오일러-로트카 방정식

연령 구조화된 인구 증가에 대한 연구에서, 아마도 가장 중요한 방정식 중 하나는 오일러-로카 방정식일 것이다.인구 및 여성 출생아에서 여성의 연령 인구 통계에 기초하여(많은 경우 생식 능력이 더 제한되는 것은 여성이기 때문에), 이 방정식은 모집단이 어떻게 성장하는지 추정할 수 있다.

수학적 인구통계 분야는 크게 20세기 초 알프레드 J. 로트카가 레온하르트 오일러의 초기 작품을 바탕으로 개발하였다.아래에서 도출되고 논의된 오일러-로트카 방정식은 종종 그 기원 중 하나에 기인한다.1760년에 특별한 형식을 도출한 오일러, 또는 보다 일반적인 연속 버전을 도출한 로트카.이산 시간의 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle 1=\sum _{a=1}^{\omega }\boda ^{-a}\ell(a)b(a)}$

여기서 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$은(는) 개별 성장률이고, )(a)는 a세까지 생존하는 개인의 분율이며, b(a)는 a세 개인에게 시간 단계에서 태어난 자손의 수입니다.그 총액은 그 유기체의 전체 수명을 차지한다.

파생어

로트카의 연속 모델

A.J. 로트카는 1911년 인구 역학의 연속 모델을 다음과 같이 개발하였다.이 모델은 모집단의 암컷만 추적한다.

B(t)를 단위 시간당 출생아 수로 한다.또한 스케일 팩터 ℓ(a)를 정의하십시오. 이는 a 나이까지 생존하는 개인의 비율이다.마지막으로 b(a)를 a세 산모의 1인당 출산율로 정의한다.

이러한 수량은 모두 연속한 한계로 볼 수 있으며, B에 대한 다음과 같은 적분식을 산출한다.

${\displaystyle B(t)=\int _{0}^{t}B(t-a)\ell(a)b(a)\,da.}$

통합은 과거 1년간의 출생아 수를 현재 생존하고 있는 개인의 분수에 a세 개인당 재생산율을 곱한 값으로 부여한다.우리는 가능한 모든 연령대에 걸쳐 통합하여 시간 t에서의 총 출생률을 찾는다.우리는 사실상 t까지의 모든 연령의 개인들의 기여를 찾고 있다.우리는 이 분석을 시작하기 전에 태어난 개인을 고려할 필요가 없다. 왜냐하면 우리는 모든 개인을 포함시킬 수 있을 정도로 기준점을 낮게 설정할 수 있기 때문이다.

그럼 B(t) = Qe^rt 형식의 기하급수적인 솔루션을 추측해 봅시다.이를 적분 방정식에 연결하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle Qe^{rt}=\int _{0}^{t}Qe^{r(t-a)}\ell (a)b(a)\,da}$

또는

${\displaystyle 1=\int _{0}^{t}e^{-ra}\ell (a)b(a)\,da.}$

이것은 불연속 케이스에서 적분을 총생산량으로 바꾸어 다시 쓸 수 있다.

${\displaystyle 1=\sum _{a=\sum }^{\e^{-ra}\ell (a)b(a)}$

$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$ 및$$ $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$을(를) 생식을 위한 경계 연령이 되게$$ 하거나 이산 증가율 λ = e를^r 정의하면 위에서 도출한 이산 시간 방정식을 얻을 수 있다.

${\displaystyle 1=\sum _{a=1}^{\omega }\boda ^{-a}\ell(a)b(a)}$

$\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega$}이$($가) 최대 연령인$$ 경우, b(a)가 경계선 밖으로 사라지기 때문에 이러한 나이를 연장할 수 있다.

레슬리 매트릭스에서

레슬리 매트릭스를 다음과 같이 쓰자.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{0}&f_{1}&f_{2}&f_{3}&\ldots &f_{\omega -1}\\s_{0}&0&0&0&\ldots &0\\0&s_{1}&0&0&\ldots &0\\0&0&s_{2}&0&\ldots &0\\0&0&0&\ddots &\ldots &0\\0&0&0&\ldots &s_{\omega -2}&0\end{bmatrix}}}$

여기서 $s{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$와 ${\displaystyle f_{}}$ ${\$는 각각 다음 연령 계층과 1인당 다산성에 대한 생존이다$$.s다는 ℓ 나는 나는 _{i+1}/\ell _{나는}{\displaystyle s_{나는}=\ell 1/ℓ +원}나는{\displaystyle 나는}세까지 생존의 ℓ은 확률은, fi정돕니다 s나는 b 나는 + 1{\displaystyle f_{나는}=s_{나는}b_{i+1}}, 수명으로 나이 나는 + 1{\displaystyle를 i+1}가중에 의해 가능성 survi.vaging to age $i{\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ i$+1$

Now if we have stable growth the growth of the system is an eigenvalue of the matrix since ${\displaystyle \mathbf {n_{i+1}} =\mathbf {Ln_{i}} =\lambda \mathbf {n_{i}} }$. Therefore, we can use this relationship row by row to derive expressions for ${\displaystyle n_{i}}$ in terms of th행렬의 e 값과 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda$ $\}.$

Introducing notation ${\displaystyle n_{i,t}}$ the population in age class ${\displaystyle i}$ at time ${\displaystyle t}$, we have ${\displaystyle n_{1,t+1}=\lambda n_{1,t}}$. However also ${\displaystyle n_{1,t+1}=s_{0}n_{0,t}}$.라는 뜻을 내포하고 있다.

