클라인 기하학

수학에서 클라인 기하학은 펠릭스 클라인이 그의 영향력 있는 얼랑겐 프로그램에서 동기 부여한 기하학의 일종이다. 구체적으로는 기하학의 대칭군 역할을 하는 Lie 그룹 G에 의한 X에 대한 전이 작용과 함께 동질 공간 X이다.

배경과 동기는 Erlangen 프로그램에 대한 기사를 참조하십시오.

형식 정의

클라인 기하학은 쌍(G, H)으로 G는 Lie 그룹이고 H는 (왼쪽) 코셋 공간 G/H가 연결되는 G의 닫힌 Lie 하위그룹이다. 그룹 G는 기하학의 주요 그룹이라고 불리고 G/H는 기하학의 공간(또는 용어를 남용하여 간단히 클라인 기하학이라고 한다. 클라인 기하학의 공간 X = G/H는 치수의 부드러운 다지관이다.

딤 X = 딤 G - 딤 H.

X에 주어지는 G의 자연적인 매끄러운 왼쪽 동작이 있다.

(\displaystyle g.(aH)=(ga)H.}

분명히, 이 작용은 전이적이므로(a = 1) X를 G의 작용을 위한 균일한 공간으로 간주할 수 있다. ID 코제트 H x X의 스태빌라이저는 정확히 H 그룹이다.

연결된 매끄러운 다지관 X와 X에 있는 Lie 그룹 G에 의한 매끄러운 전이 작용이 있을 때, 우리는 X에 기준점 X를₀ 고정하고 G에 있는 H를 X의₀ 스태빌라이저 부분군이 되게 함으로써 연관된 클라인 기하학(G, H)을 구축할 수 있다. 그룹 H는 반드시 G의 닫힌 부분군이며, X는 당연히 G/H와 차이가 있다.

Two Klein geometries (G₁, H₁) and (G₂, H₂) are geometrically isomorphic if there is a Lie group isomorphism φ : G₁ → G₂ so that φ(H₁) = H₂. In particular, if φ is conjugation by an element g ∈ G, we see that (G, H) and (G, gHg⁻¹) are isomorphic. 균일한 공간 X와 연관된 클라인 기하학은 이소모르피즘(즉, 선택된 기준점 x와는₀ 독립적이다)까지 유일하다.

번들 설명

Lie 그룹 G와 닫힌 부분군 H에 의해 오른쪽 곱셈에 의해 주어지는 G에 대한 H의 자연적인 오른쪽 작용이 있다. 이 행동은 자유롭고 적절하다. 궤도는 단순히 G에서 H의 왼쪽 코세츠일 뿐이다. 하나는 G가 왼쪽 코셋 공간 G/H에 걸쳐 부드러운 주 H 번들 구조를 가지고 있다는 결론이다.

H\to G\to G/H.}

클라인 기하학적 구조 유형

유효 기하학

X = G/H에 대한 G의 작용은 효과적일 필요가 없다. 클라인 기하학의 커널은 X에서 G의 작용의 커널로 정의된다. 그것은 에 의해 주어진다.

K=\{k\in G:g^{-1}kg\in H\;\;\forall g\in G\

또한 커널 K는 G에서 H의 핵심(즉, G에서 정상인 H의 가장 큰 부분군)으로 설명될 수 있다. 그것은 H에 있는 G의 모든 정상 서브그룹에 의해 생성된 그룹이다.

클라인 기하학은 K = 1이면 효과적이고 K가 이산형이면 국소적으로 효과적이라고 한다. (G, H)가 커널 K를 가진 클라인 기하학이라면, (G/K, H/K)는 (G, H)와 표준적으로 연관된 효과적인 클라인 기하학이다.

기하학적 중심 기하학

클라인 기하학(G, H)은 G가 연결된 경우 기하학적으로 방향이 잡힌다. (이것은 G/H가 지향적인 다지관임을 의미하지는 않는다.) H를 연결하면 G도 연결된다(G/H를 연결한 것으로 가정하고 G → G/H는 진동이기 때문이다).

