이등변삼각형

이등변삼각형
수직 대칭축을 갖는 이등변 삼각형
유형	삼각형의
모서리 및 꼭짓점	3
슐레플리 기호	( ) ∨ { }
대칭군	Dih2, [ }, (*), 주문 2
특성.	볼록한, 순환형의
이중다각형	셀프 듀얼

기하학에서 이등변 삼각형(/ɪˈ ə ːli ɒz/)은 길이가 같은 두 변을 갖는 삼각형입니다.때로는 정확히 같은 길이의 두 변을 갖는 것으로 명시되기도 하고, 때로는 같은 길이의 두 변을 갖는 것으로 명시되기도 하며, 따라서 후자의 경우에는 정삼각형을 특별한 경우로 포함하기도 합니다.이등변삼각형의 예로는 이등변삼각형, 황금삼각형, 그리고 이등변삼각형과 특정 카탈루냐 입체의 면이 있습니다.

이등변삼각형에 대한 수학적 연구는 고대 이집트 수학과 바빌로니아 수학으로 거슬러 올라갑니다.이등변삼각형은 훨씬 이전 시대부터 장식으로 사용되어 왔고, 건축과 디자인에서 자주 등장합니다. 예를 들어 건물의 페디먼트나 박공에서 말입니다.

같은 두 변은 다리, 세 번째 변은 삼각형의 밑면이라고 불립니다.삼각형의 높이, 면적 및 둘레와 같은 다른 차원은 다리와 밑면의 길이로부터 간단한 공식으로 계산할 수 있습니다.모든 이등변 삼각형은 밑면의 수직 이등분선을 따라 대칭축을 갖습니다.다리 반대쪽의 두 각도는 같고 항상 예각이므로 삼각형을 예각, 오른쪽 또는 둔각으로 분류하는 것은 두 다리 사이의 각도에만 의존합니다.

용어, 분류 및 예시

유클리드는 이등변삼각형을 변이 정확히 두 개인 삼각형으로 정의했지만,^[1] 현대의 연구는 이등변삼각형을 적어도 두 개의 변이 같은 것으로 정의하는 것을 선호합니다.이 두 정의의 차이점은 현대판은 정삼각형(세 개의 면이 같은)을 이등변 삼각형의 특별한 경우로 만든다는 것입니다.^[2]이등변이 아닌 삼각형을 scalene이라고 합니다.^[3]"이소셀레스"는 그리스 어근인 "이소" (동등)와 "스켈로스" (다리)에서 만들어졌습니다.예를 들어 이등변 사다리꼴, 두 ^[4]변이 같은 사다리꼴, 그리고 이등변 집합의 경우 세 변마다 점 집합이 이등변 삼각형을 형성하는 같은 단어가 사용됩니다.^[5]

정확히 두 개의 등변을 갖는 이등변 삼각형에서, 등변은 다리, 세 번째 변은 밑면이라고 불립니다.다리가 포함하는 각도를 꼭짓점 각도라고 하고 밑면을 한 변으로 하는 각도를 밑면 각도라고 합니다.^[6]밑면의 반대쪽 꼭짓점을 꼭짓점이라고 합니다.^[7]정삼각형의 경우에는 모든 변이 같기 때문에 어느 변이든 밑면이라고 할 수 있습니다.^[8]

이등변삼각형이 예각형인지, 우각형인지, 둔각형인지는 꼭짓점에 있는 각도에만 의존합니다.유클리드 기하학에서 기본 각도는 둔각(90°보다 큼)이 될 수 없습니다.또는 오른쪽(equal~90°)그들의 측정값은 적어도 유클리드 삼각형의 모든 각도의 총합인 180°가 될 것이기 때문입니다.^[8]삼각형은 각도 중 하나가 둔각이거나 직각인 경우에만 둔각이거나 직각이므로, 이등변 삼각형은 꼭지점 각도가 둔각이거나 직각이거나 직각이거나 예각인 경우에만 둔각이거나 직각이거나 예각입니다.^[7]Edwin Abbott의 책 Flatland에서, 이 모양의 분류는 사회적 위계에 대한 풍자로 사용되었습니다. 이등변삼각형은 노동자 계급을 나타내었고, 오른쪽 또는 둔각 이등변삼각형보다 높은 계층에서 급성 이등변삼각형을 나타냈습니다.^[9]

