치수(벡터 공간)

수학에서 V의 기본 필드를 넘어가는 기준, 벡터 공간 V의 치수는 기수( 없애주는 번호의 요인).[1][2]그것은 때때로 해멀 치수(게오르크게 된 후)또는 대수적 차원 차원의 다른 종류와 구분하기 위해 호출됩니다.

모든 벡터 공간 동안 basis,[를]벡터와 공간의 주자가 모두 동등한 기수다;[b]결과로 벡터 공간의 치수를 독특하게 정의된다.우리는 V{V\displaystyle}은.mw-parser-output .vanchor&gt은 만약 V{V\displaystyle}의 치수를 유한한 것, 이의 차원으로 무한대입니다. 5target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}finite-dimensional 말한다.

들녘을 벡터 공간 V의 면적은{V\displaystyle}F{F\displaystyle}dim F⁡(V){\displaystyle \dim_{F}(V)}또는[V:F]로,"VF에 치수{V}\displaystyle{\displaystyle F}"을 읽{\displaystyle[V:F],}로 작성할 수 있다.언제 F{F\displaystyle}컨텍스트에서 도출될 수 있는, 희미한 ⁡(V){\displaystyle \dim(V)}일반적으로 적혀 있다.

예

그 벡터 공간 R3{\displaystyle \mathbb{R}^{3}}다.

\displaystyle \left \{\display{pmatrix}1\0\end{pmatrix},{\display{pmatrix}0\1\end{pmatrix},{\displaystyle{pmatrix}}\\\\end{pmatrix}\right}}

\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{3})=3.

기준으로

\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{3})=3.

R

\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{3})=3.

δ ( R

\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{3})=3.

)

\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{3})=3.

3.

dim _{\mathbb {R}

} (\

mathbb {

R} =

\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{3})=3.

3 .

\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{3})=3.

} 보다

\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{3})=3.

\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{n})=n,

으로

\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{n})=n,

R

\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{n})=n,

δ (

\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{n})=n,

)

n

, {

displaystyle \dim

_ {\

mathbb {R} =

{

R}

(\

mathbbb {R})

임의의

필드

F

.

{\

displaystyle

F

}.

}

$\mathbb {C}$ C $(\$ 는 $\mathbb{C}$ 모두 실재 및 복소 벡터 공간입니다. 여기에는 $\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {C} )=2$ R $\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {C} )=2$ δ ( $\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {C} )=2$ ) $\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {C} )=2$ $(\displaystyle \dim$ _ ${\$ $mathbb$ $\dim _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} )=1.$ { $R}$ } $= 2$ (\ $mathbb {C$ }) $\dim _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} )=1.$ $\dim _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} )=1.$ C $\dim _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} )=1.$ $displaystyle \dim$ { $C})$ 가 $\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {C} )=2$ $.$ } 따라서 $\dim _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} )=1.$ 치수는 베이스 필드에 따라 달라집니다 $.$

$차원$ 0 $(\displaystyle$ 0 $)$ 의 $0$ 벡터 공간은 0 요소로만 구성된 벡터 $\{0\},$ 인 { 0 $\{0\},$ $\{0\},$ {\ $displaystyle \{0\}$ 뿐입니다 $\{0\},$ .

특성.

W $(\displaystyle$ W $)$ 가 $W$ V $(\displaystyle$ V $)$ 의 $V$ 선형 서브스페이스인 $\dim(W)\leq \dim(V).$ Dim( $\dim(W)\leq \dim(V).$ dim $\dim(W)\leq \dim(V).$ \ $displaystyle \dim(V)$ \ $leq \dim(V$ ) $}$

두 개의 유한 차원 벡터 공간이 동일함을 보여주기 위해 다음 기준을 사용할 수 있습니다. V{\ $displaystyle$ V $}$ 이 $V$ 유한 차원 벡터 $W$ 이고W {\ $displaystyle$ W $}$ 가 $W$ $\dim(W)=\dim(V),$ 치수 $\dim(W)=\dim(V),$ θ( $\dim(W)=\dim(V),$ $\dim(W)=\dim(V),$ $\dim(W)=\dim(V),$ θ( $W=V.$ $\dim(W)=\dim(V),$ { $displaystyle \dim(W$ ) $= 치수$ W(V)인 V{\ $displaystyle$ V $}$ 의 $V$ 선형 부분 공간인 $,$ $aystyle W=V.$ $}$

$\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ n $\mathbb {R} ^{n}$ {\ $displaystyle \mathbb {R}$ ^{ $n}$ 에는 $\mathbb {R} ^{n}$ 표준 기준 $\left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\},$ 1, $\left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\},$ $\left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\},$ $\left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\},$ \ $ldots, e_{n}\right\}$ 이 $\left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\},$ 있습니다. $e_{i}$ 서 e ${\$ i $e_{i}$ }는 대응하는 ID $i$ 의i {\ $displaystyle$ $\left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\},$ i $}$ 번째 $i$ 열입니다. $\mathbb {R} ^{n}$ R $\mathbb {R} ^{n}$ n \ $displaystyle$ \ $mathbb { R$ } $^$ { n } $\mathbb {R} ^{n}$ $n$ nn. \ $displaystyle$ n.

