대각선화 행렬

선형대수학에서 정사각형 $행렬$ A $(\displaystyle$ A $)$ 는 $A$ $대각행렬$ P(\ $displaystyle$ P $)$ 및 $P$ $대각행렬$ D $P^{-1}AP=D$ $displaystyle$ D $)$ 가 $D$ $P^{-1}AP=D$ 하면 대각행렬 A(\ $displaystyle$ P $^{-1} A$ $P^{-1}AP=D$ 대각행렬 D(\displaystyle D $)$ 와 유사하면 대각행렬 A(\ $P^{-1}AP=D$ A)이라고 한다. $A=PDP^{-1}$ = $A=PDP^{-1}$ - $A=PDP^{-1}$ {{ $displaystyle$ A $P$ $PDP^{-1$ .(P {\displaystyle $}$ , D {\displaystyle D $}$ $등$ 고유하지 않습니다 $A=PDP^{-1}$ 유한 차원 벡터 $공간$ V {\ $displaystyle$ V $V$ 의 경우 선형 $T:V\to V$ T : $T:V\to V$ $T:V\to V$ {\ $displaystyle$ T $:$ $V\to$ V는 $T:V\to V$ $T$ 의 $고유$ 벡터로 구성된 $V$ V ${$ $displaystyle$ V $T$ 의 차수가 존재하는 경우 대각가능하다고 하며 $,$ T {\ $displaystyle$ T $}$ 의 $T$ 행렬 $T=PDP^{-1}$ T $T=PDP^{-1}$ $T=PDP^{-1}$ {\ $displaystyle$ T $=PDP^{-1}}$ 의 $T=PDP^{-1}$ 벡터 열과 같이 정의와 같다. $\$ $displaystyle$ P는 $P$ $T$ 의 $고유$ 벡터로 이루어진 베이스를 $형성$ 하고 D의 대각 $D$ 엔트리는 $T의$ 하는 고유값입니다.이 고유 벡터 베이스에 $대해$ D $(\$ $displaystyle$ A)는 D(\ $displaystyle$ D $D$ 로 $A$ $나타냅니다$ . $P$ 의 P $\displaystyle$ P $P$ 및 $D$ \ $displaystyle$ D를 찾는 프로세스입니다.

대각선화 가능한 행렬과 지도는 고유값과 고유 벡터를 알고 나면 계산에 특히 쉽습니다. $대각행렬$ D $(\displaystyle$ D $)$ 는 $D$ 대각행렬 D(\ $displaystyle$ D)의 거듭제곱으로 올릴 수 있으며, 대각행렬의 행렬식은 단순히 모든 대각행렬의 곱이다. 이러한 계산은 A $A=PDP^{-1}$ $A=PDP^{-1}$ $A=PDP^{-1}$ - 1 $(\$ A= $PDP^{-1$ 로 쉽게 일반화된다. 기하학적으로 대각행렬은 대각행렬이다.n 비균질 확장(또는 이방성 스케일링) - 균질 확장과 마찬가지로 공간을 스케일링하지만, 각 고유 벡터 축을 따라 다른 계수(해당 고유값에 의해 주어진 계수)로 스케일링합니다.

대각선화할 수 없는 정사각형 행렬을 불량 행렬이라고 합니다.실제 엔트리가 있는 $매트릭스$ A(\ $displaystyle$ A)가 $A$ 실수보다 불량할 수 있습니다. 즉, A $A=PDP^{-1}$ $A=PDP^{-1}$ - $A=PDP^{-1}$ 1(\ $displaystyle$ A = $PDP$ ^ {-1 $})$ 은 실제 엔트리가 있는 반전 $P$ 한P $P$ (\ $displaystyle$ P) 및 $대각선$ D(\ $displaystyle$ D $)$ 에는 불가능하지만 복잡한 엔트리가 있을 수 있습니다.{\ $displaystyle$ A $}$ 은 $A$ $($ 는) 복잡한 숫자에 대해 대각선화할 수 있습니다.예를 들어 일반 회전 행렬이 이에 해당합니다.

대각화 가능한 행렬에 대한 많은 결과는 대수적으로 닫힌 필드(복소수 등)에서만 유지됩니다.이 경우, 대각선화 행렬은 모든 행렬의 공간에서 조밀하며, 이는 결함 행렬이 작은 섭동에 의해 대각선화 행렬로 변형될 수 있음을 의미하며, 조던 정규형 정리는 모든 행렬이 대각선화 행렬과 비능률 행렬의 유일한 합이라는 것을 나타낸다.대수적으로 닫힌 필드에서 대각선화 가능한 행렬은 반단순 행렬과 같다.

정의.

