드 공간 E에서³ 지향적인 표면이 되도록 하자.S에 Darboux 프레임을 건설하는 것은 우선 S의 곡선을 따라 움직이는 프레임을 고려한 후, 원곡선이 원곡선 방향으로 이동할 때 전문적으로 이루어진다.

정의

방향 표면의 각 지점 p에는 특정 고정점에서 정상의 방향을 선택한 즉시 고유 방식으로 단위 정상 벡터 u(p)를 부착할 수 있다.γ이 S의 곡선이고, 호 길이로 파라메타된 경우, γ의 Darboux 프레임은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \mathbf{T}(}$ ${\displaystyle s}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( s${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \mathbf {T}(s)=\gamma 's),}($단위 접선)

${\displaystyle \mathbf{u}}$(${\displaystyle s}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle u}$(${\displaystyle }$( ${\displaystyle s}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \mathbf {u}(s)=\mathbf {u}(\$$mathbf$ {$u})($단위 정규)

${\displaystyle \mathbf{t}}$(${\displaystyle s}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle u\mathbf{}}$ ${\displaystyle (}$) ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle T}$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \mathbf {t}(s)=\mathbf {u}(s)\times \mathbf {T},}($접선 정규)

트리플 T, t, u는 곡선의 각 지점에 부착된 양의 방향 정사각형 기초를 정의한다: 내장된 곡선을 따라 자연적으로 움직이는 프레임이다.

지오데틱 곡률, 정규 곡률 및 상대 비틀림

곡선의 Darboux 프레임은 여전히 접선 벡터의 초기 선택에 의존하므로 표면에서 자연스러운 이동 프레임을 산출하지 않는다는 점에 유의한다.표면에 움직이는 프레임을 얻기 위해서는 우선 γ의 다부스 프레임을 Frenet-Serret 프레임과 비교한다.내버려두다

${\displaystyle \mathbf{T}(}$ ${\displaystyle s}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( s${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \mathbf {T}(s)=\gamma 's),}($위의 단위 접선)

${\displaystyle \mathbf{N}}$(${\displaystyle s}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle T\frac{{\mathbf{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$( ${\displaystyle \frac{s}{}}$) ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\mathbf{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\prime }{}}$,${\displaystyle \mathbf {N}(s)={\frac {\mathbf {T}'s}{\mathbf${T$}'{\\$mathbf {$T}'s},},}($프랭네 정상 벡터)

${\displaystyle B\mathbf{}(s}$ )${\displaystyle }$= T${\displaystyle }$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle N}$( ${\displaystyle s\mathbf{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \mathbf {B}(s)=\mathbf {T}(s)\times \mathbf {N},}($Frenet binormal 벡터).$$

접선 벡터는 두 경우 모두 동일하므로 N과 B의 평면에서 회전하면 pair t와 u가 생성되는 독특한 각도 α가 있다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &\sin \alpha \\0&-\sin \alpha &\cos \alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}.}$

차등 적용 및 Frenet-Serret 공식 적용

${\displaystyle \mathrm{d}{\begin{bmatrix}\mathbf{T}\\\mathbf{t}\\\mathbf{u}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&, \kappa\cos \alpha\,\mathrm{d}s&, -\kappa\sin \alpha \,\mathrm\cos \alpha\,\mathrm{d}s& s\\-\kappa{d}, 0&, \taus+\mathrm{d}\alpha \\\kappa\sin \alpha\,\mathrm{d}s&, -\tau\,\mathrm{d}s-\math{d}\,\mathrm.rm{d}\alpha&0\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}\mathbf {T}\\\mathbf {t}\\\mathbf {u}\end{bmatrix}}}}$

${\displaystyle ={\begin{bmatrix}0&\kappa _{g}\,\mathrm {d} s&\kappa _{n}\,\mathrm {d} s\\-\kappa _{g}\,\mathrm {d} s&0&\tau _{r}\,\mathrm {d} s\\-\kappa _{n}\,\mathrm {d} s&-\tau _{r}\,\mathrm {d} s&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}}$

여기서:

• κ은_g 곡선의 지오데틱 곡률이다.
• κ은_n 곡선의 정규 곡면이며,
• τ은_r 곡선의 상대 비틀림(지오데틱 비틀림이라고도 함)이다.

표면의 다부스 틀

이 절에서는 곡선이 표면의 주곡선(곡선)인 경우로 곡선상의 다르부스 프레임의 경우를 전문으로 한다.이 경우 주곡선은 모든 비우밀 지점의 표면과 표준적으로 연관되기 때문에 다부스 프레임은 표준 이동 프레임이다.