같은치수의 F(\ $displaystyle$ F $)$ $F$ 의 $F$ 두 유한 차원 벡터 공간은 모두 동형이다.베이스 사이의 임의의 바이젝티브 맵은 벡터 공간 간의 바이젝티브 선형 맵으로 고유하게 확장될 수 있다.B $(\displaystyle$ B $)$ 가 $B$ 설정된 $경우$ 치수 B $displaystyle$ B $)$ 가 $|B|$ F(\ $displaystyle$ F $) 위$ 에 $F$ $F(B)$ 있는 벡터 공간을 다음과 같이 구성할 수 있습니다. 모든 $f:B\to F$ $F(B)$ $f:B\to F$ $f:B\to F$ $F(B)$ $f:B\to F$ (\ $displaystyle$ F:\displaystyle F $:$ B에서 f $f(b)=0$ $=$ $($ $displaystyle$ f $(b$ )= $0)$ 이 $f(b)=0$ $f(b)=0$ B $\$ $to$ F $($ $)$ 를 $f:B\to F$ $지정$ 합니다 $b$ . 이러한 기능을 F{\ $displaystyle$ F $}$ $F$ 와 $F$ 함께 추가하여 $원하는$ F {\ $displaystyle$ F $}$ -벡터 $F$ 공간을 얻을 수 있습니다.

차원에 대한 중요한 결과는 선형 지도에 대한 순위-무질성 정리에 의해 주어진다.

F $K({displaystyle$ F $/K})$ 가 $F/K$ 필드 확장인 $F/K$ $,$ $F$ ({ $displaystyle$ F})는 $F$ 특히K $K.$ 의 벡터 공간입니다 $.$ $또한$ $모든$ F({ $displaystyle$ F $}$ - 벡터 $F$ $공간$ V({ $displaystyle$ V $})$ 도 $V$ $K$ (\ $displaystyle$ K $)$ - 벡터 $K$ 공간입니다.치수는 공식에 의해 관련됩니다.

\displaystyle \dim _{K}(V)=\dim _{K}(F)\dim _{F}(V)}

특히

n

의 모든

n

복소 벡터 공간은

2n.

2

n의

실제 벡터

공간이다.

}

일부 공식은 벡터 공간의 치수를 기저 필드의 카디널리티 및 공간 자체의 카디널리티와 관련짓습니다.V $({displaystyle$ $V$ $})$ 가 $V$ $F$ 필드 F({ $displaystyle$ F}) 위의 벡터 $공간$ 이고 V({ $displaystyle$ V $V$ })의 $치수$ 가 dim $\dim V,$ V $($ 로 $\dim V,$ 표시되면 다음과 $같습니다$ .

조광

V

(\

displaystyle

V

)

가

V

유한한 경우

|V|=|F|^{\dim V}.

=

|V|=|F|^{\dim V}.

dim

|V|=|F|^{\dim V}.

V

|V|=|F|^{\dim V}.

. {\

dim

V

|V|=|F|^{\dim V}.

입니다.

}

조광

V

({displaystyle

V})가

V

무한대일 경우 V

|V|=\max(|F|,\dim V).

|V|=\max(|F|,\dim V).

,

|V|=\max(|F|,\dim V).

V

),

{{

displaystyle

V = \

max

(

F

, \

dim

V

|V|=\max(|F|,\dim V).

)입니다.

}

일반화

벡터 공간은 매트로이드의 특정 경우로 볼 수 있으며, 매트로이드는 차원에 대한 명확한 개념이 있다.모듈의 길이와 아벨 그룹의 등급은 모두 벡터 공간의 차원과 유사한 몇 가지 특성을 가지고 있습니다.

볼프강 크럴(1899–1971)의 이름을 딴 교환 고리의 크럴 치수는 고리 내 주요 이상 사슬의 최대 엄밀한 포함 수로 정의된다.

