가중 산술 평균

가중 산술 평균은 일반 산술 평균(가장 일반적인 유형의 평균)과 유사하지만 각 데이터 지점이 최종 평균에 동일하게 기여하는 대신 일부 데이터 지점이 다른 데이터 지점보다 더 많이 기여합니다.가중평균의 개념은 기술 통계학에서 중요한 역할을 하며 수학의 여러 다른 영역에서도 보다 일반적인 형태로 발생한다.

모든 가중치가 같으면 가중 평균은 산술 평균과 동일합니다.가중평균은 일반적으로 산술평균과 유사한 방식으로 동작하지만 심슨의 역설에서 포착된 것과 같이 몇 가지 반직관적인 특성을 가지고 있습니다.

예

기본적인 예

다음과 같은 2개의 학교 수업(하나는 학생 20명, 1개는 학생 30명)과 각 반의 시험 성적:

오전반 = {62, 67, 71, 74, 76, 77, 78, 79, 79, 80, 80, 81, 82, 83, 84, 86, 89, 93, 98}

오후 클래스 = {81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 89, 89, 90, 90, 91, 92, 93, 93, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99}

오전 수업의 평균은 80이고 오후 수업의 평균은 90입니다.두 평균의 가중되지 않은 평균은 85입니다.그러나, 이것은 각 반의 학생 수(20 대 30)의 차이를 설명하지 않기 때문에, 85의 값은 (반과 무관한) 평균 학생 성적을 반영하지 않습니다.평균 학생 성적은 학급에 관계없이 모든 성적을 평균하여 얻을 수 있습니다(모든 성적을 합산하여 총 학생 수로 나눕니다).

({displaystyle {x}}=harpfrac {4300}{50}}=86).}

또는 각 반의 학생 수에 따라 학급 수단에 가중치를 부여함으로써 이를 달성할 수 있다.클래스가 클수록 "가중치"가 높아집니다.

{\bar {x}=par frac {(20\times 80)+(30\times 90)}{20+30}=86.

따라서 가중평균을 사용하면 각 학생의 점수를 몰라도 평균 학생 성적을 찾을 수 있습니다.각 반의 학급별 평균과 학생 수만 있으면 된다.

볼록 조합의 예

상대적인 가중치만 관련되므로 가중평균은 모두 1에 해당하는 계수를 사용하여 표현할 수 있습니다.이러한 선형 결합을 볼록 결합이라고 합니다.

위의 예에서는 다음과 같은 가중치를 얻을 수 있습니다.

{\displaystyle\frac{20+30}}=0.4}

(\displaystyle\frac{30}{20+30}}=0.6}

그런 다음 다음과 같이 무게를 가합니다.

{x}=(0.4×80)+(0.6×90)=86.

수학적 정의

형식적으로는 빈 $\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$ ( $\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$ $\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$ x $\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$ 2, $\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$ $\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$ n $)$ 가 아닌 유한 태플의 가중평균(x 1, x 2, …, $\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$ n $){$ displaystyle $\left (x_$ ${$ 1}, $x_{2$ },\ $dots, x_$ ${n$ $}\right$ 에 대응하는 음이 $\left(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n}\right)$ 아닌 $w$ 1, $\left(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n}\right)$ 2, $…,$ $\left(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n}\right)$ n $)를 부여합니다.$

({displaystyle {x}=par frac {i=1}^{n}w_{i}x_{i}}{\sum \par _{i=1}^{n}w_{i}}})

다음과 같이 확장됩니다.

{\bar {x}=snfrac {w_{1}x_{1}+w_{2}x_{n}+w_{n}}{w_{1}+w_{2}+\cdots +w_{n}}}}.

따라서 가중치가 높은 데이터 요소는 가중치가 낮은 요소보다 가중 평균에 더 많이 기여합니다.가중치는 음수일 수 없습니다.일부는 0일 수 있지만, 모두 0인 것은 아닙니다(0으로 나눌 수 없기 때문입니다).

공식은 가중치가 최대 1(즉, ${\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}'}=1}$ i ${\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}'}=1}$ ${\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}'}=1}$ ${\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}'}=1}$ ${\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}'}=1}$ i ${\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}'}=1}$ ${\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}'}=1}$ { $textstyle \sum \sum$ _ ${i=1}^{n}{$ w_{i}'= $1$ 까지 합이 되도록 정규화될 때 단순화된다. 정규화된 가중치의 경우 가중 평균은 다음과 같다.

{\bar {x}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}'x_{i}}

{\bar {x}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}'x_{i}}

{\bar {x}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}'x_{i}}

∑

{\bar {x}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}'x_{i}}

=

{\bar {x}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}'x_{i}}

′

(\

_

{i=1}^{n}{w_{i}'x_{i

원래 가중치에 대해 다음과 같은 변환을 수행하면 가중치를 항상 정규화할 수 있습니다.

w_{i}'={\frac {w_{i}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{w_{j}}}}

i

w_{i}'={\frac {w_{i}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{w_{j}}}}

w_{i}'={\frac {w_{i}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{w_{j}}}}

w_{i}'={\frac {w_{i}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{w_{j}}}}

w_{i}'={\frac {w_{i}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{w_{j}}}}

w_{i}'={\frac {w_{i}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{w_{j}}}}

w_{i}'={\frac {w_{i}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{w_{j}}}}

w_{i}'={\frac {w_{i}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{w_{j}}}}

w_{i}'={\frac {w_{i}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{w_{j}}}}

{

displaystyle

w

_

{ i } = sum

frac

{ w

_

{ w _ { i } } { \

sum

\

sum

_ { j

w_{i}'={\frac {w_{i}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{w_{j}}}}

=

1

}^{ n } {

w

_ { j }

w_{i}'={\frac {w_{i}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{w_{j}}}}

}

w_{i}'={\frac {w_{i}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{w_{j}}}}

。

일반 ${\textstyle {\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}}$ ${\textstyle {\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}}$ ${\textstyle {\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}}$ ${\textstyle {\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}}$ x ${\textstyle {\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}}$ {\ $textstyle {{frac {$ 1}{n $}\sum$ \ $sum _{i=1}^{n$ }{ $x_{$ i}}}는 모든 ${\textstyle {\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}}$ 데이터가 동일한 가중 평균의 특수한 경우이다.

데이터 요소가 독립적이고 $\sigma ^{2}$ 이 2 $(\$ 인 동일한 랜덤 변수일 경우 가중평균의 표준 $\sigma _{\bar {x}}$ 인 "x $"(\$ _ ${\bar {x$ 는 불확실성 전파를 통해 다음과 같이 표시될 수 있습니다.

{\textstyle _{\bar {x}}=\textrt {sum \sum _{i=1}^{n}w_{i}'^{2}}}

분산 정의 가중치

각 $x_{i}$ $x_{i}$ x {\ $displaystyle x_{$ i $x_{i}$ }}이(가) 알려진 분산 $\sigma _{i}^{2}$ $\sigma _{i}^{2}$ {\ $displaystyle \sigma$ _ ${i}^2$ 인 서로 다른 확률 분포에서 잠재적으로 파생된 데이터 목록의 가중 평균에 대해 모두 동일한 평균을 가지며, 가중치에 대해 하나의 가능한 선택지가 분산 역수에 의해 주어진다.

w_{i}=syslogfrac {1}{i}^2}}.

이 경우 가중평균은 다음과 같습니다.

{\displaystyle {x}={sum _{i=1}^{n}\left\dfrac {x_{i}^2}}{\right}{\sum _{i=1}{n}{\dfrac {1}{\dfrac {1}{i}^2}}}}}}},

가중 평균(역평균 가중치)의 표준 오차는 다음과 같다.