이등변 직각 삼각형 외에도 몇 가지 다른 구체적인 모양의 이등변 삼각형들이 연구되어 왔습니다.칼라비 삼각형(세 개의 합동된 내접 사각형이 있는 삼각형),^[10] 황금 삼각형과 황금 그노몬(변과 밑면이 황금 비율인 두 개의 이등변 삼각형),^[11] 랭글리의 모험각 퍼즐에 등장하는 80-80-20 삼각형,^[12] 그리고 트라이아키스 삼각형 타일링의 30-30-120 삼각형이 여기에 포함됩니다.5개의 카탈루냐 입체체인 트라이아키스 사면체, 트라이아키스 팔면체, 테트라키스 육면체, 펜타키스 십면체, 트라이아키스 이면체는 무한히 많은 피라미드와^[8] 이면체와 마찬가지로 이등변삼각형 면을 가지고 있습니다.^[13]

공식

높이

임의의 이등변 삼각형에 대해 다음 6개의 선분이 일치합니다.

• 고도, 베이스에 수직인 정점에서 선분,^[14]
• 꼭지점에서 베이스까지의 각도 이등분선,^[14]
• 정점에서 기저부의 중간 지점까지의 중위수,^[14]
• 삼각형 내 기저부의 수직 이등분선,^[14]
• 삼각형의 고유한 대칭축의 삼각형 내의 세그먼트, 그리고^[14]
• 삼각형이 등변형일 때를 제외하고, 삼각형의 오일러 선의 삼각형 안에 있는 세그먼트.^[15]

그들의 공통 길이는 삼각형의 높이$$ $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$입니다.삼각형의 $길이$가 ${\displaystyle a}$이고 길이가$$ $b$인 밑면이 ${\displaystyle b}$인 경우$,$ 이러한 세그먼트의 길이에 대한 일반적인 삼각형 공식은 모두 다음과^[16] 같이 단순화됩니다.

${\displaystyle h={\sqrt {a^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}}}.$

이 공식은 고도가 기저를 이등분하고 이등변삼각형을 두 개의 합동 직각삼각형으로 분할한다는 사실을 이용하여 피타고라스 정리에서도 유도할 수 있습니다.^[17]

임의의 삼각형의 오일러 선은 삼각형의 직교점(세 개의 고도의 교차점), 중심(세 개의 중앙의 교차점), 그리고 원 중심(세 개의 꼭짓점을 지나는 원의 중심이기도 한 세 변의 수직 이등분선의 교차점)을 통과합니다.정확히 두 개의 등변을 갖는 이등변 삼각형에서 이 세 점은 구별되며, (대칭에 의해) 모두 삼각형의 대칭축에 놓여 있으며, 이로부터 오일러 선이 대칭축과 일치합니다.삼각형의 중심은 오일러 선에도 있으며, 다른 삼각형에서는 그렇지 않습니다.^[15]주어진 삼각형에서 각도 이등분선, 중위수 또는 고도 중 두 개가 일치하는 경우 해당 삼각형은 이등변이어야 합니다.^[18]

지역

이등변삼각형의 넓이$$ $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$는 높이에 대한 공식에서, 삼각형의 넓이에 대한 일반적인 공식에서 밑과 높이의 곱의 반으로 구할 수 있습니다.^[16]

${\displaystyle T={\frac {b}{4}}{\sqrt {4a^{2}-b^{2}}}}.$

세 변에서 삼각형의 넓이에 대한 헤론의 공식에서도 같은 넓이 공식을 유도할 수 있습니다.그러나 헤론 공식을 직접 적용하는 것은 매우 날카로운 각도를 가진 이등변 삼각형의 경우 수치적으로 불안정할 수 있는데, 이는 그 삼각형에서 반지름과 변의 길이 사이가 거의 상쇄되기 때문입니다.^[19]

이등변 삼각형의 꼭지점 각도($$θ)${\displaystyle(\theta)}$와 다리 길이$({\displaystyle a)}$ ${\displaystyle(a)}$를 알면 해당 삼각형의 면적은 다음과 같습니다.