삼면체

다부스의 발명품인 삼면체(또는 삼면체)의 도입으로 곡선상의 포인트와 프레임 벡터의 좌표를 균일하게 처리함으로써 곡선과 표면의 프레임 이동 문제를 개념적으로 단순화할 수 있다.3면체는 유클리드 공간에서 P 지점과 P 지점에 기반을 둔 3개의 직교 벡터 e₁, e, e로₂₃ 구성된다.이동삼면체(三面體)는 구성 요소가 하나 이상의 매개변수에 의존하는 삼면체(三面體)이다.예를 들어, 점 P가 단일 모수 s에 의존하고 P가 곡선을 추적하면 3면체는 곡선을 따라 이동한다.마찬가지로, P(s,t)가 한 쌍의 매개변수에 의존한다면, 이것은 표면을 추적한다.

삼면체(三面體)는 P가 항상 표면에 놓여 있고 e가₃ P에서 표면에 정상적인 방향 단위라면 표면에 적응한다고 한다.내장형 곡선을 따라가는 다부스 프레임의 경우 4중주곡.

(P(s), e(s) = T₁(s), e(s) = t(s), e₂(s) = t(s), e₃(s) = u(s))

곡선이 내장된 표면에 적응한 사면체를 정의한다.

이 삼면체의 관점에서 보면, 구조 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle \mathrm{d}{\begin{bmatrix}\mathbf{P}\\\mathbf{T}\\\mathbf{t}\\\mathbf{u}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&,\mathrm{d}s&, 0&, 0\\0&, 0&, \kappa _{g}\,\mathrm{d}s&, \kappa _{n}\,\mathrm{d}s\\0&, -\kappa _{g}\,\mathrm{d}s&, 0&,\tau _{r}\,\mathrm{d}s\\0&, -\kappa _{n}\,\mathrm{d}s&,-\tau _{r}.\,\mathrm{d}s&, 0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\mathbf {T} \\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}.}$

프레임 변경

다른 3면체도 있다고 가정해 보십시오.

(P, e₁, e₂, e₃)

내장된 곡선에 대해 주어진다.정의상 P는 다부스 삼면체에서와 같은 점을 유지하며, e = u는₃ 단위 정규이므로, 이 새로운 삼면체는 형태를 회전하여 다부스 삼면체와 관계가 있다.

${\displaystyle{\begin{bmatrix}\mathbf{P}\\\mathbf{e}_{1}\\\mathbf{e}_{2}\\\mathbf{e}_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&, 0&, 0&, 0\\0&,\cos \theta&\sin \theta&0\\0&,-\sin \theta&\cos \theta&0\\0&, 0&, 0&, 1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf{P}\\\mathbf{T}\\\mathbf{t}\\\mathbf{u}\end{bmatri.x}}}$

여기서 θ = θs는 s의 함수다.미분법을 취하고 Darboux 방정식을 적용하면 수율

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \mathbf {P} &=\mathbf {T} \mathrm {d} s=\omega ^{1}\mathbf {e} _{1}+\omega ^{2}\mathbf {e} _{2}\\\mathrm {d} \mathbf {e} _{i}&=\sum _{j}\omega _{i}^{j}\mathbf {e} _{j}\end{aligned}}}$

여기서 (Ωⁱ, Ω_i^j)은 s의 함수로서 만족한다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\omega ^{1}&, =\cos\,\mathrm{d}s,\quad\omega ^{2}=-\sin \theta\,\mathrm{d}s\\\omega _{나는}^{j}& \theta,=-\omega _{j}^{나는}\\\omega _{1}^{2}&amp을 말한다.=\kappa _{g}\,\mathrm{d}s+\mathrm{d}\theta \\\omega _{1}^{3}&, =(\kappa_{n}\cos\theta +\tau_{r}\sin\theta)\,\mathrm{d}s\\\omega _{2}^{3}&, =-(\kappa _{n}\sin \theta +\tau다.{r}\cos \theta )\,\mathrm {d}s\end{aigned}}}$