어떤 클라인 기하학(G, H)이라도 주어진다면, (G, H)와 표준적으로 연관된 기하학적 지오메트리가 같은 베이스 공간 G/H를 가지고 있다. 이것은 기하학(G₀, G₀ ∩ H)이며, 여기서₀ G는 G의 아이덴티티 성분이다. G = G H라는₀ 점에 유의한다.

환원 기하학

H의 ${\mathfrak{h}}$ Lie 대수 h ${\$ 에 ${\mathfrak {g}}$ ${\$ displaystyle {\mathfrak {h}의 H-invariant 보어가 g {\ $displaystyle {\mathfak {g}$ 에 있으면 클라인 기하학(G, H, H)은 환원성 균질 공간이라고 한다 ${\mathfrak {g}}$

예

다음 표에는 클라인 기하학으로 모델링된 고전 기하학에 대한 설명이 있다.

	기본 공간	변환 그룹 G	부분군 H	불변제
투영 기하학	실제 투영 공간 $\mathb {R} \mathrm {P} ^{n}$	투영군 $\mathrm {PGL}(n+1)$	플래그 $\{0\}\subset V_{1}\subset V_{n}$ { $\{0\}\subset V_{1}\subset V_{n}$ } $\{0\}\subset V_{1}\subset V_{n}$ $\{0\}\subset V_{1}\subset V_{n}$ $\{0\}\subset V_{1}\subset V_{n}$ $\{0\}\subset V_{1}\subset V_{n}$ V $\{0\}\subset V_{1}\subset V_{n}$ ${\$ 을(를) 수정하는 $P$ 하위 $그룹$ P ${\displaystystyle P}$	투영 선, 교차 비율
구체의 등각형 기하학	구 $S^{n}$	( $(n+2)$ + 2 $(n+2)$ ) $(n+2)$ -차원 $(n+2)$ $\mathrm {O} (n+1,1)$ O $\mathrm {O} (n+1,1)$ + $\mathrm {O} (n+1,1)$ , $\mathrm {O} (n+1,1)$ ) $\mathrm {O} (n+1,1)$ {\ $displaystyle$ \mathrm { $O}(n+1,1)$ 의 로렌츠 그룹	Minkowski 메트릭의 null 콘에 선을 고정하는 $P$ 하위 $그룹$ P $P$	일반화된 원, 각도
쌍곡 기하학	쌍곡선 공간 $H(n)$ ( n $H(n)$ ) ${\displaystyle H(n$ 예를 들어 민코스키 공간 $\mathbb {R} ^{1,n}$ $\mathbb {R} ^{1,n}$ , $\mathbb {R} ^{1,n}$ ${\$ 에서 시간 유사 선으로 모델링.	직교 로렌츠 그룹 ${\displaystyle \matrm {O}(1,n)/\matrmatrm {O}(1)$	$\mathrm {O}(1)\time \mathrm {O}(n)$	선, 원, 거리, 각도
타원 기하학	타원 공간, 예를 들어 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n+1}$ $\mathbb {R} ^{n+1}$ + 1 ${\$ }의 원점을 통과하는 선으로 모델링.	${\displaystyle \matrm {O}(n+1)/\matrmatrm {O}(1)$	${\displaystyle \mathrm {O}(n)/\mathrmat {O}(1)$	선, 원, 거리, 각도
구형 기하학	구 $S^{n}$	직교 그룹 $\mathrm {O} (n+1)$ + $\mathrm {O} (n+1)$ ) $\mathrmat {O}(n+1)$	직교 그룹 $\mathrm {O} (n)$ ( $\mathrm {O} (n)$ ) $\mathrm {O}(n)$	선(위대한 원), 원, 점의 거리, 각도
아핀 기하학	아핀 공간 $A(n)\simeq \mathb {R} ^{n}$	아핀군 $\mathrm {Aff}(n)\simeq \mathb {R} ^{n}\rtimes \mathrm {GL}(n)$	일반선형군 $\mathrm {GL}(n)$	선, 기하학적 모양의 표면적 지수, 삼각형 질량의 중심
유클리드 기하학	유클리드 공간 $E(n)$	유클리드 군 $\mathrm {Euc}(n)\simeq \mathb {R} ^{n}\rtimes \mathrm {O}(n)$	직교군 $\mathrm {O}(n)$	점의 거리, 벡터의 각도, 면적