최소 다항식(선형 대수)

선형대수학에서, 필드 F에 대한 n × n 행렬 A의 최소 다항식_A μ는 P(A) = 0과 같은 최소 F에 대한 단일 다항식 P이다. Q(A) = 0을 갖는 다른 모든 다항식 Q는 μ의_A (폴리항식) 배수다.

다음의 세 가지 진술은 동일하다.

1. λ은 μ의_A 뿌리다.
2. λ은 A의 특징적인 다항식 of의_A 뿌리다.
3. λ은 행렬 A의 고유값이다.

μ의_A 뿌리 root의 다중성은 ker(A - λI_n)^m가 ker(A - λI_n)^m−1를 엄격히 포함하는 가장 큰 동력 m이다.즉, 지수를 m까지 증가시키면 그 어느 때보다 큰 커널을 갖게 되지만 m 이상으로 지수를 증가시키면 동일한 커널을 갖게 된다.null

만약 필드 F가 대수적으로 닫히지 않는다면, 최소의 특징적인 다항식들은 그들의 뿌리(F)에만 따라 인자를 고려할 필요가 없으며, 다시 말해서 그들은 1도보다 더 큰 수정 불가능한 다항식 인자를 가질 수 있다.취소할 수 없는 다항식 P의 경우 다음과 유사한 동등성을 갖는다.

1. P는 μ를_A 나눈다.
2. P는 χ을_A 나눈다.
3. P(A)의 알맹이는 적어도 1의 치수를 가진다.
4. P(A)의 낟알은 적어도 디그(P)를 가지고 있다.

특성 다항식과 마찬가지로 최소 다항식은 베이스 필드에 의존하지 않는다.즉, 행렬을 큰 필드에 계수가 있는 행렬로 간주해도 최소 다항식은 변경되지 않는다.그 이유는 특징적인 다항식(결정요인의 정의에서 바로 나오는 곳) 즉, 최소 다항식이 A의 힘 사이의 선형 의존 관계에 의해 결정된다는 사실과는 다소 다르다: 베이스 필드를 확장하는 것은 어떤 새로운 관계도 도입하지 않을 것이다(물론 제거되지 않을 것이다).e 기존 항목).null

최소 다항식은 특성 다항식과 같은 경우가 많지만 항상 그렇지는 않다.예를 들어, A가 ID 매트릭스의 복수 aI인_n 경우, 그것의 최소 다항식은 X - a - a이며, 그 최소 다항식은 a_n = 0의 커널은 이미 전체 공간이기 때문이다. 반면, 그것의 특성 다항식은 (X - a)ⁿ이다(유전성 다항식의 값은 a이며, 특성 다항식의 정도는 항상 공간의 치수와 동일하다.최소 다항식은 항상 특성 다항식을 나누는데, 이것은 케이리-해밀턴 정리(필드 위의 행렬의 경우)를 형성하는 한 방법이다.null

형식 정의

필드 F에 걸쳐 유한 차원 벡터 공간 V에 내형성 T를 부여하면, 내가_T 다음과 같이 정의되는 집합이 되도록 한다.

${\displaystyle {\mathit{I}_{T}=\{p\in \mathbf {F}[t]\mid p(T)=0\}}}$

여기서 F[t ]는 필드 F에 있는 모든 다항식의 공간이다.나는_T F[t ]의 적절한 이상이다.F는 필드이기 때문에 F[t ]는 주요한 이상적인 영역이므로, F에서 단위까지 고유한 단일 다항식에 의해 어떤 이상도 생성된다.발전기 중 정확히 하나는 단색이기 때문에 발전기 중에서 특별히 선택할 수 있다.따라서 최소 다항식은 I를_T 생성하는 일항 다항식이라고 정의된다.그것은 I에서_T 가장 낮은 수준의 단항 다항식이다.

적용들

필드 F에 대한 유한 차원 벡터 공간의 내형성 φ은 그것의 최소 다항성 인자가 F를 완전히 상회하는 경우에만 구별되는 선형 인자로 대각선화할 수 있다.모든 고유값 λ에 대해 하나의 인자 X - factor이 있다는 것은 λ에 대한 일반화된 아이겐스페이스가 λ에 대한 아이겐스페이스와 같다는 것을 의미하며, 모든 요르단 블록은 크기가 1이다.보다 일반적으로, φ이 F보다 구별되는 선형 인자에 P 인자가 포함되는 다항 방정식 P(φ) = 0을 만족하면 대각선화할 수 있다. 즉, 최소 다항식은 P의 분점이고 따라서 구별되는 선형 인자에 대한 인자도 된다.특히 다음과 같은 특징이 있다.

