반간단성

수학에서 반단순성은 선형대수학, 추상대수학, 표현이론, 범주이론, 대수기하학 등의 학문에 널리 퍼져 있는 개념이다.반단순 물체는 단순한 물체의 합으로 분해될 수 있는 물체이며, 단순 개체는 비적합한 적절한 하위 물체를 포함하지 않는 물체다.이 단어의 정확한 정의는 문맥에 따라 다르다.

예를 들어, G가 유한한 집단이라면, 한 분야에 걸친 비종교적 유한차원 표현 V는 그것이 포함하는 유일한 하위 표현이 {0} 또는 V(이러한 것을 불가해한 표현이라고도 한다)일 경우 단순하다고 한다.이제 마슈케의 정리는 유한집단의 어떤 유한차원적 표현도 단순한 표현들의 직접적인 합이라고 말하고 있다(기저장의 특성이 집단의 질서를 분열시키지 않는다고 전제한다면).그래서 이런 조건을 가진 유한집단의 경우, 모든 유한차원의 표현은 반단순하다.특히 대수학과 표현 이론에서 "반간편성"은 완전한 축소성이라고도 불린다.예를 들어, Weyl의 완전 환원성에 대한 정리는 semisimple Compact Lie 그룹의 유한차원 표현이 semisimple이라고 말한다.

정사각형 행렬(즉, 선형 연산자 $T{\displaystyle }$: ${\displaystyle V}$→ V ${\displaystyle T:$V 유한 치수 벡터 공간)을 가진$$ $V\to V}$은(는) T에 따른 유일한 불변 서브스페이스가 {0}과(와) V이면 간단하다고 한다.만약 필드가 대수적으로 닫힌다면(복잡한 숫자와 같은), 간단한 행렬은 크기가 1 x 1이다.반단순 행렬은 단순 행렬의 직접적인 합과 유사한 행렬이다. 만약 그 필드를 대수적으로 닫았다면, 이것은 대각선이 가능한 것과 같다.

이러한 반간편성의 개념은 반간편모듈의 언어를 사용하여 통일할 수 있으며, 반간편모듈의 범주로 일반화될 수 있다.

벡터 공간의 소개 예

모든 벡터 공간(예: 실제 숫자와 같은 필드 위의)을 고려할 경우, 단순 벡터 공간은 적절한 비특수 하위 공간을 포함하지 않는 공간이다.그러므로 1차원 벡터 공간은 단순한 공간이다.그래서 어떤 유한차원 벡터공간이 단순한 벡터공간의 직접적인 합이라는 것은 선형대수의 기본적인 결과다. 다시 말해서 모든 유한차원 벡터공간은 반단순이다.

반단순 행렬

모든 T-invariant 아공간이 보완적인 T-invariant 아공간을 갖는 경우, 정사각형 행렬 또는 동등하게 유한차원 벡터 공간 V의 선형 연산자 T를 반간편이라고 한다.^[1][2]이것은 T가 정사각형이 없는 최소 다항식과 같다.

대수적으로 닫힌 필드 F에 걸친 벡터 공간의 경우, 행렬의 반간단성은 대각선성과 동등하다.^[1]이는 그러한 운영자가 항상 고유 벡터를 가지고 있기 때문이다. 또한 그것이 반간단이라면, 그것은 보완적 불변성 하이퍼플레인 그 자체가 고유벡터를 가지고 있고, 따라서 유도에 의해 대각선이 가능하다.반대로 대각선이 가능한 연산자는 불변 서브스페이스가 아이겐스페이스의 직접적인 합이며, 이 서브 스페이스의 모든 고유 베이시스(eigenbasis)는 전체 공간의 아이겐베이스(eigenbasis)로 확장될 수 있기 때문에 반단순하다고 쉽게 볼 수 있다.

반단순 모듈 및 링

고정 링 R의 경우 비경쟁 R-모듈 M은 0과 M 이외의 하위 모형이 없는 경우 단순하다.R-모듈 M은 M의 모든 R-submodule이 M의 R-모듈 직접 합계인 경우 반간편(사소한 모듈 0은 반간편이지만 단순하지 않다)이다.R-모듈 M의 경우, M은 단순 모듈의 직접 합인 경우에만 반단순하다(사소한 모듈은 빈 직접 합이다).마지막으로 R은 R모듈처럼 반단순하면 반단순 링이라고 부른다.밝혀진 바와 같이, 이것은 미세하게 생성된 모든 R-모듈 M이 반 단순해야 하는 것과 같다.^[3]

