오일러의 임계 하중

오일러의 임계 하중은 가느다란 기둥이 갑자기 구부러지거나 버클이 되는 압축하중이다.이 값은 다음과 같은 공식에 의해 주어진다.^[1]

${\displaystyle P_{cr}={\frac {\pi ^{2}EI}{(KL)^{2}}:$

어디에

${\displaystyle P_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ r ${\$ 오일러의 임계 하중(기둥의 종방향 압축 하중),

${\displaystyle E}$ $[\displaystyle E$ 기둥 재료의 Young's modulus of the column material,

${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I$ 열 단면의 관성 최소 면적 모멘트,

${\displaystyle L}$ ${\displaystyle$ L$\},$ 지원되지 않는 열 길이,

${\displaystyle K}$ ${\displaystyle$ K$\},$ 열 유효 길이 계수

이 공식은 1757년 스위스 수학자 레온하르트 오일러에 의해 도출되었다.이 기둥은 임계 하중보다 작은 하중의 경우 직선으로 유지된다.임계 하중은 횡방향 편향(버클링)을 유발하지 않는 최대 하중이다.임계 하중보다 큰 하중의 경우, 기둥이 횡방향으로 꺾인다.임계 하중은 기둥을 불안정한 평형 상태에 놓이게 한다.임계 하중을 초과하는 하중은 기둥이 버클링에 의해 실패하게 한다.하중이 임계 하중을 초과하여 증가함에 따라 측면 편향은 증가하여 재료 항복과 같은 다른 모드에서 고장날 수 있다.임계 하중을 벗어난 열의 로딩은 본 문서에서 다루지 않는다.

1900년경 J. B. Johnson은 낮은 가느다란 비율에서 대체 공식을 사용해야 한다는 것을 보여주었다.

모형의 가정

오일러의 공식을 도출하는 동안 다음과 같은 가정을 한다.^[2]

1. 기둥의 재료는 균질하고 등방성이다.
2. 기둥의 압축 하중은 축방향으로만 한다.
3. 그 기둥에는 초기 응력이 없다.
4. 그 기둥의 무게는 등한시된다.
5. 기둥은 처음에는 직선이다(축하중의 편심 없음).
6. 핀 조인트는 마찰력이 없고(모멘트 제약 없음), 고정된 끝은 강성(회전 편향 없음)이다.
7. 기둥의 단면은 길이 전체가 균일하다.
8. 직접 응력은 벤딩 응력과 비교했을 때 매우 작다(자재는 균주의 탄력 범위 내에서만 압축된다.
9. 기둥의 길이는 기둥의 단면 치수에 비해 매우 크다.
10. 그 기둥은 버클링으로만 고장 난다.열의 압축응력이 ${\displaystyle {항복강도}_{}}$ strength ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$을 초과하지 않는 경우(그림 1 참조):$$

    ${\displaystyle \sigma ={\frac {P_{cr}}{{pr}}{{pr}A}}}={\frac {\pi ^{2}E}{(L_{e}/r)^{2}}<\sigma _{y}}}}$

여기서:

$\frac{L_{}}{}$ $\frac{e_{}}{}$ $\frac{{}_{}}{}$ ${\$ 가느다란 비율,

${\displaystyle L_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$= ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{e}=KL$ 유효 길이,

$r$= $I\sqrt{\frac{\mathrm{}}{}}$ $\sqrt{\frac{\mathrm{A}}{}}$ ${\$ gyration 반경,

$I {\displaystyle$ I$\},$ 관성의 영역 모멘트,

$A {\displaystyle$ A$\},$ 영역 단면.

가느다란 기둥의 경우 임계좌굴 응력은 보통 항복응력보다 낮다.대조적으로, 육중한 기둥은 임계 좌굴 응력이 수율보다 높을 수 있다. 즉, 좌굴 전에 산출된다.

수학적 파생

핀 끝 열

다음 모델은 각 끝에서 단순하게 지원되는 컬럼에 $$된다${\displaystyle (\mathrm{K}}$ =$$1 {\$displaystyle K=$1}에 적용된다.

우선 경첩이 달린 끝단에는 반응이 없어 기둥의 어떤 단면에도 전단력이 없다는 점에 주목하겠다.반응이 없는 이유는 대칭(그러므로 반응이 같은 방향이어야 한다)과 순간 평형(그러므로 반응이 반대 방향으로 되어야 한다)에서 얻을 수 있다.

그림 3의 오른쪽에 있는 자유 본체 다이어그램을 사용하여 x 지점에 대한 모멘트를 요약하십시오.

${\displaystyle \Sigma M=0\Rightarrow M(x)+Pw=0}$

w는 측면 편향이다.

오일러-베르누엘리 빔 이론에 따르면, 빔의 편향은 다음과 같은 방법으로 빔의 휨 모멘트와 관련이 있다.

${\displaystyle M}$=${\displaystyle }$- E ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 2\frac{{\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{w{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\$ M$=-EI{\frac {\mathrm {d}^{2}w}{\mathrm {d}$ x$^{2$

그래서:

${\displaystyle EI{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}+Pw=0}$

레트 $\lambda {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle P\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{E}{}}$ ${\displaystyle \frac{I}{}}$ ${\$$EI$ 그래서:

${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dx^{2}}+\probda^{2}w=0}$

우리는 고전적인 동질 2차 일반 미분 방정식을 얻는다.

