기본계급

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In mathematics, the fundamental class is a homology class [M] associated to a connected orientable compact manifold of dimension n, which corresponds to the generator of the homology group ${\displaystyle H_{n}(M,\partial M;\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} }$ . The fundamental class can be thought of as the orien다지관의 적절한 삼각 측정에 대한 1차원 단순화

정의

닫힘, 방향 지정 가능

M이 차원 n의 연결된 방향성 폐쇄 다지관인 경우, 상단 호몰로지 그룹은 무한 주기(infinite cyclic:${\displaystyle H_{n}(M,\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} }$, and an orientation is a choice of generator, a choice of isomorphism ${\displaystyle \mathbf {Z} \to H_{n}(M,\mathbf {Z} )}$.발전기는 기본계급이라고 불린다.

M이 분리되어 있는 경우(그러나 여전히 방향성이 있는 경우), 기본 클래스는 연결된 각 구성 요소에 대한 기본 클래스의 직접 합이다(각 구성 요소에 대한 방향에 대응함).

de Rham cohomology와 관련하여, 그것은 M에 대한 통합을 나타낸다. 즉, M의 경우, n-form Ω은 다음과 같이 기본 등급과 쌍을 이룰 수 있다.

${\displaystyle \langle \omega, [M]\rangle =\int_{M}\omega \,}$

M에 대한 Ω의 적분으로, Ω의 코호몰로지 등급에만 의존한다.

스티펠위트니급

만약 M이 방향을 잡을 수 없다면, ${\displaystyle H\mathbf{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle M\mathbf{}}$, Z${\displaystyle }$) ${\displaystyle ≆}$ Z ${\$ \ncong \mathbf {Z}$$$}$ . 따라서 정수 내부에 살고 있는 기본 클래스 M을 정의할 수 없다.그러나 닫힌 모든 다지관은 $Z{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$ - 방향성$$ 및 ${\displaystyle {Hn}_{}{}_{}M,}$ Z ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\$M 연결)이다.따라서 모든 폐쇄형 매니폴드는 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$지향적$$(방향성뿐만 아니라 방향 선택에 모호함이 없음)이며, ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 2$${\$displaystyle \mathbf {$Z$}$ _{$2}}$ -근본적$$ 클래스를 가진다.

이 $Z{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$} -기본$$ 클래스는 Stiefel–을 정의하는 데 사용된다.휘트니 클래스.

경계 포함

M이 경계가 있는 콤팩트한 방향 다지관인 경우, 최상위 상대적 호몰로지 그룹은 다시 무한 $순환{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Hn}_{}}$(${\displaystyle M}$ ,${\displaystyle \mathrm{}}$m${\displaystyle }$M )${\displaystyle z\mathbf{}}$ Z$${\$displaystyle H_{n}(M,\partial$ M$)\cong \mathbf {Z}$$}$이고, 기본 클래스의 개념은 상대 사례로 확장된다.

푸앵카레 이중성

이 구간은 확장이 필요하다.덧셈으로 도와줘도 된다. (2008년 12월)

모든 아벨 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$ 및$$ 비 음의 정수 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{q}}$ ${\displaystyle \ge }$0 {\$displaystyle q\geq$0}에$$ 대해 이소모르퍼시즘을 얻을 수 있다.

${\displaystyle [M]\frown ~:$$H^{q}(M;G)\오른쪽$ 화살표 $H_{n-q}(M;G)}$ $$.

기본 클래스와 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$ - cohomology$$ 그룹 사용.이러한 이형성은 푸앵카레에게 이중성을 부여한다.

${\displaystyle H^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$(${\displaystyle M}$; ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle H_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ -${\displaystyle {\ast }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}M}$; G${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ H$^{*}(M;G)\cong H_{n-*}(M;G)}.$

푸앵카레 이중성은 상대 사례까지 확장된다.

Twisted Poincaré 이중성을 참조하십시오.

적용들

이 구간은 확장이 필요하다.덧셈으로 도와줘도 된다. (2008년 12월)

리 그룹의 국기 품종의 브루하트 분해에서, 기본 등급은 최상위차원 슈베르트의 세포에 해당하거나, 동등하게 콕시터 그룹의 가장 긴 원소에 해당한다.

참고 항목.

• Coxeter 그룹에서 가장 긴 요소
• 푸앵카레 이중성

참조

• Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology (1st ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9780521795401. MR 1867354.

외부 링크

• 다지관 아틀라스의 기본 클래스.
• 수학 백과사전은 기초 수업에 관한 기사다.