섬유에 따른 통합

미분 기하학에서, $(k-m)$ k-폼의 섬유들을 따라 통합하면 $(k-m)$ a ( $(k-m)$ - m ) $(k-m)$ {\ $displaystyle (k-m)}-$ 폼이 $(k-m)$ 생성되는데, 여기서 m은 "통합"을 통해 섬유 치수다.

정의

Let $\pi :E\to B$ : $\pi :E\to B$ → $\pi :E\to B$ ${\displaystyle \pi$ : $E\to B}$ 은(는) 콤팩트 지향 섬유가 있는 다지관 위에 있는 섬유 묶음이다 $\pi :E\to B$ . $\alpha$ $\alpha$ 이 $\alpha$ (가) E의 k-form인 경우 접선 벡터 w가_i b에 있으면

{\displaystyle(\pi _{*}\pi )_{b}(w_{1},\b)\int _{\pi ^{-1}(b)\pi }

여기서 $\beta$ ${\$ $\beta }$ 은 $\beta$ (는 $\pi ^{-1}(b)$ $\pi ^{-1}(b)$ top - 1 $\pi ^{-1}(b)$ ( ) ${\displaystyle \pi ^-1}(b$ 즉, ${\widetilde {w_{i}}}$ $w_{i}$ ${\widetilde {w_{i}}}$ ~ ${\$ $}}}}$ 가 $제공$ 하는 m {\ $displaystystylem$ m $}$ -form을 $m$ E로 $w_{i}$ 들어 ${\widetilde {w_{i}}}$ $올린다.$

\property(v_{1},\property,v_{m})=\displaystyle \displayte {w_{1}},\widetilde {w_{k-m}}}=\displaysty=\v_{w.

( $b\mapsto (\pi _{*}\alpha )_{b}$ $b\mapsto (\pi _{*}\alpha )_{b}$ ( ( $b\mapsto (\pi _{*}\alpha )_{b}$ ) b ${\$ 이 $b\mapsto (\pi _{*}\alpha )_{b}$ (가) 매끄러워 보이려면 좌표로 계산하십시오. cf. 아래 예시).

Then $\pi _{*}$ is a linear map $\Omega ^{k}(E)\to \Omega ^{k-m}(B)$ . By Stokes' formula, if the fibers have no boundaries(i.e. $[d,\int ]=0$ ), the map descends to de Rham cohomology:

\pi _{*}:\operatorname {H} ^{k}(E;\mathb {R} )\to \operatorname {H} ^{k-m}(B;\mathb {R}).

이것을 섬유 통합이라고도 한다.

자, $\pi$ ${\displaystyle \pi$ }이 $\pi$ $($ 가) 구(區) 번들이라고 가정하자. 즉, 전형적인 섬유는 구(區)이다.Then there is an exact sequence $0\to K\to \Omega ^{*}(E){\overset {\pi _{*}}{\to }}\Omega ^{*}(B)\to 0$ , K the kernel, which leads to a long exact sequence, dropping the coefficient $\mathbb {R}$ and using $\operatorname {H} ^{k}(B)\simeq \operatorname {H} ^{k+m}(K)$ $\operatorname {H} ^{k}(B)\simeq \operatorname {H} ^{k+m}(K)$ $\operatorname {H} ^{k}(B)\simeq \operatorname {H} ^{k+m}(K)$ :

{\displaystyle \cdots \rightarrow \operatorname {H} ^{k}(B){\overset {\delta }{\to }}\operatorname {H} ^{k+m+1}(B){\overset {\pi ^{*}}{\rightarrow }}\operatorname {H} ^{k+m+1}(E){\overset {\pi _{*}}{\rightarrow }}\op

eratorname {H} ^{k+1}(B)\오른쪽

화살표

\cdots

\cdots \rightarrow \operatorname {H} ^{k}(B){\overset {\delta }{\to }}\operatorname {H} ^{k+m+1}(B){\overset {\pi ^{*}}{\rightarrow }}\operatorname {H} ^{k+m+1}(E){\overset {\pi _{*}}{\rightarrow }}\operatorname {H} ^{k+1}(B)\rightarrow \cdots