F{F\displaystyle}또는비 결함diagonalizable이라고 불리는 분야에서 엔트리로 네모난 n×n{\displaystyle n\times의 스녀}행렬, A{A\displaystyle}, 오르막이 n×n{\displaystyle n\times의 스녀}가역 행렬(일반 선형 그룹의 i.e. 요소 GLn(F)존재하는), P{P\displaystyle}, 그런. $P^{-1}AP$ - $P^{-1}AP$ A $P^{-1}AP$ \ $display$ P^ { - $1 AP$ }는 $P^{-1}AP$ 대각행렬입니다.정식으로

$A\in F^{n\times n}{\text {대각선화 가능}}\iff \exists \,P\in \operatorname {GL}_{n}(F):\;P^{-1}\!AP {\text {darginal}$

특성화

대각선화 가능한 지도와 행렬에 대한 기본적인 사실은 다음과 같이 표현된다.

$필드$ F $위$ 의 $F$ n $n\times n$ × $n\times n$ (\ $displaystyle$ $n\times n$ n\ $times$ n $)$ $A$ A $(\displaystyle$ A $)$ 는 $A$ 그 eigenspace의 치수의 $F^{n\times n}$ 가n $displaystyle$ n $)$ 인 $F^{n\times n}$ 경우에만 대각선화할 수 있습니다. $A의$ 벡터의 $A$ 스팅. 그러한 기초가 발견되면 이러한 기저 벡터를 컬럼으로 하는 $행렬$ P(\ $displaystyle$ P $)$ 를 $P$ 형성할 수 $P^{-1}AP$ P - $P^{-1}AP$ $P^{-1}AP$ $(\$ $displaystyle$ P $^{-1} AP$ $A$ 는 $P^{{-1}}AP$ 대각 엔트리가 A의 $고유값$ 인 대각행렬이 $된다$ . $행렬$ P $({$ displaystyle $P$ $})$ 는 A({ $displaystyle$ A $A$ 의 모달 행렬로 알려져 있습니다.
선형 $T:V\to V$ T $T:V\to V$ $T:V\to V$ $T:V\to V$ {\ $displaystyle$ T: $V\to$ V는 $T:V\to V$ 해당 EIGenspace의 치수의 합계가 치수 $\dim(V)$ θ $(V$ 와 동일한 경우에만 대각선화할 수 있습니다. 이는 $T스타일$ 의 고유 벡터로 구성된 V ${$ $displaystyle$ V $T$ 의 $V$ $T$ 가 존재하는 경우에만 대각선화할 수 $있습니다$ .l은 대각행렬로 표현된다.이 매트릭스의 대각선 엔트리는 T{\ $displaystyle$ T $T$ 의 고유값입니다.

또 다른 특징:행렬 또는 선형 지도는 최소 다항식이 F{\ $displaystyle$ F $F$ 보다 뚜렷한 선형 인자의 곱인 경우에만 $필드$ F {\ $displaystyle$ F $}$ 에 $F$ 대해 대각선화할 수 있습니다(다른 방법으로, 행렬은 모든 기본 제수가 선형인 경우에만 대각선화할 수 있습니다).

다음과 같은 충분한 조건(필요하지는 않지만)이 도움이 되는 경우가 많습니다.

n $n\times n$ × $($ $표시$ $스타일 n) 행렬$ A $(표시 스타일$ A $)$ 는 $A$ F $(표시 스타일$ F $F$ 에 고유값이 n $(표시 스타일$ n $)$ 인 $n$ 경우 F $(표시 스타일$ F $)$ $F$ F(표시 스타일 A)에 대해 대각선화할 수 있습니다. 즉, 특성 다항식이 F $(표시 스타일$ F $F$ 에 $고유$ 루트가 n $(표시 스타일$ n $)$ 인 $n$ 경우, 방법그 반대가 거짓일 수도 있습니다.고려하다 $(\displaystyle {bmatrix}-1&-1\-3&5&-1\-3&1\end {bmatrix})$ 고유값 1, 2, 2(모두 구별되는 것은 아님)를 가지며 대각선 형태로 대각선화할 수 있습니다( $A$ {\ $displaystyle$ A $A$ 와 유사). $(\displaystyle {bmatrix}1&0\\0&2\\0&2\end {bmatrix})$ 및 $기저행렬$ 의 변경 P {\ $displaystyle$ P $P$ $(\displaystyle {bmatrix}1&1&1&0\1&3\end {bmatrix})}$ A $(\displaystyle$ A $)$ 의 $A$ eigenspace가 1보다 $크면$ 역방향은 실패합니다.이 예에서는 고유값 2와 관련된 $A$ A $(\displaystyle$ A $)$ 의 eigenspace는 치수 2입니다.
선형 $T:V\to V$ T $T:V\to V$ $T:V\to V$ $T:V\to V$ {\ $displaystyle$ T: $n$ $=$ $n=\dim(V)$ $n=\dim(V)$ ( $n=\dim(V)$ ) { $displaystyle$ n $=\$ $dim(V)}$ 인 $T:V\to V$ $n=\dim(V)$ V $\to$ V는 고유 고유값이 $n개인$ 경우, 즉 특성 다항식이F { $style$ F $F$ 에 $n$ 고유근 $n개인$ 경우 대각선화 가능합니다.