({displaystyle_{\bar {x}}=sum {i=1}^{n}\sum _{i}^{-2}})

$\sigma _{\bar {x}}^{2}=\sigma _{0}^{2}/n$ $\sigma _{i}=\sigma _{0}$ $\sigma _{i}=\sigma _{0}$ $\sigma _{i}=\sigma _{0}$ 0 $\sigma _{i}=\sigma _{0}$ { $displaystyle$ \ $displaystyle$ _ { i } $=$ \ $displaystyle _$ { i } = \ displaystyle $_$ $\sigma _{\bar {x}}^{2}=\sigma _{0}^{2}/n$ { i $}$ = \ $displaystyle$ _ { $x$ }^{2} $/ n$ 으로 $\sigma _{\bar {x}}^{2}=\sigma _{0}^{2}/n$ $\sigma _{\bar {x}}^{2}=\sigma _{0}^{2}/n$ 합니다.이는 이전 절의 일반 공식의 특수한 경우이다.

\displaystyle _{\bar {x}^{n}=\sum _{i}^{n}{w_{i}\displayfrac {{i=1}^{n}{\displaystyle _{i}^{-4}\display _{i}^{n}{\displaystyleft _{i}_{i}^{n}_{{n}_{{n}_{\sum_{\sum_{{i}_{i}_{{n}}_{{{{{{{{{{{{}

위의 방정식을 조합하여 다음을 얻을 수 있습니다.

{x}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{\frac _{i}^{2}}.

이 선택의 중요성은 이 가중 평균이 확률 분포가 독립적이고 동일한 평균으로 정규 분포를 따른다는 가정 하에 확률 분포 평균의 최대우도 추정기라는 것입니다.

통계 속성

기대치

가중치 샘플 평균 ${\bar {x}}$ $（$ \ style \ $display$ \ $bar$ { $x$ ）는 그 자체가 랜덤 변수입니다.기대값과 표준 편차는 다음과 같이 관측치의 기대값 및 표준 편차와 관련이 있습니다.단순화를 위해 정규화된 가중치(무게의 합계는 1)를 가정합니다.

관측치에 기대값이 있는 경우

E(x_{i})=sqmu _{i}

가중 표본 평균에 대한 기대치가 있습니다.

E({\bar {x})=\sum _{i=1}^{n}{w_{i}'\mu _{i}}.

특히 평균이

\mu _{i}=\mu

i

=

μ

{\displaystyle

\

mu

_

{i

}=\

mu

인 경우 가중 표본 평균의 기대치는 이 값이 됩니다.

E({\bar {x}})=\mu.

분산

단순 신분증 사건

가중치를 상수로 취급하고 상관 관계가 없는 랜덤 변수의 관측치 n개의 표본을 모두 동일한 분산과 기대(예: d 랜덤 변수의 경우)로 갖는 경우 가중 평균의 분산은 Kish의 설계 효과에 의한 분산의 곱으로 추정할 수 있습니다(증명 참조).

\operatorname {Var}({\bar {y}_{w})=hat {\hat}_{y}{2}}{n}{\frac {\bar {w}}}

${\hat {\sigma }}_{y}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}{n-1}}$ ${\hat {\sigma }}_{y}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}{n-1}}$ ${\hat {\sigma }}_{y}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}{n-1}}$ ${\hat {\sigma }}_{y}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}{n-1}}$ $i$ i ${\hat {\sigma }}_{y}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}{n-1}}$ ${\hat {\sigma }}_{y}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}{n-1}}$ ( ${\hat {\sigma }}_{y}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}{n-1}}$ - y ${\hat {\sigma }}_{y}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}{n-1}}$ ) ${\hat {\sigma }}_{y}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}{n-1}}$ n ${\hat {\sigma }}_{y}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}{n-1}}$ - ${\hat {\sigma }}_{y}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}{n-1}}$ { $display$ { $style { hat }$ _ { y }^{ $n$ } = $frac$ { $sum$ _ { $i }$ - { \ $bar$ { $y$ } ${\hat {\sigma }}_{y}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}{n-1}}$ ${\bar {w}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}}{n}}$ $}}}}$ ${\bar {w}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}}{n}}$ ${\bar {w}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}}{n}}$ ${\bar {w}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}}{n}}$ = ${\bar {w}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}}{n}}$ 1 n ${\bar {w}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}}{n}}$ $({$

그러나 y 관측치에 대한 가정이 강하기 때문에 이 추정치는 다소 제한됩니다.이는 보다 일반적인 대체 추정치의 개발로 이어졌다.

설문 표본 추출 관점

모델 기반의 관점에서, 우리는 서로 $y_{i}$ $(\$ i $y_{i}$ })가 i.i.d 랜덤 변수가 아닐 때 가중 평균의 분산을 추정하는 데 관심이 있다.이 문제에 대한 대체적인 관점은 (치환으로)^[1]^{: 306} 균등한 확률로 단위를 선택하는 데이터의 임의 샘플링 설계입니다.

조사 방법론에서 모집단 평균은 모집단의 모든 요소(Y 또는 때로는 T)에 대한 총 y의 추정치를 구해서 이를 모집단 크기( $N$ \ $display style$ N $N$ 또는 추정치( $N$ style $\{N})$ 로 나누어 계산한다.이 문맥에서 y의 각 값은 일정하다고 간주되며, 변동성은 선택 절차에서 비롯됩니다.이는 무작위성이 종종 y 값으로 설명되는 "모델 기반" 접근법과 대조된다.조사 표본 추출 절차에서는 일부 관측치 i가 표본에 있는 경우 1을 얻고 선택하지 않은 경우 0을 얻는 일련의 베르누이 지표 값( $I\displaystyle I_$ i})을 산출합니다.이는 고정된 표본 크기 또는 다양한 표본 크기 샘플링에서 발생할 수 있습니다(예:포아송 표본 추출).시료에서 선택될 확률은 P $P(I_{i}=1\mid {\text{Some sample of size }}n)=\pi _{i}$ $P(I_{i}=1\mid {\text{Some sample of size }}n)=\pi _{i}$ $P(I_{i}=1\mid {\text{Some sample of size }}n)=\pi _{i}$ 의 $P(I_{i}=1\mid {\text{Some sample of size }}n)=\pi _{i}$ ) $P(I_{i}=1\mid {\text{Some sample of size }}n)=\pi _{i}$ $i({i}$ = $1\mid$ { $text{size }n$ } = \ $pi$ _ ${i$ = 1 $P(I_{i}=1\mid {\text{Some sample of size }}n)=\pi _{i}$ 확률은 P $P(I_{i}=1|{\text{one sample draw}})=p_{i}\approx {\frac {\pi _{i}}{n}}$ ) $P(I_{i}=1|{\text{one sample draw}})=p_{i}\approx {\frac {\pi _{i}}{n}}$ $P(I_{i}=1|{\text{one sample draw}})=p_{i}\approx {\frac {\pi _{i}}{n}}$ 이다. $= 1$ { $text$ { $one$ sample draw } = $p_{i$ } \ $about$ { $frac$ { $pi$ _ { i } $P(I_{i}=1|{\text{one sample draw}})=p_{i}\approx {\frac {\pi _{i}}{n}}$ N $large$ $p_{i}$ each each each each each $p i$ $}$ $p_{i}$ （ n ）。다음 유도에서는 각 요소를 선택할 확률이 이러한 ^[2]^{: 42, 43, 51}확률로 완전히 표현된다고 가정합니다.예를 들어, 일부 요소를 선택해도 다른 요소를 그릴 확률에는 영향을 미치지 않습니다(클러스터 샘플링 설계와 같은 경우에는 해당되지 않음).