추적하다

벡터 공간의 치수는 항등 연산자의 트레이스로서 특징지을 수 있다. $\operatorname {tr} \ \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{2}}=\operatorname {tr} \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)=1+1=2.$ 를 들어 tr $\operatorname {tr} \ \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{2}}=\operatorname {tr} \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)=1+1=2.$ $\operatorname {tr} \ \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{2}}=\operatorname {tr} \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)=1+1=2.$ $\operatorname {tr} \ \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{2}}=\operatorname {tr} \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)=1+1=2.$ 2 $\operatorname {tr} \ \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{2}}=\operatorname {tr} \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)=1+1=2.$ tr $\operatorname {tr} \ \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{2}}=\operatorname {tr} \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)=1+1=2.$ ( $\operatorname {tr} \ \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{2}}=\operatorname {tr} \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)=1+1=2.$ $\operatorname {tr} \ \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{2}}=\operatorname {tr} \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)=1+1=2.$ ) $\operatorname {tr} \ \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{2}}=\operatorname {tr} \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)=1+1=2.$ + $\operatorname {tr} \ \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{2}}=\operatorname {tr} \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)=1+1=2.$ 2. $\operatorname {tr} \ \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{2}}=\operatorname {tr} \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)=1+1=2.$ { $displaystyle \operatorname {tr$ } \ $operatorname {id }$ _ { \ $mathbb {$ R } ^ {2} = \ $operatorname {tr }$ \ left \ left \ $small matrix \ 0$ \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ }\ } } }}}}\ 。 $\operatorname {tr} \ \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{2}}=\operatorname {tr} \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)=1+1=2.$ 이것은 순환 정의로 보이지만 유용한 일반화를 가능하게 합니다.

첫째, 그것은 추적이 있지만 자연적인 기초의식이 없을 때 차원 개념의 정의를 허용한다. $\eta :K\to A$ 를 들어 맵 $\eta :K\to A$ : K $\eta :K\to A$ {\ $displaystyle \eta : K$ \ $to$ A $\eta :K\to A$ } (스칼라 포함, 단위)와 $\epsilon :A\to K$ $\epsilon :A\to K$ : A $\epsilon :A\to K$ \ $displaystyle \silon :)$ 을 가진 $A$ $대수$ A {\ $displaystyle$ \silon : $A\to$ K $}($ 트레이스에 대응하여 counit이라고 불립니다). $\epsilon \circ \eta :K\to K$ : K $→$ $\epsilon \circ \eta :K\to K$ → K \ $displaystyle$ \ $explilon \$ explan \ explan \ explan \ $eta$ : K \ $to$ K $\epsilon \circ \eta :K\to K$ }는 스칼라(1차원 공간상의 선형 연산자가 되는 것)로서 "동일성"에 대응하며 추상대수의 차원 개념을 제공한다.실제로 바이알게브라에서는 이 맵이 항등성이어야 하며, 이 맵은 $\epsilon :=\textstyle {\frac {1}{n}}\operatorname {tr}$ ( : : $=$ $\epsilon :=\textstyle {\frac {1}{n}}\operatorname {tr}$ $\epsilon :=\textstyle {\frac {1}{n}}\operatorname {tr}$ tr \ $displaystyle$ \ $explilon$ : = \ $textstyle$ \ $frac$ {1 $}{n}}\operatorname$ { $tr}$ }) $\epsilon :=\textstyle {\frac {1}{n}}\operatorname {tr}$ 으로 나누어 count를 정규화함으로써 얻을 수 있다.

또는 무한 차원 공간에서 연산자의 추적을 취할 수 있습니다. 이 경우 (유한) 차원이 존재하지 않더라도 (유한) 배선이 정의되어 "연산자의 치수"라는 개념을 제공합니다.이들은 힐베르트 공간의 "추적 등급 연산자" 또는 더 일반적으로 바나흐 공간의 핵 연산자에 속한다.