$A($ 디스플레이 스타일 A $)$ 를 $A$ F $(디스플레이 스타일$ F $F$ 의 매트릭스로 합니다.A $(디스플레이$ $스타일$ A $)$ 가 $A$ 대각선화 가능한 $경우$ , 그 검정력도 마찬가지입니다.반대로 A $($ 디스플레이 $스타일$ A $)$ 가 $A$ 반전 $F$ 하고 F $(디스플레이 스타일$ F $)$ 가 $F$ 대수적으로 $A^{n}$ , $F$ ( $디스플레이$ 스타일 F $F$ 특성의 정수 배수가 아닌 일부n $(디스플레이$ 스타일 N $)$ 에 대해 $A^{n}$ n( $n$ 스타일 $A^{n}$ ^{n})이 대각선화 $A$ 한 $,$ A( $디스플레이$ 스타일A)는 $A$ 대각선화 가능합니다.증명: A $\$ A $^{n}$ 이 $A^{n}$ 대각선화 가능한 $A^{n}$ $\displaystyle$ A는 어떤 $A$ 다항식 $x$ n - $\left(x^{n}-\lambda _{1}\right)\cdots \left(x^{n}-\lambda _{k}\right)$ 1) $\left(x^{n}-\lambda _{1}\right)\cdots \left(x^{n}-\lambda _{k}\right)$ ( $\left(x^{n}-\lambda _{1}\right)\cdots \left(x^{n}-\lambda _{k}\right)$ - $\left(x^{n}-\lambda _{1}\right)\cdots \left(x^{n}-\lambda _{k}\right)$ k $){$ $displaystyle \left$ ( $x^{n} -$ \ $lambda$ _ {1} \ $cdots$ \ $lam$ { right $}$ 에 의해 소멸됩니다 $.$ $\lambda$ _ ${j}\neq$ 0 $\lambda _{j}\neq 0$ 이며 최소 다항식 A $({displaystyle$ A $A$ 로 나눕니다.

$\mathbb {C}$ C(\ $displaystyle \mathbb {C$ 에 걸쳐 거의 모든 행렬이 대각선화 가능합니다.보다 정확하게는 C $\mathbb {C} ^{n\times n}$ × $(\$ ${C$ 의 서브셋으로 간주되는 C $\mathbb {C}$ {\ $displaystyle$ \mathbb ${C}$ $\mathbb {C}$ 에 $\mathbb {C} ^{n\times n}$ 대각선화할 수 없는 복잡한 $n\times n$ n × $n\times n$ {\ $displaystyle$ n $\times$ n $\mathbb {C} ^{n\times n}$ 행렬 $n\times n$ 집합은 Lebegue가 0을 측정한다.대각선화 행렬은 Zariski 토폴로지와 관련하여 조밀한 하위 집합을 형성한다고 말할 수 있다. 즉, 비대각선화 행렬은 특징 다항식의 판별자 집합인 하이퍼서페이스 안에 있다.그 후, 표준이 주는 통상적인(강력한) 토폴로지의 밀도도 표시됩니다.R $(\$ 에서는 $\mathbb {R}$ 동일하지 않습니다.

조던-체발리 분해는 연산자를 반단순(즉, 대각선화 가능) 부분과 영가능 부분의 합으로 표현한다.따라서 행렬은 0인 경우에만 대각선화할 수 있다.즉, 조던 형식의 각 블록에 0의 효력이 없는 부분이 없는 경우 행렬은 대각선화 가능합니다. 즉, 각 "블록"은 1개씩 행렬입니다.

대각선화

대칭 행렬의 대각화는 축을 고유 벡터에 정렬하기 위한 회전으로 해석할 수 있습니다.

$행렬$ A $($ 디스플레이 스타일 A $)$ 를 $A$ 대각선화할 수 있다면, 즉

{\displaystyle P^{-1}AP=begin{bmatrix}\lambda _{1}&\lambda _{2}&\vdots &\vdots &\lambda _{n}\lambda _{bmatrix}},

그 후, 다음과 같이 합니다.

AP=P{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&\lambda _{2}&\lambda _{2}&\vdots &\vdots &\vdots &\lambda _{n}.

열 ${\boldsymbol {\alpha }}_{i}$ 의 블록 매트릭스로 P $(\displaystyle$ P $)$ 를 $P$ 쓴다α ${\boldsymbol {\alpha }}_{i}$ (\ $displaystyle\boldsymbol\alpha }_{i$ })

P=bgin{bmatrix}{\boldsymbol {alpha }}_{1}&{\boldsymbol {alpha }_{2}&\cdots & {\bmatrix

위의 방정식은 다음과 같이 고쳐 쓸 수 있다.

A{\boldsymbol {\alpha }_{i}={\boldsymbol {\alpha }}_{i}\qquad(i=1,2,\quad,n).