'기신 수열'이라 불렸지

예

$\pi :M\times [0,1]\to M$ : $\pi :M\times [0,1]\to M$ $\pi :M\times [0,1]\to M$ [ $\pi :M\times [0,1]\to M$ $\pi :M\times [0,1]\to M$ $\pi :M\times [0,1]\to M$ → M ${\displaystyle \pi :M\time [0,1]\to$ M $}$ 을(를) 명백한 투영으로 한다 $\pi :M\times [0,1]\to M$ . $M=\mathbb {R} ^{n}$ 좌표 $x_{j}$ $x_{j}$ 가 ${\$ 인 $M={\mathbb {R}}^{n}$ $M=\mathbb {R} ^{n}$ = ${\$ M $=\mathb {R} ^n}$ 을(를) 가정하고 $x_{j}$ k-form을 고려하십시오.

\f\,dx_{i_{1}}\property dx_{k}}+g\,dt\property dx_{j_}}}\property \put \put \put \put \x_{j_{k-1}}}}}}

그리고 나서, M의 각 지점에서,

\pi _{*}(\alpha )=\pi _{*}(g\,dt\wedge dx_{j_{1}}\wedge \dots \wedge dx_{j_{k-1}})=\left(\int _{0}^{1}g(\cdot ,t)\,dt\right)\,{dx_{j_{1}}\wedge \dots \wedge dx_{j_{k-1}}}.

^[1]

이 로컬 계산에서 다음 공식은 쉽게 따르며, 만약 $\alpha$ $\alpha$ 이(가) $M\times I,$ $M\times I,$ I $M\times I,$ , ${\displaystyle M\times$ I $,}$ 의 k-form이면 다음과 $\alpha$ 같다.

\pi _{*}(d\pi )=\pi _{1}-\pi _{0}-d\pi _{*(\pi )

여기서 $\alpha _{i}$ $\alpha _{i}$ ${\$ $}$ 는 $\alpha _{i}$ $\alpha$ ${\$ $displaystyle$ $\alpha$ }에서 $\alpha$ $M\times \{i\}$ $M\times \{i\}$ $M\times \{i\}$ i $}까지 제한$ 된다 $M\times \{i\}$

$f:M\times [0,1]\to N$ 공식을 적용하기 위해 $f:M\times [0,1]\to N$ : $f:M\times [0,1]\to N$ $f:M\times [0,1]\to N$ [ $f:M\times [0,1]\to N$ $f:M\times [0,1]\to N$ $f:M\times [0,1]\to N$ → N ${\displaystyle f:$ $M\times [0,1]\to$ N $}$ 은 $f:M\times [0,1]\to N$ (는) 매끄러운 지도(호모토피라고 생각함)이다.그러면 합성 $h=\pi _{*}\circ f^{*}$ = $h=\pi _{*}\circ f^{*}$ $h=\pi _{*}\circ f^{*}$ $h=\pi _{*}\circ f^{*}$ f $h=\pi _{*}\circ f^{*}$ ${\$ f $^{*}}}$ 는 $h=\pi _{*}\circ f^{*}$ 호모토피 연산자:

d\put h+h\put d=f_{1}^{*}-f_{0}^{*}:\Oomega ^{k}(N)\to \Oomega ^{k}(M),

즉, $f_{1},f_{0}$ $f_{1},f_{0}$ , $f_{1},f_{0}$ 0 ${\$ 은(는) 코호몰로지(chomology)에 대해 동일한 지도를 유도하는데 $f_{1},f_{0}$ , 이 사실은 드 Rham 코호몰로지(de Rham cohomology)의 호모토피피 침입으로 알려져 있다.예를 들어, 코롤리(corolarary)로서 U를 원점에 있는 R의ⁿ 오픈 볼로 $f_{t}:U\to U,x\mapsto tx$ f $f_{t}:U\to U,x\mapsto tx$ : $f_{t}:U\to U,x\mapsto tx$ → U $f_{t}:U\to U,x\mapsto tx$ , $f_{t}:U\to U,x\mapsto tx$ $f_{t}:U\to U,x\mapsto tx$ $f_{t}:U\to U,x\mapsto tx$ $f_{t}:U\to U,x\mapsto tx$ ${\displaystyle f_{t}:$ $U\to U,x\mapsto tx$ 그러면 $\operatorname {H} ^{k}(U;\mathbb {R} )=\operatorname {H} ^{k}(pt;\mathbb {R} )$ $\operatorname {H} ^{k}(U;\mathbb {R} )=\operatorname {H} ^{k}(pt;\mathbb {R} )$ $\operatorname {H} ^{k}(U;\mathbb {R} )=\operatorname {H} ^{k}(pt;\mathbb {R} )$ $\operatorname {H} ^{k}(U;\mathbb {R} )=\operatorname {H} ^{k}(pt;\mathbb {R} )$ ; R $\operatorname {H} ^{k}(U;\mathbb {R} )=\operatorname {H} ^{k}(pt;\mathbb {R} )$ ) $\operatorname {H} ^{k}(U;\mathbb {R} )=\operatorname {H} ^{k}(pt;\mathbb {R} )$ = $\operatorname {H} ^{k}(U;\mathbb {R} )=\operatorname {H} ^{k}(pt;\mathbb {R} )$ $\operatorname {H} ^{k}(U;\mathbb {R} )=\operatorname {H} ^{k}(pt;\mathbb {R} )$ $\operatorname {H} ^{k}(U;\mathbb {R} )=\operatorname {H} ^{k}(pt;\mathbb {R} )$ $\operatorname {H} ^{k}(U;\mathbb {R} )=\operatorname {H} ^{k}(pt;\mathbb {R} )$ ; $\operatorname {H} ^{k}(U;\mathbb {R} )=\operatorname {H} ^{k}(pt;\mathbb {R} )$ ) ${\displaystyle \operatorname {H}^{k}(U;\mathb {R} )=\operatorname {H} ^{k}(pt;\mathb {R} ),$ Poincaré lemema로 알려진 사실 $\operatorname {H} ^{k}(U;\mathbb {R} )=\operatorname {H} ^{k}(pt;\mathbb {R} )$

투영식

다지관 위에 벡터 번들 b : E → B를 놓고 볼 때, 제한 $\alpha |_{\pi ^{-1}(b)}$ α α $\alpha |_{\pi ^{-1}(b)}$ - $\alpha |_{\pi ^{-1}(b)}$ ( b $){\$ 이(가) B의 각 B에 대해 콤팩트한 지원을 가지고 $\alpha |_{\pi ^{-1}(b)}$ 있다면 E의 미분형 α는 수직 콤팩트 서포트를 가지고 있다고 우리는 말한다.수직 콤팩트 지원 E에 차분 형태의 벡터 공간에 대해 $\Omega _{vc}^{*}(E)$ $\Omega _{vc}^{*}(E)$ $\Omega _{vc}^{*}(E)$ $\Omega _{vc}^{*}(E)$ $\Omega _{vc}^{*}(E)$ ( $\Omega _{vc}^{*}(E)$ ) $\Oomega _{vc}^{*}(E)$ 라고 쓴다.E가 정확히 이전과 같이 벡터 번들로 지향된다면, 우리는 섬유에 따른 통합을 정의할 수 있다.

\pi _{*}:\Oomega _{vc}^{*}(E)\to \Oomega ^{*}(B).

다음은 투영 공식으로 알려져 있다.^[2]We make $\Omega _{vc}^{*}(E)$ a right $\Omega ^{*}(B)$ -module by setting $\alpha \cdot \beta =\alpha \wedge \pi ^{*}\beta$ .