• P = X ^k - 1: 복잡한 벡터 공간의 유한 순서 내형성은 대각선화할 수 있다.X ² - 1 = (X - 1)(X - 1)(X + 1)은 그러한 영역에 걸쳐 구별되는 인자로 인자화되기 때문에, 비자발성의 특별한 사례 k = 2의 경우, 벡터 공간의 내형성에 대해서도 마찬가지다.이것은 순환집단의 대표이론의 한 부분이다.
• P = X ² - X = X(X - 1): φ² = φ을 만족하는 내형성을 투영이라고 하며, 항상 대각선으로 할 수 있다(그들의 유일한 고유값은 0과 1이다).
• 반대로 μ_φ = X k ^k = 2이면 X는 반복된 루트 0을 가지기 ^k 때문에 μ(nilpotent endomorphism)가 반드시 대각선이 가능한 것은 아니다.

이러한 사례도 직접 증명할 수 있지만 최소한의 다항식만 있으면 통일된 시각과 증거가 된다.null

연산

V에서 벡터 V의 경우 다음을 정의하십시오.

${\displaystyle {\mathit{I}_{T,v}=\{p\in \mathbf {F}[t]\; \p(T)=0\}}$

이 정의는 적절한 이상적 성질을 만족시킨다.μ는_T,v 그것을 생성하는 단항 다항식이 되게 하라.null

특성.

예

규범적 기준으로 매트릭스를 갖는³ R의 내형성을 T로 정의한다.

${\displaystyle {\pmatrix}1&-1&-1\1&-2&1\\0&1&3\end{pmatrix}.}$

첫 번째 표준 기준 벡터 e와₁ T에 의해 반복된 영상을 취하면 1은 얻는다.

${\displaystyle e_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix},\quad T\cdot e_{1}={\begin{bmatrix}1\1\\\0\end{bmatrix}}}.\quad T^{2}\!\cdot e_{1}={\begin{bmatrix}0\-1\\\1\end{bmatrix}{\mbox{\}}}{\qad T^{3}\\\\cdot e_{1}={\begin}0\3\\\-4\end{bmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}?$

이 중 첫 번째 세 가지는 선형적으로 독립된 것으로 쉽게 보여지며, 따라서 모든 R에³ 걸쳐 있다.그렇다면 마지막은 반드시 첫 번째 세 개의 선형 결합이다, 사실.

T ³ ⋅ e₁ = −4T ² ⋅ e₁ − T ⋅ e₁ + e₁,

따라서:

μ_{T, e1} = X ³ + 4X ² + X − I.

이것은 또한 사실 최소 다항식_T μ와 특성 다항식 μ_T : 실로 μ는_{T, e1} μ를_T 나누는 μ를_T 나누는데, 처음과 마지막은 ° 3이고 모두 단항이기 때문에 모두 같아야 한다.또 다른 이유는 일반적으로 만약 T에서 어떤 다항식, 그때 그것은 또한 T⋅v(단지는 v annihilates다고 말하는 방정식과 T적용하)annihilates고, 따라서 반복을 통해 그것은 전체 공간은 T로 v의를 이미지에 의해 생성된 annihilates 벡터 vannihilates은 현재 사건에 우리가 v에 cm는 모든 R3의 그 공간 e1 강했다.,따라서 μ_{T, e1}(T ) = 0. 실제로 전체 ³ 매트릭스에 ² 대해 T + 4T + T - I가₃ 0 매트릭스임을 확인한다.

${\displaystyle{\begin{bmatrix}0&, 1&, -3\\3&, -13&, 23\\-4&, 19&, -36\end{bmatrix}}+4{\begin{bmatrix}0&, 0&, 1\\-1&, 4&, -6\\1&, -5&, 10\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&, -1&, -1\\1&, -2&, 1\\0&, 1&, -3\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-1&, 0&, 0\\0&, -1&, 0\\0&, 0&, -1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&a융점, 0&, 0\\0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0\end{bmatrix}}}$

참조

• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556