${\displaystyle n_{1,t}={\frac {s_{0}}{\frac {s_{0}}{\fracda }}{n_{0,t}.\,}$

같은 주장으로 우리는 그것을 발견한다.

${\displaystyle n_{2,t}={\frac {s_{1}{\frac {s_{1}{1}}={\frac {s_{0}s_{1}:{1}:{1}:{2}}:n_{0,t}.}$

계속 귀납적으로 우리는 일반적으로

${\displaystyle n_{i,t}={\frac {s_{0}\cdots s_{{i-1}{\cdots s_{{n-}}}n_{0,t}.}$

맨 윗줄까지 고려하면

${\displaystyle n_{0,t+1}=f_{0}n_{0}n_{0,t}+\cdots +f_{\omega -1}n_{\omega -1}n_{1,t}=\migeda n_{0,t}.}$

이제 이전 작업을 n ${\displaystyle i_{}}$, ${\displaystyle t_{}}$ ${\$ 용어로$$ 대체하여 다음을 얻을 수 있다.

${\displaystyle \lambda n_{0,t}=\left(f_{0}+f_{1}{\frac {s_{0}}{\lambda }}+\cdots +f_{\omega -1}{\frac {s_{0}\cdots s_{\omega -2}}{\lambda ^{\omega -1}}}\right)n_{(0,t)}.}$

먼저 1인당 출산율의 정의를 대체하고 왼쪽을 통해 나누십시오.

${\displaystyle 1={\frac {s_{0}b_{1}}{\lambda }}+{\frac {s_{0}s_{1}b_{2}}{\lambda ^{2}}}+\cdots +{\frac {s_{0}\cdots s_{\omega -1}b_{\omega }}{\lambda ^{\omega }}}.}$

이제 우리는 다음과 같은 단순화에 주목한다.$s{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$= ${\displaystyle {\ell }_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{i}}_{}}$+ 1 /${\displaystyle {}_{}\ell {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$에 주목한다.

${\displaystyle s_{0}\ldots s_{i}={\frac {\ell _{1}{1}{0}}{\frac {\1}{2}}{\ell _{1}}}}\cdots {\frac {\ell _{i+1}{i}}=\ell.{i+1}.$

이 합계는 다음과 같다.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\omega }{\frac {\ell _{i}{i}}{\b_{i}}}{\i}}}}=1,}$

원하는 결과야

표현 분석

위의 분석에서 우리는 오일러-로트카 방정식이 사실 레슬리 매트릭스의 특성 다항식임을 알 수 있다.우리는 레슬리 매트릭스의 고유값에 대한 정보를 찾기 위해 그것의 해결책을 분석할 수 있다.

연속표현 f를 r의 함수로 생각하면 그 뿌리를 살펴볼 수 있다.음의 무한대에서는 함수가 양의 무한대로 증가하고 양의 무한대에서는 함수가 0에 접근한다는 것을 우리는 알아차린다.

첫 번째 파생상품은 분명히 -af이고 두 번째 파생상품은 af이다².그리고 나서 이 함수는 감소하고, 위로 오목하게 되고, 모든 양의 값을 취한다.또한 시공에 의해 연속적이므로 중간값 정리에 의해 r = 1을 정확히 한 번 교차한다.따라서, 정확히 하나의 실제 해결책이 있으며, 이는 따라서 평형성장률 매트릭스의 지배적인 고유값이다.

이 동일한 파생은 이산형 케이스에 적용된다.

모집단 교체율과의 관계

만약 우리가 λ = 1을 허용한다면, 이산형 공식은 모집단의 대체 비율이 된다.

추가 읽기

• Coale, Ansley J. (1972). The Growth and Structure of Human Populations. Princeton: Princeton University Press. pp. 61–70. ISBN 0-691-09357-1.
• Hoppensteadt, Frank (1975). Mathematical Theories of Populations : Demographics, Genetics and Epidemics. Philadelphia: SIAM. pp. 1–5. ISBN 0-89871-017-0.
• Kot, M. (2001). "The Lotka integral equation". Elements of Mathematical Ecology. Cambridge: Cambridge University Press. pp. 353–64. ISBN 0-521-80213-X.