$따라서$ P{\displaystyle P $}$ 의 $P$ 열 벡터는 A{\ $displaystyle$ A $A$ 의 오른쪽 고유 벡터이고, 대응하는 대각 엔트리는 대응하는 고유 값입니다.또한 P{\ $displaystyle$ P $}$ 의 $P$ 반전성은 고유 벡터가 선형 독립적이며 $F^{n}$ n $F^{n}$ {\ $displaystyle$ F $^{n$ 의 기초를 형성함을 나타냅니다.이것은 대각성 및 대각화의 표준 접근방식을 위한 필요충분조건이다.P $P^{-1}$ - $P^{-1}$ {\ $display style$ P $^{-1}}$ 의 $P^{{-1}}$ 행 벡터는A {\ $display style$ A $A$ 의 왼쪽 고유 벡터입니다.

$A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ A $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ n × $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ {\ $displaystyle A\in$ \ $mathbb$ {C $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ } ^{ $n}$ ^{n})인 경우 $, A$ 의 $A$ 고유 벡터를 $\mathbb {C} ^{n}$ 하여 Cn $(\$ $displaystyle$ $\mathbb$ { $C} ^{$ n $})$ 직교기저를 형성할 수 있습니다.질화 매트릭스또한 A $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ R $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ × $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ \ $displaystyle$ A \ $in$ \ $mathbb$ { $R ^$ { $n$ \ $times$ n $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ } $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ 실대칭행렬이라면 그 고유 $P$ 는 $\mathbb {R} ^{n}$ n \ $displaystyle$ $\mathbb {R} ^{n}$ \ $mathbb$ { R $\mathbb {R} ^{n}$ $} ^$ { $n$ } 의 $\mathbb {R} ^{n}$ $P$ 직교행행행렬로서 선택할 수 있다.

대부분의 실용적인 작업 행렬은 컴퓨터 소프트웨어를 사용하여 대각선으로 숫자화됩니다.이를 실현하기 위한 많은 알고리즘이 존재합니다.

동시 대각선화

P $P^{-1}AP$ - $P^{-1}AP$ $P^{-1}AP$ P $P^{-1}AP$ { _ $display style$ P $^$ { - 1 AP $}$ 가 $P^{{-1}}AP$ 세트내의 각A { \ $display style$ A $A$ }에 대한 대각행렬이 되는 $P^{-1}AP$ 의 $가역행렬$ P { $display style$ P}가 존재하는 $P$ 경우, 행렬 세트는 동시에 대각선화가 가능하다고 한다.다음 정리는 동시에 대각선화할 수 있는 행렬을 특징짓습니다.대각화 가능한 행렬 집합은 집합이 동시에 ^[1]^{: p. 64}대각화 가능한 경우에만 변환됩니다.

n $n>1$ > $n>1$ { $displaystyle$ n > $1$ }인 $n>1$ $n\times n$ n × $n\times n$ \ $displaystyle$ n \ $times$ n } 행렬 $n\times n$ (C $\mathbb {C}$ \ $displaystyle$ \ $mathbb$ { $C$ $\mathbb {C}$ )의 세트는 동시에 대각화 가능하지 않습니다.예를 들어, 행렬은

(\displaystyle {bmatrix}1&0&0\end {bmatrix}}\text {and}\display {bmatrix}1&1&0&0\end {bmatrix})

는 대각선화가 가능하지만 동시에 대각선화가 불가능하기 때문에 대각선화가 불가능합니다.

집합은 단일 행렬에 의해 동시에 대각화가 가능한 경우에만 통근 정규 $U$ 로 구성됩니다. 즉, U $U^{*}AU$ $U^{*}AU$ \ $displaystyle$ U $^$ { * } $U^{*}AU$ ary A \ displaystyle U^ { * } $AU는$ 세트의 모든 $\style$ A에 대해 $A$ 대각선입니다.

리 이론의 언어에서, 동시에 대각선화할 수 있는 행렬의 집합은 토랄 리 대수를 생성한다.

예

대각선화 행렬

인볼루션은 대각선 위에 ±1을 두고 실(및 실제로는 2가 아닌 특성 필드)에 걸쳐 대각선화할 수 있다.
유한순서 내형상은 $\mathbb {C}$ C\ $displaystyle \mathbb {C}($ 또는 필드의 특성이 내형성의 순서를 분할하지 않는 대수적으로 닫힌 필드)에 걸쳐 대각선화 가능하며 대각선상의 통일근이다.이것은 최소 다항식이 분리 가능하기 때문에 뒤따른다. 왜냐하면 단일성의 근이 구별되기 때문이다.
투영법은 대각선화 가능하며 대각선에는 0과 1이 있습니다.
실제 대칭행렬은 직교행렬로 대각선화할 수 있다. 즉, 실제 $대칭행렬$ A {\ $displaystyle$ A $A$ $Q^{\mathrm {T} }AQ$ $Q^{\mathrm {T} }AQ$ A $Q^{\mathrm {T} }AQ$ ${\mathrm {T}AQ}$ 는 $Q^{\mathrm {T} }AQ$ 일부 $직교행렬$ Q {\ $displaystyle$ Q $Q$ 에 대해 대각선이다. 보다 일반적으로는 단위행렬로 대각선일 경우에만 대각선화할 수 있다.l. 실제 대칭행렬의 경우 A $=$ $A=A^{\mathrm {T} }$ T $A=A^{\mathrm {T} }$ = $A$ ^ {\ $mathrm {T} }$ } $=$ $AA^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }A$ $AA^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }A$ $AA^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }A$ $AA^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }A$ T = $AA^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }A$ $=$ {\ $mathrm {T}$ = $A$ = A ^ ${\$ mathrm { $T$ A가 $A=A^{\mathrm {T} }$ 을 알 수 있다.정규 행렬의 예로는 실제 대칭(또는 스큐-대칭) 행렬(예: 공분산 행렬)과 에르미트 행렬(또는 스큐-헤르미트 행렬)이 있습니다.무한 차원 벡터 공간에 대한 일반화는 스펙트럼 정리를 참조하십시오.