각 요소( $\$ 는 고정되어 있고 샘플에 포함되거나 포함되지 않은 것( $\$ 에서 랜덤성이 나오기 때문에 랜덤 변수인 두 요소의 곱셈에 대해 자주 이야기합니다.다음 섹션의 혼동을 피하기 위해 $y'_{i}=y_{i}I_{i}$ $y'_{i}=y_{i}I_{i}$ 를 y $y'_{i}=y_{i}I_{i}$ = $y'_{i}=y_{i}I_{i}$ i i i i {\ $display y'_$ {i} $= y_{$ }라고 부릅니다. $I_{i$ 기대치 $E[y'_{i}]=y_{i}E[I_{i}]=y_{i}\pi _{i}$ $E[y'_{i}]=y_{i}E[I_{i}]=y_{i}\pi _{i}$ [ $E[y'_{i}]=y_{i}E[I_{i}]=y_{i}\pi _{i}$ i $E[y'_{i}]=y_{i}E[I_{i}]=y_{i}\pi _{i}$ ] $E[y'_{i}]=y_{i}E[I_{i}]=y_{i}\pi _{i}$ $E[y'_{i}]=y_{i}E[I_{i}]=y_{i}\pi _{i}$ i $E[y'_{i}]=y_{i}E[I_{i}]=y_{i}\pi _{i}$ [ $E[y'_{i}]=y_{i}E[I_{i}]=y_{i}\pi _{i}$ ] $E[y'_{i}]=y_{i}E[I_{i}]=y_{i}\pi _{i}$ $E[y'_{i}]=y_{i}E[I_{i}]=y_{i}\pi _{i}$ i $E[y'_{i}]=y_{i}E[I_{i}]=y_{i}\pi _{i}$ \ $display$ E [ $y$ ' $_$ { i } = $y$ _ { $E[y'_{i}]=y_{i}E[I_{i}]=y_{i}\pi _{i}$ } $E[I_{i}]=y_{i}\pi$ _ ${i$ 및 분산: $V[y'_{i}]=y_{i}^{2}V[I_{i}]=y_{i}^{2}\pi _{i}(1-\pi _{i})$ $I_{i}=y_{i}^{2}\pi$ _ ${i}(1-\pi$ _{ $i$

샘플의 각 원소가 선택 확률의 역방향으로 부풀려졌을 때, 예를 $\pi$ ${\check {y}}_{i}={\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}$ y $\pi$ ${\check {y}}_{i}={\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}$ i = y ${\check {y}}_{i}={\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}$ {\ i {\ i $display$ i ${\check {y}}_{i}={\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}$ \ displaystyle { $y$ } $_$ { i } = $flac$ { y _ _ _ { i } { \ $pi$ _ { $i$ $}$ ${\check {y}}_{i}={\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}$ } {\ $\pi$ a $the$ the $the$ （ \ displaysty $））$ values values values values values values values values values values values values values,, values,,,, ${\frac {y_{i}}{p_{i}}}=n{\check {y}}_{i}$ the $p$ the the the the,,,,,,,,,,,,,, the,,, the ${\frac {y_{i}}{p_{i}}}=n{\check {y}}_{i}$ i ${\frac {y_{i}}{p_{i}}}=n{\check {y}}_{i}$ ${\frac {y_{i}}{p_{i}}}=n{\check {y}}_{i}$ y ${\frac {y_{i}}{p_{i}}}=n{\check {y}}_{i}$ i { $style$ { $frac$ { y $_$ { $i$ } } $= n check$ { $y } _$ { $i$ ^[2]^{: 42, 43, 51, 52} 。 위와 같이 표시기 함수에 곱하면 체크 마크를 추가할 수 있습니다.예: ${\check {y}}'_{i}=I_{i}{\check {y}}_{i}={\frac {I_{i}y_{i}}{\pi _{i}}}$ ${\check {y}}'_{i}=I_{i}{\check {y}}_{i}={\frac {I_{i}y_{i}}{\pi _{i}}}$ i ${\check {y}}'_{i}=I_{i}{\check {y}}_{i}={\frac {I_{i}y_{i}}{\pi _{i}}}$ ${\check {y}}'_{i}=I_{i}{\check {y}}_{i}={\frac {I_{i}y_{i}}{\pi _{i}}}$ = ${\check {y}}'_{i}=I_{i}{\check {y}}_{i}={\frac {I_{i}y_{i}}{\pi _{i}}}$ ${\check {y}}'_{i}=I_{i}{\check {y}}_{i}={\frac {I_{i}y_{i}}{\pi _{i}}}$ ${\check {y}}'_{i}=I_{i}{\check {y}}_{i}={\frac {I_{i}y_{i}}{\pi _{i}}}$ ${\check {y}}'_{i}=I_{i}{\check {y}}_{i}={\frac {I_{i}y_{i}}{\pi _{i}}}$ = i {\ i ${\$ i {\ i $=$ i $i$ i （ $displaystyle$ { $y }$ ） _ { i } = $I_{i}{\check {y}_{i}=harc frac {I_{i}y_{i}}{\pi _{i}}}}$

이 설계 기반 관점에서 가중 평균의 분자에 사용되는 가중치는 선택 확률의 역수(즉, 팽창 계수)를 취함으로써 구한다.예: $w_{i}={\frac {1}{\pi _{i}}}\approx {\frac {1}{n\times p_{i}}}$ $w_{i}={\frac {1}{\pi _{i}}}\approx {\frac {1}{n\times p_{i}}}$ $w_{i}={\frac {1}{\pi _{i}}}\approx {\frac {1}{n\times p_{i}}}$ $w_{i}={\frac {1}{\pi _{i}}}\approx {\frac {1}{n\times p_{i}}}$ $w_{i}={\frac {1}{\pi _{i}}}\approx {\frac {1}{n\times p_{i}}}$ i $w_{i}={\frac {1}{\pi _{i}}}\approx {\frac {1}{n\times p_{i}}}$ 1 $w_{i}={\frac {1}{\pi _{i}}}\approx {\frac {1}{n\times p_{i}}}$ × $w_{i}={\frac {1}{\pi _{i}}}\approx {\frac {1}{n\times p_{i}}}$ i { $displaystyle$ w $_$ { i } = $fr$ frac ${1}$ {\ $pi$ _ { $i}}$ \ $。$ 약 { $frac$ { $n$ \ $times$ p _ { $i}$ } $w_{i}={\frac {1}{\pi _{i}}}\approx {\frac {1}{n\times p_{i}}}$ 。

가중 합계의 분산(총계에 대한 pwr-추정자)

모집단 크기 N이 알려진 경우 Y ${\hat {\bar {Y}}}_{{\text{known }}N}={\frac {{\hat {Y}}_{pwr}}{N}}\approx {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{N}}$ ${\hat {\bar {Y}}}_{{\text{known }}N}={\frac {{\hat {Y}}_{pwr}}{N}}\approx {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{N}}$ ${\hat {\bar {Y}}}_{{\text{known }}N}={\frac {{\hat {Y}}_{pwr}}{N}}\approx {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{N}}$ ${\hat {\bar {Y}}}_{{\text{known }}N}={\frac {{\hat {Y}}_{pwr}}{N}}\approx {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{N}}$ ${\hat {\bar {Y}}}_{{\text{known }}N}={\frac {{\hat {Y}}_{pwr}}{N}}\approx {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{N}}$ ^ ${\hat {\bar {Y}}}_{{\text{known }}N}={\frac {{\hat {Y}}_{pwr}}{N}}\approx {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{N}}$ r N ${\hat {\bar {Y}}}_{{\text{known }}N}={\frac {{\hat {Y}}_{pwr}}{N}}\approx {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{N}}$ ${\hat {\bar {Y}}}_{{\text{known }}N}={\frac {{\hat {Y}}_{pwr}}{N}}\approx {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{N}}$ ${\hat {\bar {Y}}}_{{\text{known }}N}={\frac {{\hat {Y}}_{pwr}}{N}}\approx {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{N}}$ ${\hat {\bar {Y}}}_{{\text{known }}N}={\frac {{\hat {Y}}_{pwr}}{N}}\approx {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{N}}$ n ${\hat {\bar {Y}}}_{{\text{known }}N}={\frac {{\hat {Y}}_{pwr}}{N}}\approx {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{N}}$ $n$ N { $display$ style { \ $hat$ { Y } } $_{$ \ $text$ { $known }}$ N ${\hat {\bar {Y}}}_{{\text{known }}N}={\frac {{\hat {Y}}_{pwr}}{N}}\approx {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{N}}$ = $prac {$ $Y }$ { w ${\hat {\bar {Y}}}_{{\text{known }}N}={\frac {{\hat {Y}}_{pwr}}{N}}\approx {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{N}}$ } { wr } { wr } { WR} { $wr$ } { wr } y N y N ${\hat {\bar {Y}}}_{{\text{known }}N}={\frac {{\hat {Y}}_{pwr}}{N}}\approx {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{N}}$ N }을 ${\hat {\bar {Y}}}_{{\text{known }}N}={\frac {{\hat {Y}}_{pwr}}{N}}\approx {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{N}}$ 하여 모집단 평균을 추정할 수 있습니다.