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}a^{2}\sin \theta.}$

이것은 삼각형의 면적에 대한 일반적인 공식의 특수한 경우로, 두 변의 곱이 포함된 각도의 사인의 반배입니다.^[21]

둘레

$변이{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$이고 $밑면$이 ${\displaystyle b}$인 이등변 삼각형의 경계$$ p ${\displaystyle p}$은(는) 단지^[16]

${\displaystyle p=2a+b.}$

다른 삼각형에서와 마찬가지로, $영역{\displaystyle }$ T$${\$displaystyle T}$와 둘레 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$은(는) 등각 부등식과^[22] 관련이$$ 있습니다.

${\displaystyle p^{2}>12{\sqrt {3}}T.}$

이는 변이 밑면과 같지 않은 이등변 삼각형에 대한 엄격한 부등식이며, 정삼각형에 대한 부등식이 됩니다.면적, 둘레, 밑면은 다음 식에^[23] 의해 서로 연관될 수 있습니다.

${\displaystyle 2pb^{3}-p^{2}b^{2}+16T^{2}=0.}$

밑면과 둘레가 고정되어 있는 경우, 이 공식은 밑면과 둘레가 같은 모든 삼각형 중에서 가능한 최대인 이등변 삼각형의 면적을 결정합니다.^[24]반면에, 넓이와 둘레가 고정되어 있다면, 이 공식은 기본 길이를 회복하는 데 사용될 수 있지만, 유일하게는 아닙니다: 일반적으로 $주어진{\displaystyle }$ 넓이 T$${\$displaystyle T}$와 둘레 $p{\displaystyle }${\$displaystyle p}$을 가진 두 개의 서로 다른 이등변 삼각형이 있습니다$.$ 등변 부등식이 등변이 될 때, 이와 같은 삼각형은 한 개뿐이고,등변적인 것입니다.^[25]

각도 이등분선 길이

같은 두 변의 $길이$가 ${\displaystyle a}$이고 다른 변의 $길이$가 ${\displaystyle b}$이면 두$$개의 같은 각 꼭짓점 중 하나의$$ 내각 $이등분선{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$이(가) 다음을^[26] 만족합니다.

${\displaystyle {\frac {2ab}{a+b}}>t>{\frac {ab{\sqrt {2}}}{a+b}}}$

게다가

${\displaystyle t<{\frac {4a}{3}};}$

그리고 반대로, 후자의 조건이 성립한다면, ${\displaystyle a}$와 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$로 매개 변수화된 이등변 삼각형이 존재합니다$$.^[27]

슈타이너-레흐무스 정리는 길이가 같은 두 개의 각도 이등분선을 갖는 모든 삼각형은 이등변이라는 것을 말합니다.그것은 1840년에 C. L. 레흐무스에 의해 만들어졌습니다.Jakob Steiner라는 다른 이름을 가진 Jakob Steiner는 해결책을 제공한 최초의 사람들 중 하나였습니다.^[28]원래는 내부 각도 이등분선에 대해서만 공식화되었지만, 대신 두 개의 외부 각도 이등분선이 동일할 때는 많은 경우(모든 경우는 아님)에 대해 작동합니다.30-30-120 이등변 삼각형은 4개의 등각 이등분선(내부 2개, 외부 2개)을 가지고 있기 때문에 이 정리의 변화에 대한 경계 사례를 만듭니다.^[29]

라디

이등변삼각형에 대한 반지름 및 반지름 공식은 임의의 삼각형에 대한 공식으로부터 유도될 수 있습니다.^[30]변 $길이$가 ${\displaystyle a$ 밑면 $길이$가 ${\displaystyle b$ $높이$가 ${\displaystyle h}$인 이등변 삼각형의 내접원의 반지름은 다음과$$ 같습니다.^[16]

${\displaystyle {\frac {2ab-b^{2}}{4h}}.$

원의 중심은 삼각형의 대칭축 위에 있으며, 이 거리는 밑면 위에 있습니다.이등변삼각형은 밑면과 꼭지점 각도가 같은 삼각형 중에서 가능한 가장 큰 내접원을 가지며, 같은 종류의 삼각형 중에서 가장 큰 면적과 둘레를 갖습니다.^[31]

외접원의 반지름은 다음과 같습니다.^[16]

${\displaystyle {\frac {a^{2}}{2h}}}.$

원의 중심은 꼭짓점 아래의 거리인 삼각형의 대칭축 위에 놓여 있습니다.