대각선화할 수 없는 행렬

일반적으로 회전행렬은 실측에서 대각선화할 수 없지만 모든 회전행렬은 복잡한 필드상에서 대각선화할 수 있습니다.행렬을 대각선화할 수 없는 경우에도 "최선을 다해" 행렬을 찾을 수 있으며, 선두 대각선의 고유값과 초대각선(Jordan 정규 형식)의 1 또는 0으로 구성된 동일한 속성을 가진 행렬을 찾을 수 있습니다.

일부 행렬은 어떤 필드에서도 대각선화할 수 없으며, 특히 0이 아닌 영위 행렬이 가장 두드러집니다.이것은 고유값의 대수적 승수와 기하학적 승수가 일치하지 않는 경우에 더 일반적으로 발생합니다.예를 들어,

({displaystyle C=begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix})}

이 행렬은 대각선화할 수 없습니다 $U^{-1}CU$ $U$ - $U^{-1}CU$ $U^{-1}CU$ { $displaystyle$ U} CU가 $U$ 대각선 행렬인 $U^{-1}CU$ U - $U^{-1}CU$ CU $（$ \ $displaystyle$ U ）。실제로 C{\ $displaystyle$ C $}$ 는 $C$ 하나의 고유값(즉 0)을 가지며, 이 고유값은 대수 곱셈 2와 기하 곱셈 1을 가진다.

일부 실행렬은 실행렬에 대해 대각선화할 수 없습니다.예를 들어 행렬을 고려합니다.

B=\left[{\begin{array}0&1\\!-1&0\end{array}}\right]

$행렬$ B $(\displaystyle$ B $)$ 에는 $B$ 실제 고유값이 없기 때문에 $Q^{-1}BQ$ (\ $displaystyle$ Q $^{-1}BQ)$ 가 $Q^{-1}BQ$ 대각행렬인 $Q^{-1}BQ$ $행렬$ Q(\ $displaystyle$ Q^{-1}BQ)는 $Q$ 없습니다. $그러나$ 복소수를 허용하면 $B를$ 대각선으로 $B$ 할 수 있습니다.정말이지, 만약 우리가

Q=begin{bmatrix}1&i&1\end{bmatrix}

$Q^{-1}BQ$ - $Q^{-1}BQ$ $Q^{-1}BQ$ Q $(\style$ Q $^{-1}BQ})$ 는 $Q^{-1}BQ$ 대각선입니다.B $(\style$ B $)$ 는 $B$ 각도 ${\textstyle \theta ={\frac {3\pi }{2}}}$ ${\textstyle \theta ={\frac {3\pi }{2}}}$ ${\textstyle \theta ={\frac {3\pi }{2}}}$ ${\textstyle \theta ={\frac {3\pi }{2}}}$ 2 ${\$ 2 { $textstyle \theta$ = $frac { 3$ \ $pi$ } {2 $}$ }로 시계 반대 방향으로 회전하는 회전 매트릭스임을 $쉽게$ 알 수 있습니다.

위의 예에서는 대각화 가능한 행렬의 합계가 대각화되지 않아도 된다는 것을 알 수 있습니다.

행렬의 대각선화 방법

행렬을 대각화하는 것은 고유 벡터가 베이스를 형성하는 경우 행렬의 고유값 및 고유 벡터를 찾는 것과 같습니다.예를 들어, 행렬을 고려합니다.

A=\left[{\begin{array}{rr}0&1&\!\!\!-2\\0&1&0\1&\!\!-1&3\end {array}\right]