표본 추출 설계가 고정된 표본 크기 n(예: pps 표본 추출)인 경우 이 추정기의 분산은 다음과 같습니다.

\operatorname {Var} \lefthat {\text{}}N}\right}=subfrac {1}{n-1}\sum _{i=1}^{n}\left(w_i}y_{i}\right} {line}_{\light}

증명

일반적인 공식은 다음과 같이 개발할 수 있습니다.

{\hat {Y}}_{\text{known}}N}=black {\hat {Y}_{pwr}}{N}}=harcfrac {\frac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{n}{n}{\frac {y'}{i=1}{n}{\frac {\pi_i}{n}}{n}}{\frac {\frac {y}{i}}{n}}{n}{n}}}{n}}{\frac {\frac}}{n}}}}{{n}}}}}}}}}{{{\frac

모집단 총계는 Y $Y=\sum _{i=1}^{N}y_{i}$ $Y=\sum _{i=1}^{N}y_{i}$ i $Y=\sum _{i=1}^{N}y_{i}$ $Y=\sum _{i=1}^{N}y_{i}$ $Y=\sum _{i=1}^{N}y_{i}$ $Y=\sum _{i=1}^{N}y_{i}$ \ $displaystyle$ Y = \ $sum$ _ { i $Y=\sum _{i=1}^{N}y_{i}$ = $1$ }^{ $N$ } $y$ _ { $i$ } 로 $Y=\sum _{i=1}^{N}y_{i}$ 표시되며 (편향되지 않음)으로 추정할 수 있다.호비츠Thompson Estimator $. 추정치$ 라고도 $\pi$ 불립니다.이 추정기 자체는 pwr 추정기(예: $\displaystyle$ p $}$ - 교체 $p$ 추정기 또는 "교체 확률" 추정기)를 사용하여 추정할 수 있습니다. $위$ 의 표기법에서는 ${\hat {Y}}_{pwr}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{p_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{np_{i}}}\approx \sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}$ ^ ${\hat {Y}}_{pwr}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{p_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{np_{i}}}\approx \sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}$ ${\hat {Y}}_{pwr}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{p_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{np_{i}}}\approx \sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}$ r ${\hat {Y}}_{pwr}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{p_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{np_{i}}}\approx \sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}$ ${\hat {Y}}_{pwr}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{p_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{np_{i}}}\approx \sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}$ n ${\hat {Y}}_{pwr}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{p_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{np_{i}}}\approx \sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}$ i ${\hat {Y}}_{pwr}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{p_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{np_{i}}}\approx \sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}$ 1 ${\hat {Y}}_{pwr}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{p_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{np_{i}}}\approx \sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}$ ${\hat {Y}}_{pwr}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{p_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{np_{i}}}\approx \sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}$ ${\hat {Y}}_{pwr}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{p_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{np_{i}}}\approx \sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}$ ${\hat {Y}}_{pwr}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{p_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{np_{i}}}\approx \sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}$ ${\hat {Y}}_{pwr}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{p_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{np_{i}}}\approx \sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}$ ${\hat {Y}}_{pwr}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{p_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{np_{i}}}\approx \sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}$ ${\hat {Y}}_{pwr}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{p_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{np_{i}}}\approx \sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}$ ${\hat {Y}}_{pwr}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{p_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{np_{i}}}\approx \sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}$ n ${\hat {Y}}_{pwr}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{p_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{np_{i}}}\approx \sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}$ ${\hat {Y}}_{pwr}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{p_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{np_{i}}}\approx \sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}$ ${\hat {Y}}_{pwr}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{p_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{np_{i}}}\approx \sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}$ i ${\hat {Y}}_{pwr}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{p_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{np_{i}}}\approx \sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}$ ${\hat {Y}}_{pwr}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{p_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{np_{i}}}\approx \sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}$ y ${\hat {Y}}_{pwr}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{p_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{np_{i}}}\approx \sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}$ ${\hat {Y}}_{pwr}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{p_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{np_{i}}}\approx \sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}$ n w ${\hat {Y}}_{pwr}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{p_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{np_{i}}}\approx \sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}$ $=$ n w i ′ \ $style$ { hat ${ Y$ } { $wr} frac$ { wr } fr = fr with with $with$ with with with with with with with with with with with with with 。 $}\approx$ \ $sum _{i=1}^{n$ }{\ $frac {y'_{$ i}}{\ $pi _$ {i}}=\ $sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_$ ^[2]^{: 51}i}}}.

pwr 추정치의 추정 분산은 다음과 같습니다.^[2]^{: 52}

\displaystyle \operatorname {Var}({\hat {Y}_{pwr})=sum frac {n}{n-1}\sum _{i=1}^n}\left (w_{i}y_{i}-{\overline {v}\right}^2}}

{\overline {wy}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}y_{i}}{n}}

서 w

{\overline {wy}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}y_{i}}{n}}

{\overline {wy}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}y_{i}}{n}}

display

i

{\overline {wy}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}y_{i}}{n}}

{\overline {wy}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}y_{i}}{n}}

{\overline {wy}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}y_{i}}{n}}

w

{\overline {wy}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}y_{i}}{n}}

{\overline {wy}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}y_{i}}{n}}

\

sum

{\overline {wy}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}y_{i}}{n}}

{ i

=

1

}^{ n

} { \

frac

{

w _

{

i

}

y

_ {

i

} {

n

}

{\overline {wy}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}y_{i}}{n}}

。

위의 공식은 Sarndal et al.(1992)(1977년 Cochran에서도 제시)에서 따온 것이지만, 다르게 ^[2]^{: 52}^[1]^{: 307 (11.35)}기술되었다.왼쪽은 분산 작성 방법이고 오른쪽은 가중 버전을 개발한 방법입니다.

{\displaystyle{\begin{정렬}\operatorname{바르}({\hat{Y}}_{\text{pwr}})&, ={\frac{1}{n}}{\frac{1}{n-1}}\sum _ᆱ^ᆲ\left({\frac{y_{나는}}{p_{나는}}}-{\hat{Y}}_{pwr}\right)^{2}\\&, ={\frac{1}{n}}{\frac{1}{n-1}}\sum}_ᆸ^ᆹ\left({\frac{n}{n}}{{y_{나는}}\frac{p_{나는}}}-{\frac{n}{n}}\sum_{i=1}^{n}w_{나는}y_{나는}\right)^{2}={\frac{1}{n}{\frac.{1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(nsum frac {y_{i}}{\pi _{i}}-nsum frac {n}{n}w_{i}y_{i}{n}}\right)^2}\&=sum frac {n^{n2}}{n}{n}_n}_sum frak {n}: {n}

그리고 우리는 위에서 공식에 도달했다.

표본이 무작위 표본 크기를 갖는 경우에 대한 대체 용어는 Sarndal 등(1992)에 다음과 ^[2]^{: 182}같이 제시된다.

