평균장 이론

물리학과 확률론에서, 평균장론(MFT) 또는 자기 일관성장론은 자유도(변화가 자유로운 통계량의 최종 계산에서 값의 수)를 평균화함으로써 원본을 근사하는 더 단순한 모델을 연구함으로써 고차원 랜덤(stochastic) 모델의 행동을 연구한다.이러한 모형은 서로 상호작용하는 많은 개별 구성요소를 고려합니다.MFT에서, 주어진 개인에 대한 다른 모든 개인의 영향은 단일 평균 효과에 의해 근사되며, 따라서 다체 문제를 일신 문제로 감소시킨다.

MFT의 주요 아이디어는 한 신체에 대한 모든 상호작용을 ^[1]분자장이라고 불리는 평균적이거나 효과적인 상호작용으로 대체하는 것입니다.이것에 의해, 다체 문제를 효과적인 일체 문제로 줄일 수 있습니다.MFT 문제를 쉽게 해결할 수 있다는 것은 낮은 계산 비용으로 시스템 동작에 대한 통찰력을 얻을 수 있다는 것을 의미합니다.

MFT는 통계적 추론^{[citation needed]}, 그래픽 모델, 신경과학,^[2] 인공지능, 유행병 모델,^[3] 큐잉 이론,^[4] 컴퓨터 네트워크 성능, 게임 ^[5]이론 등 물리 이외의 광범위한 분야에 적용되어 왔다.

오리진스

이 아이디어는 위상 ^[7]전이를 설명하기 위해 피에르^[6] 퀴리와 피에르 바이스의 연구에서 물리학(통계 역학)에 처음 등장했습니다.MFT는 브래그-윌리엄 근사, 베데 격자에 대한 모델, 란다우 이론, 피에르-에 사용되었다.바이스 근사, Flory-Huggins 솔루션 이론 및 Scheutjens-플리어 이론.

자유도가 많은(때로는 무한) 시스템은 일부 단순한 경우(예: 특정 가우스 랜덤장 이론, 1D Ising 모델)를 제외하고 일반적으로 정확하게 해결하거나 닫힌 분석 형식으로 계산하기가 어렵다.시스템의 파티션 함수를 계산하는 등의 작업을 어렵게 만드는 조합 문제가 종종 발생합니다.MFT는 종종 원본을 분해할 수 있고 계산에 개방적인 근사법입니다.때때로 MFT는 매우 정확한 근사치를 제공합니다.

필드 이론에서, 해밀토니안은 필드 평균 주위의 변동의 크기로 확장될 수 있다.이러한 맥락에서 MFT는 변동에서 해밀턴의 "제로트 차수" 팽창으로 볼 수 있다.이는 물리적으로 MFT 시스템에 변동이 없음을 의미하지만, 이는 모든 상호작용을 "평균장"으로 대체한다는 생각과 일치합니다.

MFT는 종종 고차 변동을 연구하기 위한 편리한 시작점을 제공합니다.예를 들어, 분할 함수를 계산할 때, 해밀턴에서 상호작용 항의 조합론을 연구하면 때때로 섭동 결과나 평균장 근사치를 수정하는 파인만 다이어그램을 생성할 수 있다.

유효성

일반적으로 차원성은 평균장 접근방식이 특정 문제에 대해 효과가 있는지 여부를 결정하는 데 능동적인 역할을 한다.MFT가 유효하고 MFT가 무효인 임계치수가 있는 경우가 있습니다.

경험적으로 MFT에서는 많은 상호작용이 하나의 효과적인 상호작용으로 대체된다.따라서 필드 또는 입자가 원래 시스템에서 랜덤한 상호작용을 많이 보이면 서로 상쇄되는 경향이 있으므로 평균 유효 상호작용과 MFT가 더 정확해집니다.이것은 고차원적인 경우, 해밀턴이 장거리 힘을 포함하거나 입자가 확장되는 경우(예: 폴리머)에 해당된다.긴츠부르크 기준은 변동으로 인해 MFT가 얼마나 근사치가 떨어지는지에 대한 공식 표현이며, 종종 관심 시스템의 공간 차원 수에 따라 달라집니다.