특성 $p(\lambda )=\det(\lambda I-A)$ p ( $p(\lambda )=\det(\lambda I-A)$ ) $p(\lambda )=\det(\lambda I-A)$ ( $p(\lambda )=\det(\lambda I-A)$ I - $p(\lambda )=\det(\lambda I-A)$ ){ $displaystyle$ p ( \ displaystyle p ( \ $displayda$ ) =\ $det$ ( \ $displayda I-A$ )}의 $p(\lambda )=\det(\lambda I-A)$ 근은 고유값 $\lambda _{1}=1,\lambda _{2}=1,\lambda _{3}=2$ 1 $\lambda _{1}=1,\lambda _{2}=1,\lambda _{3}=2$ 1, $\lambda _{1}=1,\lambda _{2}=1,\lambda _{3}=2$ $\lambda _{1}=1,\lambda _{2}=1,\lambda _{3}=2$ $\lambda _{1}=1,\lambda _{2}=1,\lambda _{3}=2$ = \ $displaystyleda _ da$ _ $1 =$ 1 = 1 = 1 = 1 = 2 = 1 $da$ \ $display$ styleda _ da _ da _ da _ da _ da _ displaystyleda $=\mathbf {0}$ 은 $\left(I-A\right)\mathbf {v} =\mathbf {0}$ $\left(2I-A\right)\mathbf {v} =\mathbf {0}$ 는) 고유 $\mathbf {v} _{1}=(1,1,0)$ v $\mathbf {v} _{1}=(1,1,0)$ ( $\mathbf {v} _{1}=(1,1,0)$ , $\mathbf {v} _{1}=(1,1,0)$ 1, $)$ ${{$ displaystyle \ $mathbf {v}$ _{1} = $(1,1,0)}$ $\mathbf {v} _{2}=(0,2,1)$ $\mathbf {v} _{2}=(0,2,1)$ $\mathbf {v} _{2}=(0,2,1)$ ( $0,$ ,1 $\mathbf {v} _{2}=(0,2,1)$ {displaystyle \ $mathbf {v}$ _{2} $= (0,1$ {2 $\mathbf {v} _{1}=(1,1,0)$ ,1)}, ( $\left(2I-A\right)\mathbf {v} =\mathbf {0}$ - $\left(2I-A\right)\mathbf {v} =\mathbf {0}$ $\left(2I-A\right)\mathbf {v} =\mathbf {0}$ 를 제공합니다 $.$ $\mathbf {v} _{3}$ =(1 $,0,-1$ ; 즉, $A\mathbf {v} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}$ $A\mathbf {v} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}$ $A\mathbf {v} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}$ $A\mathbf {v} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}$ $v$ \ $mathbf { v$ } $_{i$ } $i=1,2,3$ \ $i=1,2,3$ $_$ { $i}$ \ $mathbf {v}$ _ { $i$ ( $i=1,2,3$ $=$ $i=1,2,3$ , $i=1,2,3$ , $3$ { $styledisplay$ i $}$ $i=1,2,3$ 의 벡터입니다 $V=\mathbb {R} ^{3}$ . $atrix$ P(\ $displaystyle$ P $)$ 는 $P$ 다음을 수행합니다.

P^{-1}AP=\left[{\begin{array}{rr}1&1&2&0\\0&1&1&\!\!\!-1\end{array}\right]^{-1}\left[{\cisco{array}{rr}0&1&\!\!\!-2\\0&1&0\1&\!\!-1&3\end {array}\right [{\time {array}{rr}1&,0&1&2&0\\0&1&1&1&!\!\!\!-1\end{array}\right]="begin{bmatrix}1&0\0&1&0\0&2\end{bmatrix}=D"

변환의 관점에서 이 방정식을 볼 수 있습니다.

P

{\

displaystyle

P

}

는

P

고유 베이시스,

P\mathbf {e} _{i}=\mathbf {v} _{i}

P\mathbf {e} _{i}=\mathbf {v} _{i}

=

P\mathbf {e} _{i}=\mathbf {v} _{i}

i {\

displaystyle

P\

mathbf {e} _{i

}=\

mathbf {v}

_{

i

의 표준 베이스를 취하므로 다음과 같습니다.

P^{-1}AP\mathbf {e}=P^{-1}A\mathbf {v}_{i}=P^{-1}(\lambda _{i}\mathbf {v} _{i})=\displaystyle P^_{i}\mathbf {e}_{i

P^{-1}AP

P -

P^{-1}AP

A

P^{-1}AP

{\

displaystyle

P

^{-1} AP}

는

P^{-1}AP

D

{\

displaystyle

D

D

의 정의 특성인 고유 벡터로 표준 기준을 갖습니다.

P $(\displaystyle$ P $A$ ^[2]에 고유 벡터의 우선 순서는 없습니다.P $(\displaystyle$ P $)$ 에서 $P$ 고유 벡터의 순서를 변경하면고유값의 $순서$ 가 A(\ $displaystyle$ A)의 대각선 형태로 변경됩니다.

매트릭스 함수에 적용

대각화를 사용하여 $A=PDP^{-1}$ A $A=PDP^{-1}$ $A=PDP^{-1}$ D $A=PDP^{-1}$ - $A=PDP^{-1}$ {\ $style$ A = $PDP^{-1$ 의 검정력을 효율적으로 계산할 수 있습니다.

디스플레이 스타일A^{k}&=\left(PDP^{-1}\오른쪽)^{k}=\left(PDP^{-1}\오른쪽)\left(PDP^{-1}\오른쪽)\cdots \left(PDP^{-1}\오른쪽)\\&=PD\left(P^{-1}P\오른쪽)D\left(P^{-1}P\오른쪽)\cdots \left(P^{-1}P\오른쪽)DP^{-1}=PD^{k}P^{-1},\end{aligned}}

그리고 후자는 대각행렬의 거듭제곱만을 수반하기 때문에 계산하기가 쉽다.예를 들어, 위의 예에서 $\lambda =1,1,2$ $\lambda =1,1,2$ $\lambda =1,1,2$ , $\lambda =1,1,2$ 1, $(\$ style $\display\displayda =$ 1, $1,2)$ 인 $\lambda =1,1,2$ 행렬A(\ $style$ A $)$ 의 $A$ 경우 다음과 같이 계산합니다.