\operatorname {Var}({\hat {Y}}_{\text{pwr(알고 있음)}N{\text{})}}})=sum frac {1}{N^{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left flac\check {Delta }{\check {y}_{i}{i}{\check {j}{\right}}

${\check {y}}_{i}={\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}$ ${\check {y}}_{i}={\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}$ ${\check {y}}_{i}={\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}$ i = ${\check {y}}_{i}={\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}$ i {\ $displaystyle {y}_{i$ }} = $flac$ {y_{ $i}}$ {\ $pi$ _ ${i$ 또한 $C(I_{i},I_{j})=\pi _{ij}-\pi _{i}\pi _{j}=\Delta _{ij}$ C ( $C(I_{i},I_{j})=\pi _{ij}-\pi _{i}\pi _{j}=\Delta _{ij}$ $C(I_{i},I_{j})=\pi _{ij}-\pi _{i}\pi _{j}=\Delta _{ij}$ ) $C(I_{i},I_{j})=\pi _{ij}-\pi _{i}\pi _{j}=\Delta _{ij}$ $C(I_{i},I_{j})=\pi _{ij}-\pi _{i}\pi _{j}=\Delta _{ij}$ $C(I_{i},I_{j})=\pi _{ij}-\pi _{i}\pi _{j}=\Delta _{ij}$ = $C(I_{i},I_{j})=\pi _{ij}-\pi _{i}\pi _{j}=\Delta _{ij}$ ( $I_{i})$ $。$ $I_{j}=\pi$ _ ${i}-\pi$ _{ $i}\pi$ _{j}=\ $Delta$ _{ $ij}.$ 여기서 $\pi _{ij}$ $\pi _{ij}$ j $\display$ \ $pi$ _ ${ij}$ 는 $C(I_{i},I_{j})=\pi _{ij}-\pi _{i}\pi _{j}=\Delta _{ij}$ $\pi _{ij}$ i와 ^[2]^{: 36}j를 모두 선택할 확률입니다.그리고 ${\check {\Delta }}_{ij}=1-{\frac {\pi _{i}\pi _{j}}{\pi _{ij}}}$ ${\check {\Delta }}_{ij}=1-{\frac {\pi _{i}\pi _{j}}{\pi _{ij}}}$ i ${\check {\Delta }}_{ii}=1-{\frac {\pi _{i}\pi _{i}}{\pi _{i}}}=1-\pi _{i}$ ${\check {\Delta }}_{ij}=1-{\frac {\pi _{i}\pi _{j}}{\pi _{ij}}}$ ${\check {\Delta }}_{ii}=1-{\frac {\pi _{i}\pi _{i}}{\pi _{i}}}=1-\pi _{i}$ - j i ${\check {\Delta }}_{ii}=1-{\frac {\pi _{i}\pi _{i}}{\pi _{i}}}=1-\pi _{i}$ ${\check {\Delta }}_{ij}=1-{\frac {\pi _{i}\pi _{j}}{\pi _{ij}}}$ j ${\check {\Delta }}_{ij}=1-{\frac {\pi _{i}\pi _{j}}{\pi _{ij}}}$ （ $displaystyle ;{ Delta$ }} $_$ { ${\check {\Delta }}_{ii}=1-{\frac {\pi _{i}\pi _{i}}{\pi _{i}}}=1-\pi _{i}$ } ${\check {\Delta }}_{ii}=1-{\frac {\pi _{i}\pi _{i}}{\pi _{i}}}=1-\pi _{i}$ ${\check {\Delta }}_{ii}=1-{\frac {\pi _{i}\pi _{i}}{\pi _{i}}}=1-\pi _{i}$ ${\check {\Delta }}_{ij}=1-{\frac {\pi _{i}\pi _{j}}{\pi _{ij}}}$ - { \ $frac$ { $pi$ _ { $i$ } } $= 1$ ${\check {\Delta }}_{ii}=1-{\frac {\pi _{i}\pi _{i}}{\pi _{i}}}=1-\pi _{i}$ - ${\check {\Delta }}_{ij}=1-{\frac {\pi _{i}\pi _{j}}{\pi _{ij}}}$ ${\check {\Delta }}_{ii}=1-{\frac {\pi _{i}\pi _{i}}{\pi _{i}}}=1-\pi _{i}$ { $pi$ ${\check {\Delta }}_{ii}=1-{\frac {\pi _{i}\pi _{i}}{\pi _{i}}}=1-\pi _{i}$ { i } } ${\check {\Delta }}_{ij}=1-{\frac {\pi _{i}\pi _{j}}{\pi _{ij}}}$ 。

선택확률이 상관없는 경우( $\forall i\neq j:C(I_{i},I_{j})=0$ : $\forall i\neq j:C(I_{i},I_{j})=0$ i $\forall i\neq j:C(I_{i},I_{j})=0$ : C $\forall i\neq j:C(I_{i},I_{j})=0$ （ $\forall i\neq j:C(I_{i},I_{j})=0$ , $\forall i\neq j:C(I_{i},I_{j})=0$ $\forall i\neq j:C(I_{i},I_{j})=0$ ） $=$ $\forall i\neq j:C(I_{i},I_{j})=0$ \ $displaystyle$ \ $forall$ i\ $neq j:C(I_{$ i}) $I_{j}=0})$ 및 각 원소의 확률이 매우 작다고 가정할 경우:

\operatorname{바르}({\hat{\bar{Y}}}_{{\text{pwr(} 알려진}N{\text{).}}})={\frac{1}{N^{2}}}\sum _ᆫ^ᆬ\left(w_{나는}y_{나는}\right)^{2}

프루프

$(1-\pi _{i})\approx 0$ $(1-\pi _{i})\approx 0$ - $(1-\pi _{i})\approx 0$ $(1-\pi _{i})\approx 0$ 0 $(1-\pi _{i})\approx 0$ \ $displaystyle$ ( 1 - \ $pi$ _ { $i$ } \ 0 0 $}$ 0 이라고 $(1-\pi _{i})\approx 0$ 가정합니다.

{begin{aligned}\operatorname {Var}({\hat {Y}}_{\text{pwr(알려진}}N{\text{})}}}}&=sum frac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left flac\check {Delta }}_{ij}{\check {y}{i}{\check {j}}{\check {j}\right}\sum _{j}\sum }\&=sum frac {1}{N^{2}}\sum _{i=1}^{n}\leftsum\check {Delta}}_{i}{\check {y}{i}{\check {y}}_{i}\right}\\&=sum frac {1}{N^{2}}\sum _{i=1}^{n}\left((1-\pi _{i}){\pi _{i}}{\frac {y_{i}}}{\frac {y_{i}}}}{\right}\frac {y {y_{{i}}}}}}\frac}\frac {\}}}}}}}}}\\&=sum frac {1}{N^{2}}\sum _{i=1}^{n}\left(w_{i}y_{i}\right)^2}\end{aligned}

가중 평균의 분산(비율 평균에 대한 δ 추정치)