형식적 접근법(해밀턴식)

평균장 이론의 공식적 근거는 보고리유보프 부등식이다.이 부등식은 해밀턴이 있는 시스템의 자유 에너지가

{\mathcal {H}}={0}+\Delta {\mathcal {H}

에는 다음 상한이 있습니다.

{\displaystyle F_{0}\stackrel {def} {=}\sqle {mathcal {H}}\rangle _{0}-TS_{0}.

$S_{0}$ 서 S 0 $(\$ 은 $S_{0}$ 엔트로피이고F {\ $displaystyle$ F $}$ 및 $F$ $F_{0}$ 0(\ $displaystyle F_{0})$ 은 $F_{0}$ 헬름홀츠 자유 에너지입니다.평균은 기준 시스템의 ${\mathcal {H}}_{0}$ 앙상블을 Hamiltonian ${\mathcal {H}}_{0}$ 0 $(\$ 으로 구한다.참조 해밀턴이 비상호작용 시스템의 것이고 따라서 다음과 같이 쓸 수 있는 특별한 경우

({displaystyle {mathcal {H}}_{0}=\sum _{i=1}^{N}h_{i}(\xi_{i}),}

여기서 $\xi _{i}$ i \ $displaystyle \xi$ _ ${i}$ 는 $\xi _{i}$ 통계 시스템의 개별 구성요소(스위치, 스핀 등)의 자유도이며, 불평등의 우측을 최소화하여 상한을 명확히 하는 것을 고려할 수 있다.그러면 최소 기준 시스템은 상관 없는 자유도를 사용하여 실제 시스템에 대한 "최상의" 근사치이며 평균 필드 근사치로 알려져 있습니다.

표적 해밀턴이 쌍방향 상호작용만을 포함하는 가장 일반적인 경우, 즉,

({displaystyle {H}}=\sum _{(i,j)\in {P}}V_{i,j}(\xi _{i},\xi _{j}),}

${\mathcal {P}}$ 서 P $(\$ { $P})$ 는 ${\mathcal {P}}$ 상호작용하는 쌍의 집합이며, 최소화 절차는 공식적으로 수행할 수 있습니다. $\operatorname {Tr} _{i}f(\xi _{i})$ i $\operatorname {Tr} _{i}f(\xi _{i})$ f ( $\operatorname {Tr} _{i}f(\xi _{i})$ \ $displaystyle \operatorname$ { $Tr } _$ { $i$ } $f$ ( \ $xi$ _ { $i$ } )를 $\operatorname {Tr} _{i}f(\xi _{i})$ 단일 구성요소의 자유도에 대한 관측 $가능한$ f{ i }의 $f$ 일반화 합으로 $\operatorname {Tr} _{i}f(\xi _{i})$ 합니다(이산 변수의 경우, 연속 변수의 경우 적분).대략적인 자유 에너지는 다음과 같이 주어진다.

디스플레이 스타일F_{0}&=\operatorname {Tr}_{1,2,\ldots,N}{\mathcal {H}}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots,\xi _{N})P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots,\xi _{N}\&+kT,\operatorname {Tr}_{1,2,\ldots,N}{{0}{{N}(\xi_1},\xi {2\LDOTs},\XI},

$P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{N})$ 서 P $P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{N})$ 0 ( N $P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{N})$ ) ( $P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{N})$ 1, $P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{N})$ 2, $P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{N})$ N $P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{N})$ ) { $display P$ _ { $0$ }^{ ( N ) （ \ $xi$ $P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{N})$ _ { $1}$ \ $xi$ _ {2 $}$ \ $dots$ , \xi _ { $N}$ )는 $P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{N})$ 변수 $(\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{N})$ $(\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{N})$ 1, $(\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{N})$ 2 $(\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{N})$ 로 지정된 상태의 기준 시스템을 찾을 $(\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{N})$ 입니다 $.$ 이 확률은 정규화된 볼츠만 인수에 의해 주어진다.

디스플레이 스타일P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots,\xi _{N})&=bata {-}{-\beta {H}_{0}(\xi _1},\xi _2\LDOTs},\XI,\xi _{N}) _xi _{1},\xi frac {1}.

