조치의 수렴

수학에서는 좀더 구체적으로 측정 이론에서 측정의 융합에 대한 다양한 개념들이 있다.측정의 수렴이 의미하는 바를 직관적으로 이해하기 위해 측정 가능한 집합의 공통 컬렉션을 공유하면서 공간의 측정 μ의_n 순서를 고려하십시오.그러한 순서는 직접 얻기 어려운 원하는 측정 μ에 '더 좋고' 근사치를 구성하려는 시도를 나타낼 수 있다.'더 좋고 더 좋다'의 의미는 한도를 취하기 위해 통상적인 모든 주의사항을 따르게 된다. 오류 허용 오차 > > 0에 대해서는_n μ와 μ 사이의 '차이'가 than보다 작도록 n for N에 충분히 큰 N을 요구한다.정합화의 다양한 개념은 그 설명에서 '차이'라는 단어가 무엇을 의미해야 하는지를 정확하게 명시한다. 이러한 개념들은 서로 동등하지 않고 강도가 다양하다.

융합의 가장 일반적인 세 가지 개념은 아래에 설명되어 있다.

비공식적 설명

이 절은 미적분학 과정에서 개발된 용어를 사용하여 세 가지 개념의 수렴에 대한 대략적인 직관적 설명을 제공하려고 시도한다. 이 절은 부정확할 뿐만 아니라 부정확할 수 밖에 없으며, 독자는 후속 절의 공식적 명확화를 참조해야 한다.특히 여기서 설명하는 내용은 일부 집합의 측정이 무한할 수 있거나, 기본 공간이 병리학적 동작을 나타낼 수 있는 가능성을 다루지 않으며, 일부 문장에 대해서는 추가적인 기술적 가정이 필요하다.그러나 ${\displaystyle {\mu n}_{}}$ ${\$가 폴란드 공간의 확률 측정 순서인 경우에는$$ 이 절의 문장이 모두 정확하다.

수렴의 다양한 개념은 각 '충분히 좋은' 기능의 '평균값'이 수렴되어야 한다는 주장을 공식화한다.

이를 공식화하기 위해서는 고려 중인 기능 집합과 수렴이 얼마나 균일해야 하는지에 대한 세심한 규격이 필요하다.

약한 수렴이라는 개념은 이러한 수렴이 모든 연속 $경계{\displaystyle }$함수 f {\$displaystyle$ f$}$에 대해 이루어지도록 요구한다$.$이 개념은 서로 독립적으로 다른 기능에 대한 정합성을 취급한다. 즉, 다른 함수 f는 서로 다른 N n n 값을 동등하게 잘 추정하도록 요구할 수 있다($즉{\displaystyle }$, 정합성은 f ${\displaystyle f}$에서 균일하지 않다).$$

세트와이즈 수렴의 개념은 각 측정 가능한 집합의 측정치가 수렴되어야 한다는 주장을 공식화한다.

$다시$ 말하지만$,$ A $집합$에 대한 균일성은 필요하지$$ 않다$.$직관적으로 '좋음' 함수의 통합을 고려할 때, 이 개념은 약한 수렴보다 더 통일성을 제공한다.사실 폴란드 공간에서 균일하게 경계된 변동을 갖는 측정 순서를 고려할 때, 설정현상 수렴은 모든 경계 측정 가능한 $함수$에 대한$$ 수렴 $f$ f ${}_{}$ ${\mu n}_{}$ →${}_{}\int$ $f$ $\mathrm{\mu n}$ ${\textstyle \int f\,d\mu_{n}\int f\$t\,$d\mu$$}$을 의미한다$.$ 이전과 마찬가지로 이 수렴은 균일하지 않다.$[\displaystyle f}$

총 변이 융합의 개념은;0{\displaystyle \varepsilon>0}관계 주장은 모든 측정 가능한 세트의 조치는 한결같이, 모든 ε 을 즉에 융합되어야 한다 얘기하였다 N가μ n(A)−μ(A)<>ε{\displaystyle \mu_{n}(A)-\mu(A)<>\varepsilon}를 위해 n>N과 f또는 매 measur$이전$과 같이 측정 $가능$한$$$함수$에 대한 통합의 정합성을 의미하지만, 이번에는 고정 상수에 의해 경계가 되는 모든 함수에 대해 정합성이 균일하다.