더 미묘한 일반화는 연산자 계열의 추적을 일종의 "비틀린" 차원으로 간주하는 것이다.이는 표현의 특성이 표현의 흔적인 표현 이론에서 유의하게 발생하며, 따라서 표현으로서 $1\in G$ 1 $1\in G$ G \ $displaystyle$ $\chi :G\to K,$ 1 \ $in$ G $1\in G$ \ displaystyle $1\in G$ 1 \ in G , $\chi :G\to K,$ \ $displaystyle$ \ ci $: G$ \ $to$ K , $\chi :G\to K,$ $군$ 에서 $\chi :G\to K,$ 스칼라 값 함수가 전달된다 $\chi :G\to K,$ s 아이덴티티 매트릭스에 대한 그룹 내 아이덴티티: $\chi (1_{G})=\operatorname {tr} \ I_{V}=\dim V.$ $\chi (g)$ ( $\chi (1_{G})=\operatorname {tr} \ I_{V}=\dim V.$ G ) $\chi (1_{G})=\operatorname {tr} \ I_{V}=\dim V.$ tr $\chi (1_{G})=\operatorname {tr} \ I_{V}=\dim V.$ I $\chi (1_{G})=\operatorname {tr} \ I_{V}=\dim V.$ $=$ $\chi (1_{G})=\operatorname {tr} \ I_{V}=\dim V.$ V . \ $display$ $\chi (1_{G})=\operatorname {tr} \ I_{V}=\dim V.$ \ $chi$ ( 1 _ { $G$ ) =\ $operatorname$ {tr } \ $I_{$ V} = \ $dim$ V . } the $\chi (1_{G})=\operatorname {tr} \ I_{V}=\dim V.$ can can $\chi (g)$ can can can can $\chi (g)$ can can " $\chi (g)$ " " " " " " $can$ 。문자 또는 표현에 대한 설명입니다.이것의 정교한 예는 괴물 문샤인 이론에서 나타난다 $:$ j {\ $displaystyle$ j $}$ -불변량은 $j$ 몬스터 그룹을 무한 차원 등급으로 표현한 단계적 차원이며, 이 차원을 캐릭터로 대체하면 ^[3]몬스터 그룹의 각 요소에 대한 McKay-Thompson 시리즈를 얻을 수 있다.

「」를 참조해 주세요.

프랙탈 치수 – 규모에 따른 복잡도 변동 통계 지수를 제공하는 비율
크럴 차원 – 수학에서 고리의 차원
매트로이드 순위 – 매트로이드 독립 세트의 최대 크기
순위(선형 대수) – 행렬의 열 공간의 차원
위상 차원, 르베그 피복 차원이라고도 함

메모들

^ 선택 공리를 가정하면.
^ 벡터 공간의 차원 정리를 참조하다

레퍼런스

^ Itzkov, Mikhail (2009). Tensor Algebra and Tensor Analysis for Engineers: With Applications to Continuum Mechanics. Springer. p. 4. ISBN 978-3-540-93906-1.
^ Axler (2015) 페이지 44, § 2.36
^ Gannon, Terry (2006), Moonshine beyond the Monster: The Bridge Connecting Algebra, Modular Forms and Physics, ISBN 0-521-83531-3

원천

Axler, Sheldon (2015). Linear Algebra Done Right. Undergraduate Texts in Mathematics (3rd ed.). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0.

외부 링크

MIT OpenCourseWare에서 길버트 스트랭의 독립성, 기초 및 차원에 관한 MIT 선형 대수 강의

[3] 선택 공리를 가정하면.

[4] 벡터 공간의 차원 정리를 참조하다

[1] Itzkov, Mikhail (2009). Tensor Algebra and Tensor Analysis for Engineers: With Applications to Continuum Mechanics. Springer. p. 4. ISBN 978-3-540-93906-1.

[2] Axler (2015) 페이지 44, § 2.36

[gannon-5] Gannon, Terry (2006), Moonshine beyond the Monster: The Bridge Connecting Algebra, Modular Forms and Physics, ISBN 0-521-83531-3

[3]

v t 치수
치수 공간	벡터 공간 유클리드 공간 아핀 공간 투영 공간 빈 모듈 다지관 대수적 다양성 시공간
기타 치수	쿠루루 르베그 피복 귀납적 하우스도르프 민코프스키 프랙탈 자유도
폴리토프 및 모양	하이퍼플레인 하이퍼서페이스 하이퍼큐브 초직각 데미하이퍼큐브 하이퍼스피어 교차 폴리토프 심플렉스 고피라미드
번호별 치수	영 하나. 두명 세개 네개 다섯개 여섯개 일곱개 8 아홉개 n차원
「」를 참조해 주세요.	하이퍼스페이스
카테고리

v t 선형 대수
기본 개념	스칼라 벡터 벡터 공간 스칼라 곱셈 벡터 투영 선형 스팬 선형 지도 선형 투영 선형 독립성 선형 조합 근거 기준 변경 행 및 열 벡터 행 및 열 공간 커널 고유값 및 고유벡터 전치 선형 방정식
매트릭스	블록 분해 반전 가능 작은 곱셈 순위 변혁 크레이머의 법칙 가우스 소거
쌍선형	직교성 도트 제품 내부 제품 공간 외부 제품 크로네커 곱 그램-슈미트 과정
다선형 대수	행렬식 크로스 프로덕트 트리플 프로덕트 7차원 교차곱 기하학 대수 외부 대수 바이벡터 멀티벡터 텐서 외형성
벡터 공간 구성	듀얼 다이렉트 기능 공간 몫 부분 공간 텐서 곱
숫자	부동 소수점 수치 안정성 기본 선형 대수 하위 프로그램 희박 행렬 선형 대수 라이브러리 비교
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