국소 상수 함수

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수학에서, 국소 상수 함수는 위상학적 공간으로부터 그 영역의 모든 지점들 주위에 그것이 상수 함수로 제한하는 지점의 어떤 근방이 존재하는 속성을 가진 집합에 이르는 함수다.

정의

Let ${\displaystyle f:X\to S}$ be a function from a topological space ${\displaystyle X}$ into a set ${\displaystyle S.}$ If ${\displaystyle x\in X}$ then ${\displaystyle f}$ is said to locally constant at ${\displaystyle x}$ if there exists a neighborhood ${\displaystyle U\$$subseteq X}$ of ${\displaystyle x}$ such that ${\displaystyle f}$ is constant on ${\displaystyle U,}$ which by definition means that ${\displaystyle f(u)=f(v)}$ for all ${\displaystyle u,v\in U.}$ The function ${\displaystyle f:X\to S}$ is called locally constant도메인의 모든$$ 지점 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ X ${\displaystyle$ x$\in X}$에서 로컬로 일정하게 유지되는 경우.

예

모든 상수 함수는 국소적으로 일정하다.만약 그것의 영역이 연결된 공간이라면, 그 역은 유지될 것이다.

Every locally constant function from the real numbers ${\displaystyle \mathbb {R} }$ to ${\displaystyle \mathbb {R} }$ is constant, by the connectedness of ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ But the function ${\displaystyle f:\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$ from the rationals ${\displaystyle$R\mathbb{Q}},{\displaystyle \mathbb{R},}f())=0x<>에 대해 정의된;π,{\displaystyle f())=0{\text{에}}x<, \pi,}와 f())=1x사용하여<>;π,{\displaystyle f())=1{\text{에}}x>, \pi,}국내에서 일정하다(이것 저것톤은 사실π{\displaystyle \pi}비이성적인을 사용합니다그 herefore {x∈ Q: < } }$\x\in \mathb {Q} :x<\pi \}$과()× Q :x > ${ {\x\in \mathb {Q}$ :$x>\pi \}$ 두 세트가 모두 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\\$

${\displaystyle f}$: ${\displaystyle A}$→ B ${\displaystyle f:$$A\to B}$이(가) 로컬로 일정하게 유지되면 $A{\displaystyle }$. ${\displaystyle A}$의 연결된 구성 요소에서 일정하게 유지됨$$ 역은 연결된 구성요소가 열린 하위 집합인 로컬로 연결된 공간에 적용된다.

그 밖의 예는 다음과 같다.

• 커버 맵 $p{\displaystyle }$ :${\displaystyle C}$→ ${\displaystyle X}$, ${\디스플레이 스타일$ p$:$$C\to X,}$ 그러면$$ 각 지점 ${\displaystyle x}${ X ${\displaystyle$ x$\in X}$에 대해 x ${\displaystyle p^{-1(x)}$ 섬유 $p{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}x}$)의 카디널리티를 $x{\displaystyle }$ ${\displaystystyle x}$에 할당할 수 있다$.$ 이 할당은 로컬로 일정하다.
• 위상학적 공간 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에서 $이산{\displaystyle }$ 공간 B ${\displaystyle B}$까지의 지도는 로컬 상수인 경우에만 연속된다.

피복 이론과의 연관성

$X$에는 로컬 상수 함수의 집합이 있다${\displaystyle .}$ ${\$$displaystyle X$$}$에 더 확실히, $X{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle X$$}$의 각 개방형 $집합{\displaystyle }$ U ${\displaystyle U}$에 대해 우리는 이러한$$ 종류의 함수를 구성할 수 있다는 의미에서 로컬 상수 함수의 집합이 피복을 형성하고, 그 다음, 그 함수를 검증한다.heaf 공리는 우리에게 아벨 그룹( 심지어 서로 교환하는 고리까지) 한 묶음을 주면서 이 건축을 지지한다.This sheaf could be written ${\displaystyle Z_{X}}$; described by means of stalks we have stalk ${\displaystyle Z_{x},}$ a copy of ${\displaystyle Z}$ at ${\displaystyle x,}$ for each ${\displaystyle x\in X.}$ This can be referred to a constant sheaf, meaning exactly sheaf of locally constant 함수는 (ijust) 그룹에서 값을 취한다.물론 전형적인 피복은 이런 방식으로 일정하지는 않지만, 이 구조는 피복 코호몰로지 이론과 호몰로지 이론을 연계시키고, 피복의 논리적 적용에 유용하다.지역 계수 시스템의 아이디어는 우리가 국소적으로 '해롭지 않은$'$ 피복처럼 보이는 피복 이론을 가질 수 있다는 것이다$.$ 그러나 $세계적$인 관점에서 보면 어떤 '$비틀림'$이 나타난다.

참고 항목

• 리우빌의 정리(복잡한 분석) – 복합 분석에서의 정리