카르탄의 등가법

수학에서 카르탄의 동등성 방법은 두 기하학적 구조가 차이점형까지 동일한지 여부를 판단하는 미분 기하학의 기법이다.예를 들어, M과 N이 각각 측정기준 g와 h를 가진 두 개의 리만 다지관이라면, 언제 차이점형성이 있는가?

${\displaystyle \phi :M\오른쪽 화살표 N}$

그런

${\displaystyle {\varphi }^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \pi ^{*}h=g}$?

비록 이 특정한 질문에 대한 답은 Gauss에 대한 차원 2에서, 그리고 Christoffel과 Rieman에 대한 더 높은 차원에서도 알려져 있었지만, Eli Cartan과 그의 지적 후계자들은 근본적으로 다른 기하학적 구조에 대한 유사한 질문에 대답하는 기술을 개발했다. (예를 들어 Cartan-Karlede 알고리즘을 참조)

카르탄은 투영 구조물, CR 구조물, 복잡한 구조물 등 많은 그러한 구조물들뿐만 아니라 표면적으로는 라그랑비아인 및 일반 미분방정식과 같은 비지형 구조물에 그의 동등성 방법을 성공적으로 적용하였다.(그의 기술은 후에 D. C. 스펜서, 시잉-선 체르누스와 같은 다른 많은 사람들에 의해 더 완전하게 개발되었다.)

동등성 방법은 본질적으로 두 기하학적 구조가 동일한 시기를 결정하기 위한 알고리즘적 절차다.카르탄의 경우, 1차 기하학적 정보가 다른 다지관의 코프레임 또는 코프레임 모음으로 표현되었다.프레임 이동 방법을 참조하십시오.

개요

특히 M과 N이 구조물 그룹 G의 G-구조를 각각 운반하는 한 쌍의 다지관이라고 가정한다.이것은 M과 N. Cartan의 방법에 특별한 등급의 코프레임을 부여하는 것과 같다. Cartan의 방법에는 국부적인 차이점형성 φ이 존재하는가에 대한 문제가 해결된다.M→N의 G-구조가 M의 주어진 G-구조에 되돌아가는 M→N.균등성 문제는 G-구조물에 대해 완전한 구조 불변제 세트를 제공할 수 있다면, 즉 모든 구조 불변제들이 적절하게 정의된 의미에서 동의하는 경우에만 그러한 차이점형성이 존재한다는 것을 의미한다.

명시적으로, 단일 형태 θ과ⁱ γ의ⁱ 국부 시스템은 각각 M과 N에 주어지며, 이는 각 동위 번들(즉, 동위형)에 걸쳐 있다.문제는 지역적 차이점 φ이 존재하는가 하는 것이다.N에 있는 코프레임의 풀백을 만족시키는 M→N

${\displaystyle {\varphi }^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle i}$ i${\displaystyle {}^{}}$( y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= g ${\displaystyle {}^{}{}_{}^{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle j^{}}$ (${\displaystyle {}^{}x}$)${\displaystyle }$,${\displaystyle }$( g ${\displaystyle {}_{}^{}}$) ${\displaystyle \in }$ G ${\displaystyle \phi^{*}}\g_{j}^{j$}^{$j}(x)\ta ^{j}(x)\(g_{j}^{i})\in G}($1)

여기서 계수 g는 Lie 그룹 G의 값을 갖는 M의 함수다.예를 들어 M과 N이 리만 다지관이라면 G=O(n)는 직교군, θ은ⁱⁱ 각각 M과 N의 직교 코프레임이다.두 개의 리만 다지관이 등축적인가에 대한 문제는 그때 차이점형 ism 만족 (1)이 존재하는가에 대한 질문이다.

카르탄 방법의 첫 번째 단계는 풀백 관계(1)를 "장기"를 사용하여 가능한 한 불변적인 방법으로 표현하는 것이다.가장 경제적인 방법은 선형 코프레임 LM의 주요 번들의 G-subbundle PM을 사용하는 것인데, 이 접근방식은 실제 계산을 수행할 때 불필요한 합병증을 초래할 수 있다.특히 이 글의 뒷부분에서는 다른 접근법을 사용한다.그러나 개요의 목적상 주요 묶음 관점을 고수하는 것이 편리하다.