$Z_{0}$ 서 Z 0 $(\$ 은 $Z_{0}$ 파티션 함수입니다.따라서

디스플레이 스타일F_{0}&=\sum _{(i,j)\in {mathcal {P}}\operatorname {Tr}_{i,j}_{i,j}(\xi _{i},\xi _{j})P_{0}^{(i)}(\xi_{i})P_{0}^{(j)}(\xi _{j})\&+kT\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Tr}_{i}P_{0}^{(i)}(\xi_{i})\log P_{0}^{(i)}(\xi_{i}).\end { aligned}}

최소화를 위해 라그랑주 곱셈기를 사용하여 단일 자유도 $P_{0}^{(i)}$ P $(i)$ 에 $P_{0}^{(i)}$ 대한 도함수를 취하여 적절한 정규화를 보장한다.최종 결과는 자기 일관성 방정식의 집합이다.

P_{0}^{i}(\xi _{i})=paramfrac {1}{Z_{0}}e^{-\beta h_{i}(\xi _{i}),\dots i=1,2,\ldots,N,

평균 필드가 주어지는 곳

h_{i}^{\text{}MF}(\xi _{i})=\sum _{\{j\mid (i,j)\in {mathcal {P}}\}\operatorname {Tr}_{i,j}(\xi _{i},\xi _{j})P_{0}^{(j)}(\xi _{j}).

적용들

평균장 이론은 상전이와 ^[8]같은 현상을 연구하기 위해 많은 물리 시스템에 적용될 수 있다.

이징 모형

형식 파생

위에 표시된 보골리유보프 부등식은 2차원 이싱 격자의 평균 필드 모델의 역학을 찾는 데 사용될 수 있습니다.자화함수는 그 결과 얻을 수 있는 대략적인 ^[9]자유에너지로부터 계산할 수 있다.첫 번째 단계는 진정한 해밀턴의 보다 다루기 쉬운 근사치를 선택하는 것이다.비대화 또는 효과적인 필드 해밀턴을 사용하여

-m\sum _{i}s_{i}

m

-m\sum _{i}s_{i}

、 [

displaystyle

- m \

sum

_ {

i

}

s

_ {

-m\sum _{i}s_{i}

i

-m\sum _{i}s_{i}

} ,

변화무쌍한 자유 에너지는

F_{V}=F_{0}+\left\langle \left(-J\sum s_{i}-h\sum s_{i}\right)-\leftsm\sum s_{i}\right)-\rangle _{0}.

보고리우보프 부등식에 의해, 이 양을 단순화하고 변동 자유 에너지를 최소화하는 자화 함수를 계산하면 실제 자화에 가장 가까운 값을 얻을 수 있다.최소값은

({displaystyle m=J\sum\suble s_{j}\rangle _{0}+h,})

스핀의 앙상블 평균입니다.이를 통해 다음과 같이 간소화됩니다.

m=tantext{tanh}}(zJ\beta m)+h.

모든 스핀이 느끼는 유효장을 평균 스핀 값과 동일시하는 것은 변동 억제에 대한 변동적 접근법과 관련이 있다.자화 함수의 물리적 해석은 개별 스핀의 평균값 필드입니다.

비인터랙티브 스핀 근사

d $\displaystyle$ d $}$ 차원 $d$ $d$ 의 Ising 모델을 생각해 보십시오.해밀토니안은 에 의해 주어졌다.

H=-J\sum _{\displayle i,j\rangle }s_{i}s_{j}-h\sum _{i}s_{i

여기서 $\sum _{\langle i,j\rangle }$ , $\sum _{\langle i,j\rangle }$ $\sum _{\langle i,j\rangle }$ 、 j $（$ \ $displaystyle$ \ $sum _$ { \ $sum i$ , j \ rangle $\sum _{\langle i,j\rangle }$ $}$ } $jdisplay$ j （ \ $displaystyle$ \ s _ $i$ $, j$ \ $rangle$ $\langle i,j\rangle$ $s_{i},s_{j}=\pm 1$ 、 $s_{i},s_{j}=\pm 1$ $s_{i},s_{j}=\pm 1$ ± $s_{i},s_{j}=\pm 1$ { $displaystyle s _$ i , s $_$ s _ { j } = $pm$ 1 $s_{i},s_{j}=\pm 1$ }는 $s_{i},s_{j}=\pm 1$ $\langle i,j\rangle$ 한 스핀입니다.