측정값의 총 변동 수렴

이것은 이 페이지에 나타난 정합성의 가장 강력한 개념이며 다음과 같이 정의된다.$({\displaystyle X}$, $){\displaystyle (X,{\mathcal{F})}}$은(는) 측정할 수 있는 공간이다.μ와 μ 사이의 총 변동 거리는 다음과 같다.

$\displaystyle \left\ \mu -\nu \right\ _{\text{TV}}=\sup _{f}\왼쪽\{\int_{X}f\,d\mu -\int_{X}f\,d\nu \right\}.}$

여기서 X에서 [-1, 1]까지의 모든 측정 가능한 기능 집합에 걸쳐 우월성이 인정된다.이는 예를 들어, 정의가 같은 형태인 와세르슈타인 측정지표와 대조적인데, 이 측정가능함수의 집합에 걸쳐 X에서 [-1, 1]까지 범위가 가장 상수인 측정가능함수의 집합에 걸쳐 우월성이 차지되며, 또한 라돈 측정지표가 연속체 집합에 걸쳐 범위를 차지하는 것과 대조적이다.우리는 X에서 [-1, 1]까지 기능한다.X가 폴란드 공간인 경우, 총 변동 측정기준은 라돈 측정기준과 일치한다.

μ와 μ가 모두 확률 측도인 경우 총 변동 거리도 다음과 같이 주어진다.

$\displaystyle \left\ \mu -\nu \right\ _{\text{TV}}=2\cdot \sup _{A\in {\mathcal {F}} \mu(A)-\nu(A) .}$

이 두 정의의 등가성은 몽게칸토비치의 이중성의 특정한 경우로 볼 수 있다.위의 두 가지 정의에서 확률 측정 사이의 총 변동 거리는 항상 0과 2 사이임이 분명하다.

총 변동 거리의 의미를 설명하려면 다음 사고 실험을 고려하십시오.확률 측정값 μ와 μ와 μ와 랜덤 변수 X가 주어진다고 가정해 보십시오.우리는 X가 μ와 μ 중 어느 쪽이든 법칙을 가지고 있다는 것을 알고 있지만 둘 중 어느 쪽인지는 모른다.이 두 가지 척도가 각각 X의 참 법칙인 사전 확률 0.5를 가지고 있다고 가정하자.지금 우리가 X의 법칙에 따라 하나의 표본을 받고 그 두 분포 중 어떤 것이 그 법칙을 설명하는지 추측하도록 요구 받는다고 가정해보자.수량

${\displaystyle {2+\ \mu -\nu \ _{\text{TV}} \4}}이상$

그리고 우리의 추측이 정확할 수 있는 이전의 확률에 대해 날카로운 상한을 제공한다.

위와 같은 총변동거리의 정의를 고려할 때, 동일한 측정공간에 정의된 측정 시퀀스_n μs가 총변동거리의 측정 μs에 수렴한다고 하며, 만약 매 ε > 0에 대해 N이 존재한다면, 모든 n > N에 대해^[1] N이 존재한다고 한다.

$\displaystyle \\mu _{n}-\mu \ _{\text{TV}<\varepsilon .}$

측정값의 설정값

$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle F}$) ${\displaystyle(X,{\mathcal{F})}$ 측정$$ 가능한 공간에 대해, 시퀀스 μ는_n 다음과 같이 설정된 한계 μ로 수렴한다고 한다.

$\displaystyle \lim _{n\to \ft }\mu _{n}(A)=\mu(A)}$

모든 집합 $A{\displaystyle }$for ${\displaystyle F\mathcal{}}$ ${\$에 대해$.$

예를 들어, 리만-레베그 보조정리 결과, μ_n(dx) = (1+ sin(nx))dx로 주어진 간격에 대한 측정의_n 시퀀스 μ는 르베그 측도로 세팅되어 있지만, 전체 변동으로 수렴되지는 않는다.

약한 대책 수렴

수학과 통계에서 약한 수렴은 척도의 수렴과 관련된 많은 유형의 수렴 중 하나이다.그것은 기초 공간의 위상에 따라 달라지며 따라서 순수하게 측정된 이론적 개념이 아니다.