디스플레이 스타일A^{k}=PD^{k}P^{-1}&=left[{\begin{array}{rr}1&,0&1&2&0\0&1&1&!\!\!\!-1\end{array}\right]{\cisco {bmatrix}1^{k}&0\\\0&1^{k}\end {bmatrix}\left[{\cisco {array}{rr}1&0&1&0&0&1&0&1&1&1!\!\!-1\end{array}\right]^{-1}\\[1em]&=param{bmatrix}2-2^{k}&-1+2^{k}&0&1&0\1+2^{k}&1+2^{k}&1+2^{k}{k}&1+2\b}{k}{k}{k}\end { aligned}}

이 방법은 행렬 지수 함수 및 멱급수로 정의할 수 있는 다른 행렬 함수로 일반화할 수 있습니다. ${\textstyle \exp(A)=I+A+{\frac {1}{2!}}A^{2}+{\frac {1}{3!}}A^{3}+\cdots }$ 를 들어 exp ${\textstyle \exp(A)=I+A+{\frac {1}{2!}}A^{2}+{\frac {1}{3!}}A^{3}+\cdots }$ ( ${\textstyle \exp(A)=I+A+{\frac {1}{2!}}A^{2}+{\frac {1}{3!}}A^{3}+\cdots }$ ) ${\textstyle \exp(A)=I+A+{\frac {1}{2!}}A^{2}+{\frac {1}{3!}}A^{3}+\cdots }$ + ${\textstyle \exp(A)=I+A+{\frac {1}{2!}}A^{2}+{\frac {1}{3!}}A^{3}+\cdots }$ + ${\textstyle \exp(A)=I+A+{\frac {1}{2!}}A^{2}+{\frac {1}{3!}}A^{3}+\cdots }$ 2 ! ${\textstyle \exp(A)=I+A+{\frac {1}{2!}}A^{2}+{\frac {1}{3!}}A^{3}+\cdots }$ 2 + ${\textstyle \exp(A)=I+A+{\frac {1}{2!}}A^{2}+{\frac {1}{3!}}A^{3}+\cdots }$ 3 ! ${\textstyle \exp(A)=I+A+{\frac {1}{2!}}A^{2}+{\frac {1}{3!}}A^{3}+\cdots }$ 3 + ${\$ \ $textstyle$ \ $exp$ ( ${\textstyle \exp(A)=I+A+{\frac {1}{2!}}A^{2}+{\frac {1}{3!}}A^{3}+\cdots }$ A ) $=$ $I+A+{\frac {1}{2!$ $}}A^{2}+{\frac {1}{3!$ }} $A^{$ 3}+\ $cdots$ 에는 다음이 있습니다 $.$

{\displaystyle\begin{aligned}\exp(A)=P\exp(D)P^{-1}&=left[{\begin{array}{rr}1&,0&1&2&0\0&1&1&!\!\!\!-1\end{array}\right]{\caps {bmatrix}e^{1}&0\\0\\0&e^{2}\end{bmatrix}\left[{\caps {r}1&0&1&2&0&1&1&1!\!\!-1\end{array}\right]^{-1}\\[1em]&=sec{bmatrix}2e-e^{2}&-e+e^{2}\0&e+e^{2}&e+e^{2}&e+e^{2}&e+e^{b}{b}{b2}\end { aligned}}

이것은 특히 피보나치 숫자와 같은 선형 재귀 시퀀스의 항에 대한 닫힌 형식 식을 찾는 데 유용합니다.

특정 응용 프로그램

예를 들어 다음 매트릭스를 생각해 보겠습니다.

({displaystyle M=begin{bmatrix}a&b-a\0&b\end{bmatrix})}

M $(\$ display $M)$ 의 $M$ 다양한 파워를 계산하면 놀라운 패턴이 나타납니다.

M^{2}=bgin{bmatrix}a^{2}-a^{2}\0&b^{2}\end{bmatrix},\quad M^{3}=bgin{3}-b^{3}\end

위의 현상은 M $({displaystyle$ M $M$ 의 대각선으로 설명할 수 있습니다. 이를 위해서는 M $({displaystyle$ M $M$ 의 고유 벡터로 구성된 $\mathbb {R} ^{2}$ 2 $({$ R $} ^{2}})$ 의 $\R^2$ 기초가 필요합니다. 이러한 고유 벡터 기초 중 하나는 다음과 같습니다.

\mathbf {u} =param {bmatrix} 1\\0\end {bmatrix} =param {bmatrix} 1\1\end {bmatrix} =\mathbf {e} _{e

여기서_i e는 R의 표준ⁿ 기준이다.베이스의 역변경은 다음과 같다.