스핀 변수의 $m_{i}\equiv \langle s_{i}\rangle$ $m_{i}\equiv \langle s_{i}\rangle$ i $m_{i}\equiv \langle s_{i}\rangle$ $m_{i}\equiv \langle s_{i}\rangle$ ${\$ \ $display m_{i}\ equiv$ \ $langle s_{i}\rangle$ $m_{i}\equiv \langle s_{i}\rangle$ 로부터의 변동을 도입하여 스핀 변수를 변환합니다.해밀토니안을 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

\displaystyle H=-J\sum _{\sum i,j\rangle }(m_{i}+\sum s_{i})(m_{j}+\sum s_{j})-h\sum _{i}s_{i},

여기서 정의하면 $\delta s_{i}\equiv s_{i}-m_{i}$ $\delta s_{i}\equiv s_{i}-m_{i}$ $\delta s_{i}\equiv s_{i}-m_{i}$ - $\delta s_{i}\equiv s_{i}-m_{i}$ - m i \ $displaystyle$ \ $displaystyle s$ _ { i $\delta s_{i}\equiv s_{i}-m_{i}$ } \ $equiv$ s _ { $i$ - $m$ _ { i } ;이것은 스핀의 변동입니다.

오른쪽을 확장하면 스핀의 평균값에 전적으로 의존하며 스핀 구성과 무관한 하나의 항을 얻을 수 있습니다.이것은 간단한 용어로 시스템의 통계 속성에 영향을 주지 않습니다.다음 항은 스핀의 평균값과 변동값의 곱을 포함하는 항입니다.마지막으로, 마지막 항은 두 변동 값의 곱을 포함한다.

평균 필드 근사치는 이 2차 변동 항을 무시하는 것으로 구성됩니다.

\ display style H \ about H^ { \ text \MF}}\equiv -J\sum _{\langle i,j\rangle }(m_{j}+m_{i}\delta s_{i}-h\sum _{i}s_{i})}

이러한 변동은 저차원에서 강화되어 MFT는 고차원의 근사치가 됩니다.

다시, 합계는 다시 확장될 수 있습니다.또한 Ising 체인은 번역상 불변하기 때문에 각 스핀의 평균값은 사이트에 의존하지 않을 것으로 예상됩니다.이것은 산출된다.

\displaystyle H^{\text{MF}}=-J\sum _{\bigle i,j\rangle }{\big (}m^{2}+2m(s_{i}-m){\big}}-h\sum _{i}s_{i}.}

인접 스핀에 대한 합계는 $\sum _{\langle i,j\rangle }={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j\in nn(i)}$ i $\sum _{\langle i,j\rangle }={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j\in nn(i)}$ $\sum _{\langle i,j\rangle }={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j\in nn(i)}$ $\sum _{\langle i,j\rangle }={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j\in nn(i)}$ 1 $\sum _{\langle i,j\rangle }={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j\in nn(i)}$ i $\sum _{\langle i,j\rangle }={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j\in nn(i)}$ j $\sum _{\langle i,j\rangle }={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j\in nn(i)}$ $\sum _{\langle i,j\rangle }={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j\in nn(i)}$ ( $\sum _{\langle i,j\rangle }={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j\in nn(i)}$ ) { $displaystyle$ $\sum i$ $, j$ \ $rangle$ } $= sum _$ { $i$ $nn(i)$ } \ $sum$ $nn(i)$ _ { $j$ \ $in n ( i$ ) $nn(i)$ （ $n style$ 。 $1/2$ 프리팩터는 각 결합이 2회전하기 때문에 이중 카운트를 회피합니다.단순화하면 최종 표현으로 이어집니다.

\displaystyle H^{\text{MF}}=mfrac {Jm^{2}Nz}{2}-\underbrace {(h+mJz)}_{h^{\text{blac}.}}\sum _{i}s_{i}}

$z$ 서 z $\displaystyle$ z는 좌표 $z$ 번호입니다.이 시점에서, 이징 해밀토니안은 유효 평균 $h^{\text{eff.}}=h+Jzm$ $h^{\text{eff.}}=h+Jzm$ 가진 일체 해밀토니안의 합으로 분리되었다. $h^{\text{eff.}}=h+Jzm$ $}=h+$ Jzm $h^{\text{eff.}}=h+Jzm$ $외부장$ $h(\displaystyle$ h $h$ )와 인접 스핀에 의해 유도된 평균장의 합이다.이 평균 필드는 가장 가까운 이웃의 수와 시스템 치수에 직접 의존한다는 점에 유의해야 합니다(예를 들어 $치수$ d $(\displaystyle$ d $d$ $z=2d$ $z=2d$ $z=2d$ d $(\displaystyle$ z $=2d)$ 의 하이퍼큐빅 격자의 경우).