이전 섹션에서는 모집단 평균을 알려진 모집단 크기( $)$ 에 대한 추정 모집단 총계( $Y$ $displaystyle$ ${Y$ 의 비율로 추정하는 것을 다루었으며, 그 맥락에서 편차는 추정되었다.또 다른 일반적인 경우는 모집단 크기( $\displaystyle$ N $N$ 자체를 알 수 없으며 표본(예: $^(\$ N $(\displaystyle$ N $)$ 의 $N$ 추정은 가중치의 합으로 설명할 수 있습니다. $w_{i}={\frac {1}{\pi _{i}}}$ w $w_{i}={\frac {1}{\pi _{i}}}$ $w_{i}={\frac {1}{\pi _{i}}}$ $w_{i}={\frac {1}{\pi _{i}}}$ ${\$ i ( \ $display$ style $w _$ { $i }$ ${\hat {N}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}I_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {I_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\check {1}}'_{i}$ ${\hat {N}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}I_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {I_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\check {1}}'_{i}$ ${\hat {N}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}I_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {I_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\check {1}}'_{i}$ ${\hat {N}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}I_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {I_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\check {1}}'_{i}$ ${\hat {N}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}I_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {I_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\check {1}}'_{i}$ ${\hat {N}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}I_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {I_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\check {1}}'_{i}$ 1 ${\hat {N}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}I_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {I_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\check {1}}'_{i}$ ${\hat {N}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}I_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {I_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\check {1}}'_{i}$ ${\hat {N}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}I_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {I_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\check {1}}'_{i}$ ${\hat {N}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}I_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {I_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\check {1}}'_{i}$ n ${\hat {N}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}I_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {I_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\check {1}}'_{i}$ = ${\hat {N}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}I_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {I_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\check {1}}'_{i}$ n ${\hat {N}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}I_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {I_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\check {1}}'_{i}$ = 1 n ${\hat {N}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}I_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {I_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\check {1}}'_{i}$ ${\hat {N}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}I_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {I_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\check {1}}'_{i}$ ${\hat {N}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}I_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {I_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\check {1}}'_{i}$ ${\hat {N}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}I_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {I_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\check {1}}'_{i}$ ${\hat {N}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}I_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {I_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\check {1}}'_{i}$ ˇ i ${\hat {N}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}I_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {I_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\check {1}}'_{i}$ 1 n ${\hat {N}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}I_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {I_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\check {1}}'_{i}$ i $=$ 1 n i i ${\hat {N}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}I_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {I_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\check {1}}'_{i}$ （ $display$ style $w$ _ { 1 $=$ 1 n = 1 n ） i i i i $w_{i}={\frac {1}{\pi _{i}}}$ { \ flacclacclac { 1 }}}}} ${\hat {N}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}I_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {I_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\check {1}}'_{i}$ n n n { n frac { ${\hat {N}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}I_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {I_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\check {1}}'_{i}$ n frac { n frac { $sum$ i }}} $I_{i}=\sum$ _ ${i=1}^{n}{\frac {I_{i}}{\pi$ _{i}}=\ $sum$ _{ $i$ $=$ $1}^{n}{\check {1}'$ $y_{i}$ ${i$ 이전 섹션의 표기법을 사용할 때 유의하는 비율은 $y_{i}$ 의 $y_{i}$ 입니다.예: $R={\bar {Y}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}$ $R={\bar {Y}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}$ $R={\bar {Y}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}$ $R={\bar {Y}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}$ $R={\bar {Y}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}$ $R={\bar {Y}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}$ $R={\bar {Y}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}$ $R={\bar {Y}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}$ y $R={\bar {Y}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}$ $R={\bar {Y}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}$ $R={\bar {Y}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}$ $R={\bar {Y}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}$ $R={\bar {Y}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}$ $R={\bar {Y}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}$ $R={\bar {Y}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}$ $R={\bar {Y}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}$ i $R={\bar {Y}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}$ $R={\bar {Y}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}$ N $R={\bar {Y}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}$ = $R={\bar {Y}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}$ $R={\bar {Y}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}$ $R={\bar {Y}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}$ $R={\bar {Y}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}$ $R={\bar {Y}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}$ = $R={\bar {Y}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}$ $R={\bar {Y}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}$ $R={\bar {Y}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}$ $R={\bar {Y}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}$ $R={\bar {Y}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}$ $R={\bar {Y}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}$ 1 N $R={\bar {Y}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}$ $R={\bar {Y}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}$ $R={\bar {Y}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}$ = 1 $R={\bar {Y}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}$ wi = i = 1 n wi = i = 1 n $war$ i = 1 n wi = 1 n wi = i = i $R={\bar {Y}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}$ = i = i {\ i {\ i {\ i {\ $R={\bar {Y}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}$ {\ i {\ i {\ i {\ i {\ i {\ i {\ i {\ i = i {\ i $_{i}}}=sum$ frac ${{i=1}^{n}{\check$ { $y}_{i}}{\sum$ _ ${i=1}^{n}{\check {$ i}}= $sum$ frac ${sum$ _ ${i=1$ }^{ $N}w_{i}{i$ }{ $i}}}{$ i}}}{i}}}}= $sum$ frac frac {i}{i}{n}{n}{n}{n}{n}{n}{n}}}{n}{n $}}}}}}}{$ n}{n ${\hat {R}}={\hat {\bar {Y}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}I_{i}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}I_{i}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}'_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}'_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y'_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}1'_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}1'_{i}}}={\bar {y}}_{w}$ $I_{i}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}$ $I_{i}{\frac {1}{\pi$ _ ${i}}}=sum frac$ {{ $i=1}^{N}{\check {y}}_{i$ }}{\ $sum$ _ ${i=1}^{N}{\check {$ 1 $}_{i$ }}= $sum$ frac ${sum {i=1}^{n$ }{n}{n $}{$ i}}{ $i}}$ _i}}}{i $}}}}}}{y$ }}}}}}}}}}{i_y}}}}}}}}}}{i}}}}}o 간단하게 쓸 수 있습니다. ${\bar {y}}_{w}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}$ y ${\bar {y}}_{w}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}$ ${\bar {y}}_{w}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}$ 1 ${\bar {y}}_{w}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}$ ${\bar {y}}_{w}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}$ ${\bar {y}}_{w}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}$ = ${\bar {y}}_{w}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}$ ${\bar {y}}_{w}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}$ w ${\bar {y}}_{w}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}$ $=$ 1 n ${\bar {y}}_{w}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}$ ${\bar {y}}_{w}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}$ { $display$ style { $y$ $} _$ { w } $=$ 1 n $frac$ { $sum$ _ { i ${\bar {y}}_{w}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}$ = $1$ }^{ $n$ } $w$ _ { i } { $i$ } ${\bar {y}}_{w}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}$ { $sum$ _ { i }이 값은 y와 w의 특정 값에 대한 추정치가 되지만 통계 속성은 ${\bar {y}}_{w}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}1'_{i}}}$ 변수 y ${\bar {y}}_{w}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}1'_{i}}}$ w ${\bar {y}}_{w}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}1'_{i}}}$ ${\bar {y}}_{w}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}1'_{i}}}$ ${\bar {y}}_{w}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}1'_{i}}}$ 1 ${\bar {y}}_{w}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}1'_{i}}}$ ${\bar {y}}_{w}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}1'_{i}}}$ i ${\bar {y}}_{w}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}1'_{i}}}$ ${\bar {y}}_{w}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}1'_{i}}}$ ${\bar {y}}_{w}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}1'_{i}}}$ ${\bar {y}}_{w}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}1'_{i}}}$ n ${\bar {y}}_{w}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}1'_{i}}}$ i ${\bar {y}}_{w}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}1'_{i}}}$ = 1 ${\bar {y}}_{w}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}1'_{i}}}$ { $y } =$ frac { $sum _$ i $= 1$ bar { $y$ } { $w _$ { w } { w _ { w } { w _ $i }$ }} { sum $frac$ { sum } { i } { sum _ sum } }

이를 비율 추정기라고 하며 ^[2]^{: 182}R에 대해 거의 치우치지 않습니다.

이 경우 비율의 변동성은 분자와 분모에서 랜덤 변수의 변동성과 상관 관계에 따라 달라집니다.이 분산을 계산할 수 있는 닫힌 분석 형식이 없기 때문에 다양한 방법이 대략적인 추정에 사용됩니다.주로 Taylor 시리즈의 1차 선형화, 점근성 및 부트스트랩/^[2]^{: 172}잭나이프입니다.Taylor 선형화 방법은 일반적으로 작은 표본 크기에 대한 분산을 과소 추정할 수 있지만 통계량의 복잡도에 따라 달라집니다.가중 평균의 경우 표본 크기가 ^[2]^{: 176}중간인 경우에도 근사 분산이 비교적 정확해야 합니다.표본 추출이 랜덤 표본 크기를 갖는 경우(포아송 표본 추출에서와 같이), 다음과 같습니다.^[2]^{: 182}

V

}}=sumfrac {1}{{i=1}^{n}w_{i}^

2}\

sum _{i=1}^{n}w_{i

}^2

}(y_{i}-{\bar {y}_{

w})^2

{\widehat {V({\bar {y}}_{w})}}={\frac {1}{(\sum _{i=1}^{n}w_{i})^{2}}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}(y_{i}-{\bar {y}}_{w})^{2}

2

}}.