내접 사각형

임의의 이등변 삼각형의 경우, 한 변이 삼각형의 밑면과 일직선을 이루고 그 변에 반대되는 두 모서리가 있는 독특한 정사각형이 있습니다.칼라비 삼각형은 삼각형의 변과 일직선을 이루는 다른 두 개의 내접 사각형이 밑면 사각형과 같은 크기인 특수 이등변 삼각형입니다.^[10]알렉산드리아의 영웅의 작품에 보존된 훨씬 오래된 정리는 기저 $b$가 ${\displaystyle b}$이고 높이가$h$가 {\$displaystyle h}$인 이등변 삼각형에 대해$,$ 삼각형의 기저에 새겨진 정사각형의 변의 길이는 다음과^[32] 같다고 말합니다.

${\displaystyle {\frac {bh}{b+h}}}$

다른 모양의 이등변 분할

${\displaystyle \mathrm{임의}}$의 정수${\displaystyle }$n ≥$$4 {\$displaystyle n\geq$ 4$}$에 대해 임의의 삼각형을 $n개$의 ${\displaystyle n}$개의 이등변 삼각형으로 분할할 수 있습니다$.$직각 삼각형에서 빗변의 중위수(즉, 빗변의 중간점에서 직각 꼭지점까지의 선분)는 직각 삼각형을 두 개의 이등변 삼각형으로 나눕니다.빗변의 중점은 직각 삼각형의 원둘레의 중심이고, 칸막이가 만든 두 삼각형은 각각 그 변의 두 개와 같은 반지름을 가지고 있기 때문입니다.^[34]마찬가지로, 예각 삼각형은 원 중심에서 세 개의 이등변 삼각형으로 분할될 수 있지만,^[35] 원 중심이 삼각형 외부에 있기 때문에 둔각 삼각형에는 이 방법이 적용되지 않습니다.^[30]

예각 삼각형의 분할을 일반화하면, 외접원의 중심을 포함하는 순환 다각형은 꼭짓점을 통해 이 원의 반지름에 의해 이등변 삼각형으로 분할될 수 있습니다.원의 모든 반지름이 길이가 같다는 사실은 이 삼각형들이 모두 이등변이라는 것을 의미합니다.이 구획은 변의 길이에 대한 함수로서 다각형의 면적에 대한 공식을 도출하는 데 사용될 수 있으며, 심지어 변의 중심을 포함하지 않는 순환 다각형에 대해서도 마찬가지입니다.이 공식은 헤론의 삼각형 공식과 브라마굽타의 순환 사변형 공식을 일반화합니다.^[36]

마름모의 대각선은 마름모를 합동 이등변삼각형 두 개로 나눕니다.마찬가지로 연의 두 대각선 중 하나는 연이 마름모꼴일 때를 제외하고는 합동이 아닌 두 이등변삼각형으로 나눕니다.^[37]

적용들

건축과 디자인에 있어서

이등변삼각형은 건축물에서 박공과 페디먼트의 모양으로 흔히 나타납니다.고대 그리스 건축과 그 후의 모방에서는 둔각 이등변삼각형이 사용되었고, 고딕 건축에서는 이등변삼각형이 예각 이등변삼각형으로 대체되었습니다.^[8]

중세 건축에서 또 다른 이등변삼각형 모양이 인기를 끌게 되었는데 바로 이집트의 이등변삼각형입니다.이것은 이등변삼각형이며, 정삼각형보다는 작습니다. 높이는 밑면의 5/8에 비례합니다.^[38]이집트의 이등변삼각형은 네덜란드 건축가 헨드릭 페트루스 베를라지에 의해 현대 건축에 다시 사용되게 되었습니다.^[39]

