오일러 함수

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수학에서 오일러 함수는 에 의해 주어진다.

${\displaystyle \phi(q)=\prod _{k=1}^{\infit }(1-q^{k}),\prod q <1}$

또는

${\displaystyle \phi [\tau ]=\prod _{k=1}^{\infit }(1-e^{2k\pi i\tau }))\quad \operatorname {Im}\tau >0.}$

Leonhard Euler의 이름을 따서 명명되었으며, $$$q{\displaystyle }$ 시리즈($q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$의 함수로서)의 모델 예로서 모듈형 형태( ( ${\displaystyle \tau }$의 함수로서)$$와 콤비네이터와 복잡한 분석 사이의 관계에 대한 시제품적인 예를 제공한다.

특성.

$1{\displaystyle \mathrm{}}$ /${\displaystyle \varphi }$ (${\displaystyle q}$ ) ${\displaystyle$ 1$/\phi (q)}$에 대한 공식 파워 시리즈 확장의 계수$$ $p{\displaystyle }$(${\displaystyle k}$) ${\displaystyle p(k)}$는 k의 파티션 수를 제공한다$$.그것은

${\displaystyle {\frac {1}{\phi (q)}}=\sum _{k=0}^{\inflit }p(k)q^{k}}}}}}}$

여기서 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$은(는) 파티션 함수다.

펜타곤 수 정리라고도 하는 오일러 정체는

${\displaystyle \phi (q)=\sum _{n=-\infit }^{n(1)^{n}q^{{n^{2}-n)/2}.}$

${\displaystyle (}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle(3n^{2}-n$)/2$}은($는) 오각형 번호다.

오일러 함수는 다음과 같이 데데킨드 에타 함수와 관련이 있다.

$[\displaystyle \phi [\tau ]=e^{-\pi i\tau /12}\eta(\tau).}$

두 기능 모두 모듈 그룹의 대칭성을 가지고 있다는 점에 유의한다.

오일러 함수는 q-Pochhammer 기호로 표시할 수 있다.

${\displaystyle \phi(q)=(q;q)_{\inflt }}$

오일러 함수의 로그는 제품 표현식에 있는 로그의 합으로, 각각 약 q = 0으로 확장되어 산출될 수 있다.

${\displaystyle \ln(\phi (q)=-\sum _{n=1}^{n1}{n1}{\frac {1}{n}\\\\frac{q^{n}}}},}$

계수가 -1/n인 램버트 시리즈.따라서 오일러 함수의 로그는 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle \ln(\phi (q)=\sum _{n=1}^{n=1}{n=1}^{n}b_{n}q^{n}}}}}}}}$

$여기$서 ${\displaystyle b_{}}$= -${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{d}}$ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{}\frac{\mathrm{}}{}}$= ${\displaystyle b_{n}=-\sum _{dn}{$dn}{\$frac${1$}{d}}=}$ -[$$1/1, 3/2, 4/3, 7/4, 6/5, 12/6, 8/8, 15/9, 18/10](OEIS A000203 참조)

ID $\sum {\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{d}}$ ${\displaystyle \underset{}{}}$ =${\displaystyle \underset{d}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{}\frac{}{}}$ n ${\displaystyle \frac{d}{}}$, ${\displaystyle \sum _{dn}$d=\$sum _${dn$}{dn}{d},}$ 이 또한$$ 다음과 같이 기록될 수 있다.

${\displaystyle \ln(\phi (q)=-\sum _{n=1}^{\inflt }{\frac{q^{n}}}}{n}}\sum _{dn}d.}$

또한${\displaystyle ,}$ $a{\displaystyle }$ , ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\$ 및$$ ${\displaystyle b}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$}}인 경우^[1]$,$

${\displaystyle a^{1/4}e^{-a/12}\phi(e^{-2a})=b^{1/4}e^{-b/12}\phi(e^{-2b})}$

특수값

다음 정체성은 Ramanujan의 노트북에서 나온다.^[2]

${\displaystyle \pi \pi }={\frac {e^{\pi /24}\Gamma \left({\frac {1}{4}\right)}{2^{7/8}\pi ^{3/4}}}}}}}}}}}{3/4}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \pi \pi }={\frac {e^{\pi /12}\Gamma \left({\frac {1}{4}\right)}{2\pi ^{3/4}}}}}}}$

${\displaystyle \pi \pi }={\frac {e^{\pi /6}\Gamma \left({\frac {1}{1}{4}\오른쪽)}{2^{11}/8}\pi ^{3/4}}}}}}}}}}}}}}}}{3/}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{3/pi }}}}}$

${\displaystyle \pi (e^{-8\pi }={\frac {e^{\pi /3}\Gamma \left({\frac {1}{4}\right)}{2^{29/16}\pi ^{3/4}}({\sqrt{2}}-1)^{1/4}}}}:{1/4}}}}:{1/4}}}}}$

오각수 정리, 합과 적분을 교환한 다음, 복잡한 분석적 방법을 호출하면 하나가 도출된다^[3].

${\displaystyle \int _{0}^{1}\phi (q)\,\mathrm {d} q={\frac {8{\sqrt {\frac {3}{23}}}\pi \sinh \left({\frac {{\sqrt {23}}\pi }{6}}\right)}{2\cosh \left({\frac {{\sqrt {23}}\pi }{3}}\right)-1}}.}$

참조

메모들

기타

• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001