$\pi _{i}\approx p_{i}n$ that i $\pi _{i}\approx p_{i}n$ $\pi _{i}\approx p_{i}n$ $\pi _{i}\approx p_{i}n$ \ $displaystyle$ \ $pi$ _ { i $\pi _{i}\approx p_{i}n$ } \ approx $p$ _ { $\pi _{i}\approx p_{i}n$ $i$ } $n$ w $w_{i}={\frac {1}{\pi _{i}}}$ $w$ $=$ $w_{i}={\frac {1}{p_{i}}}$ ${\$ {\ {\ {\{\ $frac {$ } { \ $pi$ _ { $}$ $w_{i}={\frac {1}{p_{i}}}$ w $=$ $1$ $pi$ _ { $displaystyle$ w _ { i $w_{i}={\frac {1}{\pi _{i}}}$ $}$ } $w_{i}={\frac {1}{p_{i}}}$ $w_{i}={\frac {1}{\pi _{i}}}$ w w w w w w w w w $w_{i}={\frac {1}{p_{i}}}$ w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w배우도 같은 추정치를 얻을 수 있습니다.또한 가중치의 합계를 이전부터 알려진 모집단 크기 N과 동일하게 척도화하면 분산 계산이 같아 보인다는 의미도 됩니다.모든 가중치가 서로 같으면 이 공식은 표준 비편향 분산 추정기로 감소합니다.

★★★

Taylor 선형화에서는 2개의 합계( $R$ ^ ${\hat {R}}={\frac {\hat {Y}}{\hat {Z}}}$ ${\hat {R}}={\frac {\hat {Y}}{\hat {Z}}}$ ^ $^$ { $style {$ hat { R}} = $frac$ { $Y}}{\ hat$ { $Z}}})$ 의 일반 비율 추정치에 대해 R을 중심으로 확장할 수 있으며 다음과 같은 값을 ^[2]^{: 178}얻을 수 있습니다.

{\displaystyle {R}=hatfrac {Y}=hat frac {{i=1}^{n}w_{i}y'_i}{sum _{i}{n}w_{i}z'_{i}}\약 R+{frac {1}Z}_SUM

분산은 다음과 ^[2]^{: 178, 179}같이 근사할 수 있습니다.

{V(\hat {R}}}=sum frac {1}{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left\check {Delta }}_{ij}}{\fracy {i}-{{R}}}{i}}}{sum모자 {Z}})\right]

$용어$ C ${\hat {C}}({\hat {Y}},{\hat {Z}})$ ^ ( ${\hat {C}}({\hat {Y}},{\hat {Z}})$ ^ ${\hat {C}}({\hat {Y}},{\hat {Z}})$ , Z $^$ ) ( \ $displaystyle$ { \ hat { C } （ { \ $hat$ { $Y$ } , { \ $hat$ { $Z$ } ） )는 ${\hat {C}}({\hat {Y}},{\hat {Z}})$ Y의 추정합과 Z의 추정합 사이의 공분산 추정치이다.이 값은 두 랜덤 변수 합계의 공분산이므로 지시 변수에 따라 달라지는 공분산 조합을 많이 포함합니다.선택확률이 상관없는 경우( $\forall i\neq j:\Delta _{ij}=C(I_{i},I_{j})=0$ : $\forall i\neq j:\Delta _{ij}=C(I_{i},I_{j})=0$ i $\forall i\neq j:\Delta _{ij}=C(I_{i},I_{j})=0$ j : $\forall i\neq j:\Delta _{ij}=C(I_{i},I_{j})=0$ i $\forall i\neq j:\Delta _{ij}=C(I_{i},I_{j})=0$ $\forall i\neq j:\Delta _{ij}=C(I_{i},I_{j})=0$ ( I $\forall i\neq j:\Delta _{ij}=C(I_{i},I_{j})=0$ , $\forall i\neq j:\Delta _{ij}=C(I_{i},I_{j})=0$ ) $\forall i\neq j:\Delta _{ij}=C(I_{i},I_{j})=0$ \ $displaystyle \forall$ i $\neq$ j $:\Delta$ _ ${i}$ = $C(I_{i$ }) $I_{j}=0})$ 이 용어는 $y'_{i}=I_{i}y_{i}$ i $y'_{i}=I_{i}y_{i}$ $y'_{i}=I_{i}y_{i}$ $y'_{i}=I_{i}y_{i}$ $y'_{i}=I_{i}y_{i}$ y $y$ y $' _$ { i } $=$ $사이$ 의 각 요소 i에 대한 n개의 공분산 합계를 포함합니다. $I_{i}y_$ $z'_{i}=I_{i}z_{i}$ $z'_{i}=I_{i}z_{i}$ $z'_{i}=I_{i}z_{i}$ $z'_{i}=I_{i}z_{i}$ $z'_{i}=I_{i}z_{i}$ $z'_{i}=I_{i}z_{i}$ $z'_{i}=I_{i}z_{i}$ i $z'_{i}=I_{i}z_{i}$ i i i $_$ { i } $=$ $I_{i}z_{i$ 이 공식은 비율 추정기의 분산에 대한 y와 z 사이의 상관 관계 효과를 통합하는 데 도움이 됩니다.

$z_{i}=1$ i $=$ { $display z_{i$ }= $1}$ 을 $z_{i}=1$ (를) 정의하면 위와 같이 됩니다.^[2]^{: 182}

{V(\hat {R}}}}}={V(\bar {y}}_{w})}}}=hat frac {1}{\hat {N}^{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left flac\check {Delta }}}_{ij}{\frac {y}-{y}{\pi {w}}{frac}\frac {\frac}{{{n}{{y}}{n}}}{frac}}}{frac}{{n}\frac}}

선택확률이 상관없는 경우( $\forall i\neq j:\Delta _{ij}=C(I_{i},I_{j})=0$ : $\forall i\neq j:\Delta _{ij}=C(I_{i},I_{j})=0$ i $\forall i\neq j:\Delta _{ij}=C(I_{i},I_{j})=0$ j : $\forall i\neq j:\Delta _{ij}=C(I_{i},I_{j})=0$ i $\forall i\neq j:\Delta _{ij}=C(I_{i},I_{j})=0$ $\forall i\neq j:\Delta _{ij}=C(I_{i},I_{j})=0$ ( I $\forall i\neq j:\Delta _{ij}=C(I_{i},I_{j})=0$ , $\forall i\neq j:\Delta _{ij}=C(I_{i},I_{j})=0$ ) $\forall i\neq j:\Delta _{ij}=C(I_{i},I_{j})=0$ \ $displaystyle \forall$ i $\neq$ j $:\Delta$ _ ${i}$ = $C(I_{i$ }) $I_{j}=0})$ 및 각 요소의 확률이 매우 작다고 가정할 때(즉 $(1-\pi _{i})\approx 0$ ( $(1-\pi _{i})\approx 0$ - $(1-\pi _{i})\approx 0$ i ) ${\$ $(1-\pi _{i})\approx 0$ \ $displaystyle$ ( $1$ - \ $pi$ _ { $i$ } \ $approx$ 0 ) then then then 、 상기의 값을 다음과 같이 줄인다.

{V(\bar {y}}_{w})}}}=par frac {1}{\hat {N}^{2}}\sum _{i=1}^{n}\left((1-\pi _{i}){\bar {y}_{w}}{\pi _i}}\right)^2}=par frac {{{n}{{{{{{n}}}\sum_i}{{{{n}}}{{{{n}}}}}}}\sum_n}\sum_{{{{{{{{{n}}}}}}}}}

(마지막에 몇 가지 실수까지) 유사한 증명 재작성이 교차 검증된 ^[3]Thomas Lumley에 의해 제공되었습니다.