구조 방정식

각 이중 차동 ddP, dde에_i 적용되는 푸앵카레 보조정리기는 다음과 같은 카르탄 구조 방정식을 산출한다.ddP = 0부터,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \omega ^{1}&=\omega ^{2}\wedge \omega _{2}^{1}\\\mathrm {d} \omega ^{2}&=\omega ^{1}\wedge \omega _{1}^{2}\\0&=\omega ^{1}\wedge \omega _{1}^{3}+\omega ^{2}\wedge \omega _{2}^{3}\end{aligned}}}$

원본 dde_i = 0,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \omega _{1}^{2}&=\omega _{1}^{3}\wedge \omega _{3}^{2}\\\mathrm {d} \omega _{1}^{3}&=\omega _{1}^{2}\wedge \omega _{2}^{3}\\\mathrm {d} \omega _{2}^{3}&=\omega _{2}^{1}\wedge \omega _{1}^{3}\end{aligned}}}$

후자는 표면의 가우스-코다치 방정식이며, 미분 형태의 언어로 표현된다.

주 곡선

S의 두 번째 기본 형태를 고려한다.이것은 S에 주어진 대칭 2-형식이다.

${\displaystyle II=-\mathrm {d} \mathbf {N} \cdot \mathrm {d} \mathbf {P} =\omega _{1}^{3}\odot \omega ^{1}+\omega _{2}^{3}\odot \omega ^{2}={\begin{pmatrix}\omega ^{1}\omega ^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ii_{11}&ii_{12}\\ii_{21}&ii_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega ^{1}\\\omega ^{2}\end{pmatrix}}.}$

스펙트럼 정리에 의해 (ii_ij)가 대각 행렬인 프레임(e_i)의 어떤 선택이 있다.고유값은 표면의 주요 곡선이다.대각선화 프레임 a₁, a는₂ 정상₃ 벡터 a와₃ 두 개의 주 방향 a와₁ a로₂ 구성된다.이것을 표면에 있는 다부스 틀이라고 한다.프레임은 표면의 탯줄에서 떨어져서 (예를 들어 고유값에 대한 주문에 의해) 표준적으로 정의된다.

이동 프레임

Darboux 프레임은 표면에 정의된 자연 이동 프레임의 예다.약간의 수정으로 움직이는 프레임의 개념은 n차원 유클리드 공간의 초저면 또는 실제로 내장된 서브매니폴드로 일반화될 수 있다.이러한 일반화는 엘리 카르탄이 액자를 움직이는 방법에 기여한 많은 것 중 하나이다.

유클리드공간의 틀

유클리드 공간 E의ⁿ (유클리드) 프레임은 삼면체의 고차원 아날로그다.이 값은 Eⁿ, (v; f₁, ..., f_n)에서 도출된 벡터의 (n + 1)-투플로 정의된다. 여기서:

• v는 E의ⁿ 기원을 선택하는 것이다.
• (f₁, ..., f_n)는 v에 기초한 벡터 공간의 정형화된 기초다.

F(n)를 모든 유클리드 틀의 앙상블이 되게 하라.유클리드 집단은 다음과 같이 F(n)에 작용한다.φ ∈ Euc(n)을 으로 분해하는 유클리드 집단의 원소가 되게 하라.

$[\displaystyle \phi(x)=Ax+x_{0}}$

여기서 A는 직교 변환이고 x는₀ 번역이다.그러면 액자에다가.

${\displaystyle \phi(v;f_{1},\reason,f_{n}):=(\phi(v);Af_{1},\dots,Af_{n}).}$

기하학적으로, 아핀 그룹은 통상적인 방법으로 원점을 이동시키고, 그것들이 특정한 원점 선택에 "첨부"되기 때문에 직교 기준 벡터에 회전을 통해 작용한다.이것은 효과적이고 전이적인 집단 작용이므로 F(n)는 Euc(n)의 주요 동질 공간이다.

구조 방정식

기능 F(n) → E의ⁿ 다음 시스템을 정의한다.^[1]

${\displaystyle {\begin{1}P(v;f_{1},\dots,f_{n},\dots,f_{n}},\qquad i=1,2,\dots,n.\end{igned}}}}}}}}$

투영 연산자 P는 특별한 의미가 있다.The inverse image of a point P⁻¹(v) consists of all orthonormal bases with basepoint at v. In particular, P : F(n) → Eⁿ presents F(n) as a principal bundle whose structure group is the orthogonal group O(n). (In fact this principal bundle is just the tautological bundle of the homogeneous space F(n) → F(n)/O(n) = Eⁿ.)

P의 외부 파생상품(벡터 값 미분형이라고 함)은 다음과 같이 고유하게 분해된다.