발의안 — Let $\pi :E\to B$ : $\pi :E\to B$ → B ${\displaystyle \pi :$ $E\to B}$ 은(는) 다지관 위에 있는 방향 벡터 번들이며 $\pi :E\to B$ , ${\$ 섬유에 따른 통합이다 $\pi _{*}$ .그러면.

$\pi _{*}$ ∗{\ $displaystyle \pi$ _{*}}는 Ω $\Omega ^{*}(B)$ ( $B$ ) {\ $displaystyle \Oomega ^{*}($ B $\Omega ^{*}(B)$ )} -선형, 즉, B의 모든 형태 β 및 E의 수직 콤팩트 지원 형태 α에 대해 $\pi _{*}$ ,
${\displaystyle \pi _{*}(\display \pi ^{*}\pi )=\pi _{*}\display \pi \pi \display \pi \d$
B가 다지관으로 되어 있는 경우, 수직 콤팩트 서포트가 있는 E의 어떤 형태 α와 콤팩트 서포트가 있는 B의 어떤 형태 β에 대하여,
$\int _{E}\alpha \wedge \pi ^{*}\beta =\int _{B}\pi _{*}\alpha \wedge \beta$ $\int _{E}\alpha \wedge \pi ^{*}\beta =\int _{B}\pi _{*}\alpha \wedge \beta$ $\int _{E}\alpha \wedge \pi ^{*}\beta =\int _{B}\pi _{*}\alpha \wedge \beta$ $\int _{E}\alpha \wedge \pi ^{*}\beta =\int _{B}\pi _{*}\alpha \wedge \beta$ $\int _{E}\alpha \wedge \pi ^{*}\beta =\int _{B}\pi _{*}\alpha \wedge \beta$ $\int _{E}\alpha \wedge \pi ^{*}\beta =\int _{B}\pi _{*}\alpha \wedge \beta$ = $\int _{E}\alpha \wedge \pi ^{*}\beta =\int _{B}\pi _{*}\alpha \wedge \beta$ $\int _{E}\alpha \wedge \pi ^{*}\beta =\int _{B}\pi _{*}\alpha \wedge \beta$ $\int _{E}\alpha \wedge \pi ^{*}\beta =\int _{B}\pi _{*}\alpha \wedge \beta$ $\int _{E}\alpha \wedge \pi ^{*}\beta =\int _{B}\pi _{*}\alpha \wedge \beta$ β $\int _{E}\alpha \wedge \pi ^{*}\beta =\int _{B}\pi _{*}\alpha \wedge \beta$ \\ $displaystyle \int _{$ E}\ $alpha \wedge \pi ^{*}\int _{$ B}\ $pi _$ {*}\ $alpha \wedge \beta$ $\int _{E}\alpha \wedge \pi ^{*}\beta =\int _{B}\pi _{*}\alpha \wedge \beta$