교량과 같은 워렌 트러스 구조물은 일반적으로 이등변 삼각형으로 배열되지만, 추가적인 강도를 위해 수직 보도 포함되는 경우가 있습니다.^[40]둔각 이등변 삼각형에 의해 테셀링된 표면은 두 가지 안정적인 상태를 갖는 전개 가능한 구조를 형성하는데 사용될 수 있습니다: 표면이 원통형 기둥으로 확장되는 펼쳐진 상태와 더 쉽게 운반될 수 있는 더 컴팩트한 프리즘 모양으로 접히는 접힌 상태.^[41]동일한 테셀레이션 패턴은 원통형 표면이 축방향으로 압축될 때 형성되는 패턴인 요시무라 좌굴의 기초를 형성하고,^[42] 수학에서 표면에 수렴하는 다면체에 의해 매끄러운 표면의 면적이 항상 정확하게 근사될 수 없음을 보여주는 예인 슈바르츠 랜턴의 기초를 형성합니다.^[43]

그래픽 디자인과 장식 예술에서 이등변삼각형은 적어도 신석기^[44] 초기부터 현대에 이르기까지 전 세계 문화에서 빈번한 디자인 요소였습니다.^[45]그것들은 국기와 헤럴드에서 흔히 볼 수 있는 디자인 요소로, 예를 들어 가이아나의 국기나 세인트 루시아의 국기에 가로로 된 베이스가 눈에 띄게 나타나며, 그곳에서 그것들은 산섬의 양식화된 이미지를 형성합니다.^[46]

그것들은 또한 종교적이거나 신비로운 의미를 가진 디자인에 사용되어 왔습니다, 예를 들어 힌두교 명상 수행의 스리 얀트라에서 말입니다.^[47]

수학의 다른 영역에서

실수 계수를 갖는 입방정 방정식이 모두 실수가 아닌 세 개의 근을 가지면, 이 근들이 복소 평면에 Argand 다이어그램으로 표시되었을 때 대칭 축이 수평 (실) 축과 일치하는 이등변 삼각형의 꼭짓점을 형성합니다.복소근은 복소 켤레이므로 실수축을 중심으로 대칭이기 때문입니다.^[48]

천체역학에서, 세 물체가 이등변삼각형을 형성하는 특수한 경우에서 세 물체의 문제가 연구되어 왔는데, 이는 물체가 정삼각형을 형성할 때 이를 해결된 라그랑지안 점 경우로 줄이지 않고 계의 자유도를 감소시키기 때문입니다.무한 진동이 있는 것으로 나타난 삼체 문제의 첫 번째 사례는 이등변 삼체 문제였습니다.^[49]

역사와 오류

고대 그리스 수학자들에 의해 이등변삼각형이 연구되기 훨씬 전에, 고대 이집트 수학과 바빌로니아 수학자들은 그들의 면적을 계산하는 방법을 알고 있었습니다.이 유형의 문제는 모스크바 수학 파피루스와 린드 수학 파피루스에 포함되어 있습니다.^[50]

이등변삼각형의 밑각이 같다는 정리는 유클리드에서 명제 I.5로 나타납니다.^[51]이 결과를 폰사시노룸(asses의 다리) 또는 이등변삼각형 정리라고 합니다.이 이름에 대한 경쟁적인 설명으로는 유클리드가 결과를 보여줄 때 사용한 도표가 다리를 닮았기 때문이거나, 유클리드에서 최초로 어려운 결과이기 때문이며, 유클리드의 기하학을 이해할 수 있는 사람과 그렇지 않은 사람을 구분하기 위해 작용하기 때문이라는 이론이 있습니다.^[52]

잘 알려진 오류는 모든 삼각형이 이등변이라는 진술의 거짓 증명입니다.로빈 윌슨은 이 주장을 1899년에 출판한 ^[53]루이스 캐럴의 공으로 돌렸지만, W. W. Rouse Ball은 1892년에 이를 출판했고 나중에 캐롤이 그로부터 그 주장을 얻었다고 썼습니다.^[54]오류는 유클리드가 중간의 개념을 인식하지 못한 것과 그로 인한 내부 대 외부의 모호성에 뿌리를 두고 있습니다.^[55]

메모들

참고문헌

외부 링크

• Weisstein, Eric W., "Isosceles triangle", MathWorld