두 번째 단계는 외부 파생 모델의 차이점형 불변성을 사용하여 G 구조의 다른 고차 불변성을 분리하는 것이다.기본적으로 주요 번들 PM에서 일부 비틀림과 연결된다.연결부 및 비틀림의 구성요소는 문제의 불변성으로 간주된다.

세 번째 단계는 주요 번들 PM의 섬유에 남아 있는 비틀림 계수가 일정하지 않으면 (때로는 어렵지만) 편리한 상수값과 동등하게 설정하여 이러한 정상화 방정식을 해결함으로써 Lie 그룹 G의 유효 차원을 감소시키는 경우가 많다.이렇게 되면 1단계로 돌아가 1차원의 Lie 그룹이 작동하게 된다.

네 번째 단계

처음 3단계의 주요 목적은 구조군 자체를 최대한 줄이는 것이었다.동등성 문제가 더 이상 감소할 수 없는 루프를 충분히 거쳤다고 가정하자.이때 등가법이 이끄는 방향은 다양하다.대부분의 동등성 문제의 경우 완전감소, 비자발, 연장, 퇴행의 네 가지 경우만 있다.

완전감소.여기서 구조집단은 하찮은 집단으로 완전히 축소되었다.그 문제는 이제 프로베니우스 정리 같은 방법으로 처리할 수 있다.알고리즘이 성공적으로 종료된 셈이다.

반면에 PM의 섬유에 비틀림 계수가 일정할 가능성도 있다.마찬가지로, 그들은 아직 약간의 비틀림이 있을 수 있지만 정상화할 것이 남아 있지 않기 때문에 더 이상 Lie 그룹 G에 의존하지 않는다.남은 세 가지 경우는 이렇게 가정한다.

비자발.동등성 문제는 카르탄의 시험에 합격할 경우 비자발적(또는 비자발적)이라고 한다.이것은 근본적으로 절차의 처음 세 단계에서 얻은 연결의 순위 조건이다.카르탄 시험은 부분 미분 방정식의 1차 선형 시스템의 용해성에 관한 프로베니우스 정리를 일반화한다.M과 N의 코프레임(알고리즘의 처음 3단계의 철저한 적용에 의해 파악됨)이 카르탄 시험에 동의하고 충족시킨다면, 두 개의 G-구조체는 동등하다.(실제로 저자의 지식으로는 카탄-케흘러 정리에는 분석티치가 필요하기 때문에 이것을 지탱하기 위해서는 코프레임이 실제 분석적이어야 한다.ty.)

연장하다.이것은 가장 복잡한 사건이다.사실 두 개의 서브 케이스가 있다.첫 번째 서브 케이스에서는 모든 비틀림을 연결 형태로 독특하게 흡수할 수 있다.(리베니안 다지관은 레비-시비타 연결이 비틀림을 모두 흡수하기 때문에 그 예가 된다.연결계수와 그 불변성 파생상품은 구조물의 완전한 불변성(invariant)을 형성하고, 동등성 문제를 해결한다.그러나 두 번째 하위 사례에서는 모든 비틀림을 흡수하는 것이 불가능하거나 다소 모호한 점이 있다(예를 들어 가우스 제거에서 흔히 있는 경우처럼).여기서는 가우스 제거에서와 마찬가지로 비틀림 흡수를 시도할 때 나타나는 추가 파라미터가 있다.이러한 매개변수 자체는 문제의 추가적인 불변성으로 판명되므로 구조 그룹 G는 제트 그룹의 하위 그룹으로 확장되어야 한다.이 작업을 완료하면 장기화된 공간에 새로운 코프레임을 획득하고 동등성 방법의 첫 단계로 돌아가야 한다.(G-구조물의 연장도 참조)

타락.일부 순위 조건의 불균일성 때문에 등가성 방법은 이 특정 등가성 문제를 처리하는 데 성공하지 못한다.예를 들어, 단일 형태 =으로 다지관 M을 **==θ과 같은 단일 형태 γ으로 다른 다지관에 매핑하는 동등성 문제를 고려한다.이 한 가지 형태의 0은 물론 각 지점에서 외부 파생상품의 순위를 고려해야 한다.등가법은 모든 등급이 균일하면 이런 문제를 처리할 수 있지만, 등급이 바뀌면 항상 적합한 것은 아니다.물론 특정 적용에 따라 상당량의 정보를 여전히 동등성 방법으로 얻을 수 있다.

참조

• Olver, P.J. (1995). Equivalence, invariants, and symmetry. Oxford University Press. ISBN 0-521-47811-1.