${\d}P=\sum _{i}\omega ^{i}e_{i}}\,}$

어떤 스칼라 시스템을 위해 1 Ω으로ⁱ 평가된다.이와 유사하게, 단일 형태_i^j(Ω)의 행렬이 n × n 있다.

${\dmathrm {d}e_{i}=\sum _{j}\omega _{i}^{j}e_{j}.}$

e는_i 유클리드 공간의 내적 산물 하의 직교형이기 때문에 1형식 Ω의_i^j 행렬은 스큐 대칭이다.특히, 상삼각형 부분(Ω_jⁱ i < j)에 의해 고유하게 결정된다.n(n + 1)/2 단형(Ωⁱ, Ω_jⁱ(i<j))의 시스템은 좌표 차등을 각각 그 단위로 표현할 수 있기 때문에 F(n)의 절대 평행도를 제공한다.유클리드 집단의 작용에 따라 이들 형태는 다음과 같이 변모한다.vⁱ 번역 v와 회전 행렬_jⁱ(A)로 구성된 유클리드 변환이 되게 하라.그런 다음 풀백 하의 외부 파생상품의 불변성으로 다음 사항을 쉽게 점검한다.

${\displaystyle \phi ^{*}(\omega ^{i})=(A^{-1}_{j}^{i}\omega ^{j}}}}}$

${\displaystyle \pi^{*}(\omega _{j}^{i})=(A^{-1}_{p}^{p}\,\omega _{q}^{p}\,A_{j}^{q}.}$

게다가 푸앵카레 보조정리법으로 보면 다음과 같은 구조 방정식을 가지고 있다.

${\displaystyle \mathrm {d} \omega ^{i}=-\omega _{j}^{i}\i}\message \omega ^{j}}}}$

${\daystyle \mathrm {d} \omega _{j}^{i}=-\omega _{k}^{k}\modes \omega _{j}^{k}}.}$

변형된 틀과 가우스-코다치 방정식

φ : M → E는ⁿ 유클리드 공간에 p-차원 매끄러운 다지관을 내장하고 있다.여기서 F_φ(M)가 가리키는 M의 적응된 프레임의 공간은 x ∈ M이 있는 튜플(x; f, f₁,...,f_n)의 집합이며, f_i1, ...,f가_p φ(v)에서 φ(M)에 접하는 E의ⁿ 정사각형 기준을 형성한다.^[2]

개조된 프레임의 몇 가지 예는 이미 고려되었다.Frenet-Serret 프레임(T, N, B)의 첫 번째 벡터 T는 곡선에 접하며, 세 벡터 모두 상호 정방형이다.마찬가지로 표면의 다부스 프레임은 직교 프레임으로, 처음 두 벡터가 표면에 접한다.φ을 따라 불변 형태(Ωⁱ, Ω_jⁱ) 풀백(pullback)을 하고, 구조 방정식은 이 풀백(pullback) 아래에 보존되기 때문에 개조된 프레임이 유용하다.결과적으로, 결과적인 형태의 시스템은 M이 유클리드 공간 내부에 어떻게 위치하는지에 대한 구조적 정보를 산출한다.Frenet-Serret 프레임의 경우 구조 방정식은 정확하게 Frenet-Serret 공식이며, 이것들은 유클리드 운동까지의 곡선을 완전히 분류하는 역할을 한다.일반적인 경우는 유사하다: 프레임의 개조된 시스템에 대한 구조적 방정식은 임의 내장형 서브매니폴드를 유클리드 운동까지 분류한다.

상세하게 projection : F(M) → x(x_i; f) = x가 부여한 M은 F(M)에 주성분 구조를 부여한다(다발 구조군은 O(p)× O(n - p)이다).이 주요 묶음은 φ(v;f_i) :=(φ(v);f_i) ∈ F(n)에 의해 유클리드 프레임 F(n) 묶음에 내장된다.따라서 F(n)에서 불변형 형태의 풀백을 정의할 수 있다.

${\displaystyle \theta ^{i}=\phi ^{*}}\phi _{j}^{j}=\phi _{j}^{j}i}.}$

외부 파생 모델은 풀백 하에서는 등가성이므로 다음의 구조 방정식은 유지된다.