${\displaystyle 이}$ 방정식의 일반적인 해법은 $w{\displaystyle }$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= A cos ${\displaystyle \cos }$ ( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$+ B sin${\displaystyle \sin }$ ($$ ${\displaystyle x}$ )${\displaystyle }${\$displaystyle w(x)=$이다.$A\cos(\lambda x)+B\sin(\lambda x$ 여기서 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ 및 $B$ ${\displaystyle B}$은(는) 경계 조건에 의해 결정되는 상수로서 다음과$$ 같다.

• 왼쪽 끝 고정${\displaystyle }$→ w${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$→ ${\displaystyle A}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \오른쪽$ 화살표 w$(0)=0\오른쪽$ 화살표 $A=0}$
• 오른쪽 끝 핀${\displaystyle }$→ ${\displaystyle w}$( ${\displaystyle l}$)${\displaystyle }$= 0${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{B}}$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle l}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \rightarrow w(l)=0\rightarrow B\sin(\lambda$ l$)=0}$

$만약{\displaystyle }$ B${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle B=0}$이면$,$ 벤딩 모멘트는 존재하지 않으며 $w{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle w(x)=0}$의 사소한 해결책을 얻게 된다$.$

그러나 다른 솔루션 ${\displaystyle \sin }$sin (${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle l}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \sin(\lambda l)=0}$에서 $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$… ${\displaysty n=0,1,2,\dots }$에 대한 ${\displaystyle {}_{}}$ = n = n = n ${\displaystyle \backslash l}$ = n $\lambda \n=n=n\pi$을 얻는다.

$\lambda {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle P\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{E}{}}$ ${\displaystyle \frac{I}{}}$ ${\$$EI}}$은(는) 앞에서 정의한 바와 같이$$ 다음과 같은 다양한 임계 부하:

${\$$2$$EI}{l^{2$ $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$ 1, ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$에 대해

$그리고{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$의 값에 따라 그림 4와 같이 서로 다른 버클링 모드가^[3] 생성된다$.$n=0에 대한 로드와 모드는 버클링되지 않은 모드다.

이론적으로는 어떤 좌굴모드라도 가능하지만, 천천히 가해지는 하중의 경우에는 첫 번째 모달 형태만 생산될 가능성이 있다.

따라서 핀 끝 기둥에 대한 오일러의 임계 하중은 다음과 같다.

${\displaystyle P_{cr}={\frac {\pi ^{2}EI}{l^{2}}:$

첫 번째 모드에서 버클링된 기둥의 형상은 다음과 같다.

${\$$B\sin \left({\pi \over l}x\right)}$.

일반적 접근법

빔^[4] 축의 미분 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {d^{4}w}{dx^{4}}+{\frac {P}{{}}{dx^}}}+{\frac {P}}{EI}{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}={\frac {q}{EI}}$

축하중만 있는 열의 경우 횡하중 $q{\displaystyle (x}$) ${\displaystyle q(x)}$이(가) 사라지고$$ ${\displaystyle {\lambda \mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle P\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{E}{}}$ ${\displaystyle \frac{I}{}}$ ${\$P}{\frac {P$}{$$EI$ 다음 정보를 얻으십시오.

${\dx^{4}w}{dx^{4}}{dx^{4}}+\flda^{2}{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}=0}$

이것은 동질적인 4차 미분방정식이며 그 일반적인 해법은

$w(x)=A\sin(\lambda x)+B\cos(\lambda x)+Cx+D}$

4개의 상수 $A{\displaystyle }$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle D}$ ${\디스플레이$ 스타일 $A,B,C,D}$은 각 끝의 $w{\displaystyle }$(${\displaystyle x}$) ${\디스플레이$ 스타일 $w(x$에 대한 경계 조건(끝 제약 조건)에 의해 결정된다$$.다음과 같은 세 가지 경우가 있다.

1. 고정된 끝:

   ${\displaystyle w}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle w=0}$ $및{\displaystyle }$ M$$${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$→ d ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{{w\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ 2${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle M=0\오른쪽$ 화살표 ${d^{2}$w$\over dx^{2}}=0}$

2. 고정 끝:

   ${\displaystyle w}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle w=0}$ 및 $d$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{ww}}{}}$ ${\displaystyle \frac{x}{}}$= ${\displaystyle 0}${\$displaystyle {displaystyle \over dx}=0}$

3. 자유 끝:

   ${\displaystyle M=0\rightarrow {d^{2}w \over dx^{2}}=0}$ and ${\displaystyle V=0\rightarrow {d^{3}w \over dx^{3}}+\lambda ^{2}{dw \over dx}=0}$

이러한 경계 조건의 각 조합에 대해 고유값 문제를 얻는다.그러한 것들을 해결함으로써 우리는 그림 2에 제시된 각각의 사례에 대한 오일러의 임계 하중의 값을 얻는다.

참고 항목

• 버클링
• 벤딩 모멘트
• 벤딩
• 오일러-베르누엘리 빔 이론

참조