일련의 조치의 약한 수렴에 대한 몇 가지 동등한 정의가 있으며, 그 중 일부는 다른 것들보다 더 일반적이다(분명히).이러한 조건의 등가성은 포르만테우 정리라고도 한다.^[2]

정의.Let ${\displaystyle S}$ be a metric space with its Borel ${\displaystyle \sigma }$-algebra ${\displaystyle \Sigma }$. A bounded sequence of positive probability measures ${\displaystyle P_{n}\,(n=1,2,\dots )}$ on ${\displaystyle (S,\Sigma )}$ is said to converge weakly to the finite positive measure ${\displaystyle P}$ (denoted ${\displaystyle P_{n}\Rightarrow P}$) if any of the following equivalent conditions is true (here ${\displaystyle \operatorname {E} _{n}}$ denotes expectation or the ${\displaystyle L^{1}}$ norm with respect to ${\displaystyle P_$${n$ $E{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \operatorname{E}}$이(가)$$ $P{\displaystyle }${\$displaystyle P}$에 대한 기대치 $또는{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ 1$${\$displaystyle L$^{$1}:{$1} 표준을$$ 나타내는$$ 반면:

• ${\displaystyle {\mathrm{E}}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$[ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ]}$→ ${\displaystyle \mathrm{E}}$ ${\displaystyle }$[ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \operatorname {E} _{n}[f]\to \operatorname {E}($$으$)로 f ${\displaystyle f$
• ${\displaystyle {\mathrm{E}}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$[ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ]}$→ ${\displaystyle \mathrm{E}}$ ${\displaystyle }$[ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \operatorname {E} _{n}[f]\to \operatorname {E}$에 모든$$ 경계 및 Lipschitz $함수{\displaystyle }$ f ${\displaystyf$
• ${\displaystyle {}_{}}$에서 경계한$$ 모든 상위 반연속 $함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle$$\limsup \operatorname {E} _{n}[f]\leq \operatorname${$E$$}[f]$ [f$]};$
• ${\displaystyle }$$림$ ${\displaystyle {INF}_{}}$ E ${\displaystyle {}_{}}$[ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle \mathrm{E}}$⁡${\displaystyle }$[ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \liminf \operatorname {E} _{n}[f]\geq \operatorname {E}[f]}$ 아래에서 경계되는$$ 모든 하위 반연속 함수 f ${\displaystystystyle f};$
• ${\displaystyle }$공간 $S$의 $모든$ 닫힌 집합 C ${\$$displaystyle C$$}$에 대한$$ ${\displaystyle im}$ $Sup$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle C}$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle P}$(${\displaystyle C}$) $\$$displaystyle$ $\limsup P_{n}(C)\leq P(C$$)\};$
• ${\displaystyle im}$ ${\displaystyle \inf }$ P ${\displaystyle n{}_{}}$( ${\displaystyle U}$)$$$display$ P ( U ) {\displaystyle$$ $\liminf P_{n}(U)\geq P(U)}$ 공간 $S$의 모든$$ $오픈{\displaystyle }$ 세트 U$${\$displaystyle U$
• ${\displaystyle 모든}$ 연속성에 대한 림$$ P ${\displaystyle n_{}}$ (${\displaystyle {}_{}A}$)${\displaystyle }$= P$$( ${\displaystyle A}$ ) $displaystyle \lim P_{n}(A)=P(A)}$ 측정값 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$의 A ${\displaystyle$ A$\}.$

In the case ${\displaystyle S\equiv \mathbf {R} }$ with its usual topology, if ${\displaystyle F_{n}}$ and ${\displaystyle F}$ denote the cumulative distribution functions of the measures ${\displaystyle P_{n}}$ and ${\displaystyle P}$, respectively, then ${\displaystyle P_{n}}$$$ converges weakly to ${\displaystyle P}$ if and only if ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }F_{n}(x)=F(x)}$ for all points ${\displaystyle x\in \mathbf {R} }$ at which ${\displaystyle F}$ is continuous.