\mathbf {e} _{1}=\mathbf {u} ,\qquad \mathbf {e} _{2}=\mathbf {v} -\mathbf {u} .

간단한 계산으로 알 수 있듯이

M\mathbf {u} =a\mathbf {u} ,\qquad M\mathbf {v} =b\mathbf {v} .

따라서 a와 b는 각각 u와 v에 해당하는 고유값입니다.행렬 곱셈의 선형성에 의해, 우리는 다음을 갖는다.

M^{n}\mathbf {u} =a^{n}\mathbf {u} ,\qquad M^{n}\mathbf {v} =b^{n}\mathbf {v}

표준 베이스로 돌아가면,

디스플레이 스타일M^{n}\mathbf {e}_{1}&=M^{n}\mathbf {u} =a^{n}\mathbf {e},\M^{n}\mathbf {e} _{2}&=M^{n}\left(\mathbf} -\mathbu}) {u} {u} {right}\end { aligned}}

행렬 형식으로 표현된 앞의 관계는 다음과 같은 관계는

({displaystyle M^{n}=bgin{bmatrix}a^{n}-a^{n}\0&b^{n}\end{bmatrix})

위의 현상을 설명한다.

양자역학 응용

양자역학 및 양자화학 계산에서 행렬 대각화는 가장 자주 적용되는 수치 과정 중 하나이다.기본적인 이유는 비록 무한 차원 공간(힐버트 공간)의 물리적 상황의 대부분이지만, 시간 독립적인 슈뢰딩거 방정식이 고유값 방정식이기 때문이다.

매우 일반적인 근사치는 힐베르트 공간을 유한 차원으로 잘라내는 것이며, 그 후에 슈뢰딩거 방정식은 실제 대칭 또는 복잡한 에르미트 행렬의 고유값 문제로 공식화될 수 있다.형식적으로 이 근사치는 아래에서 경계가 되는 해밀턴인들에게 유효한 변이 원리에 기초한다.

1차 섭동 이론은 또한 퇴화 상태에 대한 행렬 고유값 문제를 야기한다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

레퍼런스

^ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis, second edition. Cambridge University Press. ISBN 9780521839402.
^ Anton, H.; Rorres, C. (22 Feb 2000). Elementary Linear Algebra (Applications Version) (8th ed.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-17052-5.

[HornJohnson-1] Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis, second edition. Cambridge University Press. ISBN 9780521839402.

[2] Anton, H.; Rorres, C. (22 Feb 2000). Elementary Linear Algebra (Applications Version) (8th ed.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-17052-5.

[1]

[2]

v t 매트릭스 클래스
명시적으로 제약된 엔트리	얼터 반대각선 반헤르미티안 반대칭적 화살촉 밴드 쌍대각선 쌍대칭의 블록 대각선 블록 블록 삼각형 부울 코시 중심대칭의 회의. 복합 아다마르 코포시티브 대각선 우세 대각선 이산 푸리에 변환 초등 등가 프로베니우스 일반 치환 아다마르 행켈 에르미트인 헤센베르크 움푹 패임 정수 논리 행렬 단위 메츨러 무어 음이 아닌 오각형의 치환 대칭의 다항식 사분위기의 서명 스큐헤르미트어 스큐대칭 스카이라인 희박. 실베스터 대칭 토플리츠 삼각형의 삼각형의 반데르몽드 월시 Z
일정한	교환하다 힐베르트 신원 레머 1개 중 파스칼 파울리 레히퍼 시프트 영
고유값 또는 고유 벡터에 대한 조건	동반자 수렴 결함이 있는 확실한 대각선화 가능 후루비츠 양의 정의 스틸테제스
제품 또는 반전 조건 충족	일치하다 등전위 또는 투영 반전 가능 인벌리테이션 무효 보통의 직교 유니모듈러 전능하지 않다 유니터리 완전 단일한 무게 측정
특정 응용 프로그램 사용	인접국 교대 기호 증강 베주트 칼레만 카르탄 순환제 보조인자 정류 혼란 콕서터 거리 복제 및 삭제 유클리드 거리 기본(선형 미분 방정식) 발전기 그램 헤시안 세대주 야코비안 순간. 이익 고르다 랜덤 회전 세이퍼트 전단 유사성 심플렉틱 전적으로 긍정적이다 변혁
통계에 사용됨	센터링 상관 관계 공분산 설계. 이중 확률적 피셔 정보 모자 정확 확률적 전이
그래프 이론에서 사용됨	인접 관계 바이애시턴시 도 에드먼즈 발생률 라플라시안 세이델 인접 투테
이공계에 사용	카비보코바야시마스카와 밀도 기본(컴퓨터 비전) 퍼지 연상사 감마 겔만 해밀턴식 불규칙하다 오버랩 S 상태 전이 대체 Z(화학)
관련 용어	요르단 정규형 선형 독립성 행렬 지수 원뿔 단면 행렬 표현 완전 매트릭스 유사역 행형식 브롱스키안
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