가중 평균에 대한 분산 버전(적어도)이 두 개 있다. 하나는 알려진 버전이고 다른 하나는 알려지지 않은 모집단 크기 추정이다.균등하게 더 나은 접근법은 없지만, 문헌은 모집단 추정 버전을 사용하는 것을 선호한다는 몇 가지 주장을 제시한다(인구 크기가 ^[2]^{: 188}알려진 경우에도).예를 들어, 모든 y 값이 일정하면 모집단 크기를 알 수 없는 추정치는 올바른 결과를 제공하는 반면 모집단 크기를 알 수 있는 추정치는 변동성이 있습니다.또한 표본 크기 자체가 랜덤인 경우(예: 포아송 표본 추출에서), 모집단 평균을 알 수 없는 버전이 더 안정적인 것으로 간주됩니다.마지막으로 표본 추출의 비율이 값과 음의 상관 관계(즉, 큰 관측치를 표본 추출할 수 있는 더 적은 기회)인 경우, 알려지지 않은 모집단 크기 버전이 이를 약간 보상한다.

Gatz et al.(1995)에 의해 부트스트래핑 방법과 비교하여 다음(Taylor 직렬 선형화를 사용한 비율 평균의 분산 추정)이 평균의 표준 오차 제곱에 대한 합리적인 추정이라는 것이 밝혀졌다(화학 성분 측정의 맥락에서 사용될 경우).^[4]^{: 1186}

{ (w_i)x_{i}-{\bar {w}}{\bar {x}}^2-2bar {sum}}{w}}

${\bar {w}}={\frac {\sum w_{i}}{n}}$ 서 w ${\bar {w}}={\frac {\sum w_{i}}{n}}$ ${\bar {w}}={\frac {\sum w_{i}}{n}}$ { $displaystyle$ { $w$ } = $frac$ { $sum w$ _ { $i$ } } ${\bar {w}}={\frac {\sum w_{i}}{n}}$ { n ${\bar {w}}={\frac {\sum w_{i}}{n}}$ } 。좀 더 심플하게 하면,

{x}displaystyle bar {x}^{2}}=subfrac {n}{n}{n}

Gatz 등은 위의 공식은 Cochran(1977년)이 발표한 공식에 기초하여 가중 평균을 모집단 ^[5]크기의 추정기로 나눈 가중 총 추정기의 조합으로 취급할 때 Endlich 등(1988)에 의해 발표되었다고 언급했다.그러나 Endlich 등은 (그들이 그것을 사용했다고 언급했음에도 불구하고) 논문에 이 파생물을 발표하지 않은 것으로 보이며, Cochran의 책에는 약간 다른 ^[1]^{: 155}공식이 포함되어 있다.그러나 이는 이전 섹션에서 설명한 공식과 거의 동일합니다.

기반

가중 평균의 분산에 대한 폐쇄적 분석 형식이 없기 때문에, Jackknife와 Bootstraping과 ^[1]^{: 321}같은 복제 방법에 의존하는 것이 문헌에서 제안되었다.

분산이 $\sigma _{i}^{2}$ i $\sigma _{i}^{2}$ {\ $displaystyle \sigma$ _ ${i$ 인 상관 관계가 없는 관측치의 경우 가중 표본 평균의^{[citation needed]} 분산은 다음과 같다.

}{ _{\bar {x}^2}=\sum _{i=1}^{n}{w_{i}^{2}={display_{i}^{n}}^{{n}}}^{{{nn}}}}}}}}}{displaystylashisplaystyle}}}}}}}}}

제곱근 $\sigma _{\bar {x}}$ x ${\$ \ $displaystyle$ \ $display$ _ { \ $bar$ { $x$ } }는 $\sigma _{\bar {x}}$ 가중평균의 표준오차(일반적인 경우)^{[citation needed]}라고 할 수 있습니다.

따라서 모든 관측치가 동일한 분산인 경우, $\sigma _{i}^{2}=\sigma _{0}^{2}$ i $\sigma _{i}^{2}=\sigma _{0}^{2}$ $=$ $\sigma _{i}^{2}=\sigma _{0}^{2}$ $\sigma _{i}^{2}=\sigma _{0}^{2}$ 2 \ $displaystyle$ \ $displaystyle _$ { $i$ }^{2}= \ $displays$ _ { i $}^2},$ 가중 표본 평균은 분산이 된다.

=_{_{}=\display _{0}^2}\sum _{i=1}^{n}{w_{i}}^2}={{display style}^{{{{2}}}}^{{{display}}}}}}}}^2}}}}{display

${\textstyle 1/n\leq \sum _{i=1}^{n}{w_{i}'^{2}}\leq 1}$ 서 ${\textstyle 1/n\leq \sum _{i=1}^{n}{w_{i}'^{2}}\leq 1}$ 1/ ${\textstyle 1/n\leq \sum _{i=1}^{n}{w_{i}'^{2}}\leq 1}$ ${\textstyle 1/n\leq \sum _{i=1}^{n}{w_{i}'^{2}}\leq 1}$ ${\textstyle 1/n\leq \sum _{i=1}^{n}{w_{i}'^{2}}\leq 1}$ 1 ${\textstyle 1/n\leq \sum _{i=1}^{n}{w_{i}'^{2}}\leq 1}$ w ${\textstyle 1/n\leq \sum _{i=1}^{n}{w_{i}'^{2}}\leq 1}$ 2 ${\textstyle 1/n\leq \sum _{i=1}^{n}{w_{i}'^{2}}\leq 1}$ 1 $1$ 1 { $\sigma _{0}^{2}$ $textstyle$ 1/n $\$ $leq$ ${\textstyle 1/n\leq \sum _{i=1}^{n}{w_{i}'^{2}}\leq 1}$ \ $sum$ _ {i = $1$ } { $w_$ ${i$ $}'^{2$ $}}.$ $1$ 을 제외한 $모든$ 무게가 0일 때 분산은 최대값 $\sigma _{0}^{2}$ 0 $\sigma _{0}^{2}$ 에 도달합니다 $\sigma _{0}^{2}$ 최소값은 모든 가중치가 같을 때(즉, 가중되지 않은 평균) 발견되며, 이 경우 ${\textstyle \sigma _{\bar {x}}=\sigma _{0}/{\sqrt {n}}}$ x $=$ ${\textstyle \sigma _{\bar {x}}=\sigma _{0}/{\sqrt {n}}}$ 0 / ${\textstyle \sigma _{\bar {x}}=\sigma _{0}/{\sqrt {n}}}$ ${\bar {$ x}=\ $timeout _{0}/{\timeoutrt {n$ 즉, 평균 제곱의 표준 오차로 퇴보한다.

항상 정규화되지 않은 가중치를 정규화된 가중치로 변환할 수 있으므로, 이 섹션의 모든 공식은 $w_{i}'={\frac {w_{i}}{\sum _{i=1}^{n}{w_{i}}}}$ w $w_{i}'={\frac {w_{i}}{\sum _{i=1}^{n}{w_{i}}}}$ $w_{i}'={\frac {w_{i}}{\sum _{i=1}^{n}{w_{i}}}}$ $w_{i}'={\frac {w_{i}}{\sum _{i=1}^{n}{w_{i}}}}$ $w_{i}'={\frac {w_{i}}{\sum _{i=1}^{n}{w_{i}}}}$ i $w_{i}'={\frac {w_{i}}{\sum _{i=1}^{n}{w_{i}}}}$ 1 $w_{i}'={\frac {w_{i}}{\sum _{i=1}^{n}{w_{i}}}}$ $w_{i}'={\frac {w_{i}}{\sum _{i=1}^{n}{w_{i}}}}$ i { $displaystyle w_{i$ } = $flac {w_{i}$ {\ $sum$ _ { $i=1$ }^{ $n}{w_i}}}}$ } 를 대체하여 정규화되지 않은 가중치에 적용할 수 있다.

References

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External links

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