${\displaystyle \mathrm {d} \theta ^{i}=-\theta ^-{j}\mathrm {d}\theta \{j}^{i}=-\theta \{k}^_{j}}}\theta \j}^{d}.}$

또한 프레임 벡터 f₁...f_p 중 일부는 M에 접하고 다른 일부는 정상이기 때문에 구조 방정식은 자연스럽게 접선 및 정상 기여로 분리된다.^[3]소문자 라틴 지수 a,b,c 범위를 1에서 p까지(즉, 접선 지수)로 하고 그리스 지수 μ, p+1에서 n까지(즉, 정규 지수)로 한다.첫 번째 관찰은 다음과 같다.

${\displaystyle \theta ^{\mu }=0,\mu \mu =p+1,\message,n}$

이러한 형태들이 하위매니폴드 φ(M)을 생성하기 때문에 (프로베니우스 통합 정리라는 의미에서)

첫 번째 구조 방정식은 이제

$왼쪽.{\begin{array}{l}\mathrm {d} \theta ^{a}=-\sum _{b=1}^{p}\theta _{b}^{a}\wedge \theta ^{b}\\\\0=\mathrm {d} \theta ^{\mu }=-\sum _{b=1}^{p}\theta _{b}^{\mu }\wedge \theta ^{b}\end{array}}\right\}\,\,\,(1)}$

이 중 후자는 카르탄의 보조정리(remema)가 다음과 같이 암시하고 있다.

${\displaystyle \theta _{b}^{\mu }=s_{ab}^{\mu }\theta ^{a}}}$

여기서 s는^μ_ab a와 b에서 대칭이다(두 번째 기본 형태인 )(M)).따라서 방정식 (1)은 가우스 공식이다(가우스-코다치 방정식 참조).특히 θ은_b^a M의 Levi-Civita 접속을 위한 접속 형태다.

두 번째 구조 방정식도 다음과 같이 갈라졌다.

$왼쪽.{\begin{array}{l}\mathrm {d} \theta _{b}^{a}+\sum _{c=1}^{p}\theta _{c}^{a}\wedge \theta _{b}^{c}=\Omega _{b}^{a}=-\sum _{\mu =p+1}^{n}\theta _{\mu }^{a}\wedge \theta _{b}^{\mu }\\\\\mathrm {d} \theta _{b}^{\gamma }=-\sum _{c=1}^{p}\theta _{c}^{\gamma }\wedge \theta _{b}^{c}-\sum _{\mu =p+1}^{n}\theta _{\mu }^{\gamma }\wedge \theta _{b}^{\mu }\\\\\mathrm {d} \theta _{\mu }^{\gamma }=-\sum _{c=1}^{p}\theta _{c}^{\gamma }\wedge \theta _{\mu }^{c}-\sum _{\delta =p+1}^{n}\theta _{\delta }^{\gamma }\wedge \theta _{\mu }^{\delta }\end{array}}\right\}\,\,\,(2)}$

첫 번째 방정식은 M의 곡률 형태 Ω을 두 번째 기본 형태로 표현한 가우스 방정식이다.두 번째는 코다치-마이나르디 방정식으로, 두 번째 기본 형태의 공변량 유도체를 정상 연결 관점에서 표현한다.세 번째는 리치 방정식이다.

참고 항목

• 다르부스 파생상품
• 모레르-카르탄 형식

메모들

참조

• Cartan, Élie (1937). La théorie des groupes finis et continus et la géométrie différentielle traitées par la méthode du repère mobile. Gauthier-Villars.
• Cartan, É (Appendices by Hermann, R.) (1983). Geometry of Riemannian spaces. Math Sci Press, Massachusetts.{{cite book}}: CS1 maint : 복수이름 : 작성자 목록(링크)
• 다르부, 가스통(1887,1889,1896).Leçons sur 라 théorie génerale 데 표면:[http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABV4153.0001.001대량 주문은 나는],[http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABV4153.0002.001II],[볼륨 3세http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABV4153.0003.001], -LSB-.http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABV4153.0004.001볼륨 4세 나나 되니까.Gauthier-Villars.{{책을 인용하다.}}:확인 날짜 값year=( 도와 주):;title=( 도와 주)에 외부 링크를 클릭합니다.

• Guggenheimer, Heinrich (1977). "Chapter 10. Surfaces". Differential Geometry. Dover. ISBN 0-486-63433-7.
• Spivak, Michael (1999). A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 3). Publish or Perish. ISBN 0-914098-72-1.
• Spivak, Michael (1999). A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 4). Publish or Perish. ISBN 0-914098-73-X.
• Sternberg, Shlomo (1964). Lectures on differential geometry. Prentice-Hall.