예를 들어, $P{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle n_{}}${\$displaystyle$ $P_$${n}$에 위치한 Dirac 측정치가 0에 위치한 Dirac 측정치에 약하게$$ 수렴되지만(일반적인 위상에서의$$ $R{\displaystyle \mathbf{}}${\$displaysty \mathbf {R}$에 대한 측정으로 보는 경우) 세밀하게 수렴되지는 않는다${\displaystyle .}$이것은 직관적으로 분명하다: ${\displaystyle 우리}$는 $오직{\displaystyle \mathrm{}}$ 1${\displaystyle }$/ n ${\displaystyle$1$/n}$이(가) $R{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 위상 때문에$$ $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$에 "가까이" 있다는$$ 것만 알고 있다$.$

$약한{\displaystyle }$ 수렴의 정의는 측정 가능한 위상학적 공간에 대해 S ${\displaystyle S}$에 대해 확장될 수 있다.$또한{\displaystyle \mathcal{}}$${\displaystyle }$P${\displaystyle }$(${\displaystyle S}$$){\$$displaystyle {\mathcal{P$$}}}$에 정의된 모든 확률 측정의 집합에 약한 $(S$,\$Sigma$ )을 정의한다$.$취약한 위상은 다음과 같은 개방형 집합에 의해 생성된다.

${\displaystyle \왼쪽\{\phi ,x,\delta }\\왼쪽 \quad \colon S\to \mathbf {R}{\text}{\x\mathbf {R} {\text} 및 }\delta >0\ \right.\right\}}$

어디에

${\d}표시방식 U_{\phi,x,\delta }:\좌측\{\\\\\\mu \in {\mathcal {P}}\\좌측 \quad \좌측 \int_{S}\pi \,\d} \mathrmatmap -x\우측 <\delta \ \우측 \da \우측 \우측 \우측근우측.\right\}}$

$만약{\displaystyle }$ S$${\$displaystyle$S}도 분리가 가능하다면$$, 예를 들어 레비-프로코로프 메트릭에 의해 $P{\displaystyle \mathcal{}}$(${\displaystyle S}$) ${\displaystyle {\mathcal {P}(S)}$은(는) 메트리징 및 분리 가능하다.$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) 컴팩트 또는 폴란드어인 경우 $P{\displaystyle \mathcal{}}$( ${\displaystyle S}$) ${\displaystyle {\mathcal {P}(S$도 마찬가지 입니다.

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) 분리 가능한 경우 Dirac 측정(${\displaystyle \mathrm{폐쇄}}$) 세트로 P${\displaystyle }$($S$$){\displaystyle {\mathcal{P}(S)}$에 자연스럽게 내장되며, 볼록 선체는 밀도 있다.

There are many "arrow notations" for this kind of convergence: the most frequently used are ${\displaystyle P_{n}\Rightarrow P}$, ${\displaystyle P_{n}\rightharpoonup P}$ and ${\displaystyle P_{n}{\xrightarrow {\mathcal {D}}}P.}$.

변수의 수렴이 약함

Let${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$, ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle P\mathbb{}}$) ${\displaystyle (\Oomega ,{\mathcal$ {$F},\mathb {P}$ )은 확률공간이고 X는 미터법 공간이다.X_n, X: Ω → X가 무작위 변수의 연속이라면, 위에서 정의한 바와 같이 X에 대한 조치의 수렴이 약하다는 의미에서 푸시포워드 조치(X_n)(_∗P)의 순서가_∗ X(P)에 약하게 수렴되면, X는_n n → ∞로서 X에 약하게 수렴한다고 한다.

참고 항목

• 랜덤 변수의 수렴
• 프로호로프의 정리
• 레비-프로호로프 미터법
• 대책의 엄격성

참조

• Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G. (2005). Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures. Basel: ETH Zürich, Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-2428-7.{{cite book}}: CS1 maint : 복수이름 : 작성자 목록(링크)
• Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-00710-2.
• Billingsley, Patrick (1999). Convergence of Probability Measures. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-19745-9.

이 글은 일반적인 참고문헌 목록을 포함하고 있지만, 그에 상응하는 인라인 인용구가 충분하지 않다. 보다 정확한 인용문을 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. (2010년 2월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법 및 시기 알아보기)