증명: 1.주장이 국소적이기 때문에 $\pi :E=B\times \mathbb {R} ^{n}\to B$ 은 사소한 것이라고 가정할 수 있다. 즉, $\pi :E=B\times \mathbb {R} ^{n}\to B$ : $\pi :E=B\times \mathbb {R} ^{n}\to B$ = $\pi :E=B\times \mathbb {R} ^{n}\to B$ × $\pi :E=B\times \mathbb {R} ^{n}\to B$ → $\pi :E=B\times \mathbb {R} ^{n}\to B$ {\ $displaystyle \pi :E=B\times \mathb {R}\n}\to B}$ 는 투영이다 $\pi :E=B\times \mathbb {R} ^{n}\to B$ . $t_{j}$ $t_{j}$ ${\$ 를 섬유상의 좌표로 한다 $t_{j}$ . $\pi ^{*}$ $\alpha =g\,dt_{1}\wedge \cdots \wedge dt_{n}\wedge \pi ^{*}\eta$ = $\alpha =g\,dt_{1}\wedge \cdots \wedge dt_{n}\wedge \pi ^{*}\eta$ $\alpha =g\,dt_{1}\wedge \cdots \wedge dt_{n}\wedge \pi ^{*}\eta$ $\alpha =g\,dt_{1}\wedge \cdots \wedge dt_{n}\wedge \pi ^{*}\eta$ $\alpha =g\,dt_{1}\wedge \cdots \wedge dt_{n}\wedge \pi ^{*}\eta$ $\alpha =g\,dt_{1}\wedge \cdots \wedge dt_{n}\wedge \pi ^{*}\eta$ ⋯ $\alpha =g\,dt_{1}\wedge \cdots \wedge dt_{n}\wedge \pi ^{*}\eta$ $\alpha =g\,dt_{1}\wedge \cdots \wedge dt_{n}\wedge \pi ^{*}\eta$ η η $\alpha =g\,dt_{1}\wedge \cdots \wedge dt_{n}\wedge \pi ^{*}\eta$ η η η { { { ${ \dt_{$ 1}\ $wedge \cdots \wedge dt_{$ n}\pi $\alpha =g\,dt_{1}\wedge \cdots \wedge dt_{n}\wedge \pi ^{*}\eta$ $^{*}\$ 이 $\pi^*$ 링 호모형이기 때문에 $\pi ^{*}$

\pi _{*}(\alpha \wedge \pi ^{*}\beta )=\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(\cdot ,t_{1},\dots ,t_{n})dt_{1}\dots dt_{n}\right)\eta \wedge \beta =\pi _{*}(\alpha )\wedge \beta .

마찬가지로 α가 dt를 포함하지 않으면 양쪽이 모두 0이다.2.의 증명은 비슷하다. $\square$

참고 항목

송신지도

메모들

^ If $\alpha =g\,dt\wedge dx_{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{j_{k-1}}$ , then, at a point b of M, identifying $\partial _{x_{j}}$ 's with their lifts, we have:
$\property(\displaystyle \\{t}=\properties_{x_{j_{1}1}},\properties _{x_{k-1}}}=g(b,t)}$
등등
$\pi _{*}(\cHB)_{x_{j_{1}:{k-1}}}\int _{x_{j_{k-1}}}}={0,1]}\int _{0}^{1}g(b,t)\,dt.$
Hence, $\pi _{*}(\alpha )_{b}=\left(\int _{0}^{1}g(b,t)\,dt\right)dx_{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{j_{k-1}}.$ By the same computation, $\pi _{*}(\alpha )=0$ if dt does not appear inα.
^ Bott & Tu 1982, Proposition 6.15.; 그들은 여기의 정의와 다른 정의를 사용하며, 결과적으로 기호가 바뀐다는 점에 주목한다.

참조

미슐레 오딘, 비르카우저, 2004년 토러스 연감 다지관에 대한 조치
Bott, Raoul; Tu, Loring (1982), Differential Forms in Algebraic Topology, New York: Springer, ISBN 0-387-90613-4

[1] If $\alpha =g\,dt\wedge dx_{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{j_{k-1}}$ , then, at a point b of M, identifying $\partial _{x_{j}}$ 's with their lifts, we have:
$\property(\displaystyle \\{t}=\properties_{x_{j_{1}1}},\properties _{x_{k-1}}}=g(b,t)}$
등등
$\pi _{*}(\cHB)_{x_{j_{1}:{k-1}}}\int _{x_{j_{k-1}}}}={0,1]}\int _{0}^{1}g(b,t)\,dt.$
Hence, $\pi _{*}(\alpha )_{b}=\left(\int _{0}^{1}g(b,t)\,dt\right)dx_{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{j_{k-1}}.$ By the same computation, $\pi _{*}(\alpha )=0$ if dt does not appear inα.

[2] Bott & Tu 1982, Proposition 6.15.; 그들은 여기의 정의와 다른 정의를 사용하며, 결과적으로 기호가 바뀐다는 점에 주목한다.

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