이 Hamiltonian을 파티션 함수로 대체하고 효과적인 1D 문제를 해결하면, 우리는 얻을 수 있습니다.

\displaystyle Z=e^{-{\frac {\cosh Jm^{2}Nz}{2}}\left[2\cosh \leftfrac {h+mJz}{k_{\text{B}}}T}}\right)\right]^{N}

$N$ 서 N $(\displaystyle$ N $)$ 은 $N$ 격자 사이트의 수입니다.이는 시스템의 파티션 기능에 대한 폐쇄적이고 정확한 표현입니다.우리는 시스템의 자유 에너지를 얻고 임계 지수를 계산할 수 있다.특히 $자화$ m ${displaystyle$ m $}$ 을 $m$ $h^{\text{eff.}}$ 함수로 얻을 수 있다. $\displaystyle h^{\text{syslogs.$ $h^{\text{eff.}}$

따라서 $h^{\text{eff.}}$ 과 $m$ $h^{\text{eff.}}$ $m$ 에는 두 가지 방정식이 있습니다. $\displaystyle h^{\text{syslogs.$ $h^{\text{eff.}}$ 온도 함수로서 m ${style$ m $m$ }을확인할 수 $있습니다$ .그 결과 다음과 같은 현상이 관찰됩니다.

특정 $T_{\text{c}}$ $T_{\text{c}}$ c $(\$ 보다 큰 온도의 경우 유일한 솔루션은 $m=0$ $=$ 0(\ $displaystyle$ m $=0$ 입니다.시스템은 상사성.
T $T<T_{\text{c}}$ < $T<T_{\text{c}}$ c \ $display style$ T < T $_$ { \ $text$ { $c$ } $T<T_{\text{c}}$ 、 m $m=\pm m_{0}$ ± $m=\pm m_{0}$ \ $displaystyle$ m = \ $pm m$ _ { $0$ } : non non2개의 솔루션이 $m=\pm m_{0}$ .시스템은 강자성.

$T_{\text{c}}$ c {\ $displaystyle$ T_ ${\text{c}}}$ 는 $T_{\text{c}}$ 다음 관계에서 구할 수 있습니다. $T_{\text{c}}={\frac {Jz}{k_{B}}}$ c $=$ $T_{\text{c}}={\frac {Jz}{k_{B}}}$ $T_{\text{c}}={\frac {Jz}{k_{B}}}$ k $T_{\text{c}}={\frac {Jz}{k_{B}}}$ ({ $displaystyle T_{\text{c$ }})= $flac {Jz}{k_{B$

이는 MFT가 강자성 상전이를 설명할 수 있음을 나타냅니다.

다른 시스템에 적용

마찬가지로 MFT는 다음과 같은 경우 다른 유형의 해밀턴에도 적용할 수 있습니다.

금속-슈퍼컨덕터 전환을 연구합니다.이 경우 자화의 유사체는 초전도 간격 $\Delta$ (\ $displaystyle \Delta$ $\Delta$ 입니다.
디렉터 필드의 라플라시안이 0이 아닐 때 나타나는 액정의 분자장.
단백질 구조 예측에서 고정된 단백질 골격이 주어진 최적의 아미노산 측쇄 패킹을 결정한다(자기 일관성 평균장(생물학) 참조).
복합 재료의 탄성 특성을 확인합니다.

평균장 이론과 같은 변동적 최소화는 통계적 추론에도 사용될 수 있다.

시간 의존형 평균 필드로 확장

평균장 이론에서, 단일 사이트 문제에 나타나는 평균장은 시간 독립적인 스칼라 또는 벡터량이다.그러나, 이것이 항상 해당되는 것은 아닙니다. 즉, 동적 평균 필드 이론(DMFT)이라고 불리는 평균 필드 이론의 변형에서 평균 필드는 시간에 의존하는 양이 됩니다.예를 들어 DMFT를 Hubbard 모델에 적용하여 금속-Mott-절연체 전환을 연구할 수 있습니다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

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