반단순 고리의 예로는 필드와 보다 일반적으로 필드의 유한 직접 생산물이 있다.유한집단에 대해 G 마슈케의 정리는 일부 고리 R에 대한 그룹 링 R[G]은 R이 반 단순하고 G가 R에서 변위할 수 없는 경우에만 반 단순하다고 주장한다.R[G]의 모듈 이론은 R-모듈에 대한 G의 표현 이론과 동일하므로, 이 사실은 중요한 이분법으로서, 모듈형 표현 이론, 즉 G가 특성을 나누지 않는 경우보다 R의 특성을 나누는 것이 더 어려운 경우, 특히 R의 영역인 경우에는 더욱 그러하다.특징 영점By the Artin-Wedderburn theorem, a unital Artinian ring R is semisimple if and only if it is (isomorphic to) ${\displaystyle M_{n_{1}}(D_{1})\times M_{n_{2}}(D_{2})\times \cdots \times M_{n_{r}}(D_{r})}$, where each ${\displaystyle D_{i}}$ is a division ring 및 $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle D}$) ${\displaystyle M_{n}(D)}$은(는) D에 항목이 있는 n-by-n 행렬의 링이다$$.

An operator T is semi-simple in the sense above if and only if the subalgebra ${\displaystyle F[T]\subseteq \operatorname {End} _{F}(V)}$ generated by the powers (i.e., iterations) of T inside the ring of endomorphisms of V is semi-simple.

위에서 지적한 바와 같이 반단순고리의 이론은 일반고리의 이론보다 훨씬 쉽다.예를 들어, 모든 짧은 정확한 시퀀스

$0\displaystyle 0\to M'to M'\to 0}$

반단순 링 위의 모듈들은 분할되어야 한다. 즉, $M{\displaystyle }$ ≅${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \prime }$ ″ ${\displaystyle {}^{}}$ ″${\displaystyle {}^{}}${ { { { { {$${ \$displaystyle M\cong$M'\$oplus$ M$'}.$동질대수의 관점에서, 이것은 비-격연장이 없다는 것을 의미한다.정수의 링 Z는 반단순하지 않다: Z는 nZ와 Z/n의 직접 합이 아니다.

반단순 범주

위의 반간단성 개념 중 상당수는 반간단성 범주 C의 개념에 의해 회복된다.간단히 말해서, 범주는 그러한 개체들 사이의 개체와 지도들의 집합체인데, 개체들 사이의 지도는 이러한 개체들에 내재된 어떤 구조를 보존한다는 개념이다.예를 들어, R-모듈과 이들 사이의 R-선형 맵은 어떤 링 R에 대해서도 범주를 형성한다.

만약 단순한 개체의 컬렉션을 초기화된abelian category[4]Csemi-simple라고 불린다 Xα∈ C{\displaystyle X_{\alpha}\in C}, 즉, 사람들과 함께 하는 하위 개체보다 0개체 0과 X({\displaystyle X_{\alpha}}그 자체 등은 어떠한 물체라도 X는 합(즉, 부산물 또는 동등하게, 제품)의 fini.전화 번호너는 많은 간단한 사물들을 가지고 있다.슈르의 보조정리로부터 내형성(nomophorphism)이 울리고 있다.

${\displaystyle \operatorname {End} _{C}(X)=\operatorname {Hom} _{C}(X,X)}$

반자동 범주에서 중분류 링 위에 있는 매트릭스 링(즉, 반자동)의 제품이다.

더욱이 링 R은 정밀하게 생성된 R-modules 범주가 준이행되는 경우에만 반단순하다.

호지 이론의 예는 편광 가능한 순수 호지 구조, 즉 적절한 양의 확정 이선형 형태를 갖춘 순수 호지 구조물의 범주다.이러한 소위 양극화의 존재는 편광 가능한 Hodge 구조의 범주를 반단순화하게 한다.^[5]대수 기하학에서 또 다른 예는 필드 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathrm{Mot}}$ ${\displaystyle }$( k${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$~ ${\$ modulo$$ 적절한 동등성 관계${\displaystyle }$~ ${\displaysty \sim }}$에 대한 부드러운 투영 다양성의 순수한 동기 범주다$.$ Grotendieck에 의해 추측되었고 잔센에 의해 이 범주는 반심이다.e 등가 관계가 수치 등가인 경우에만.^[6]이 사실은 동기가론의 개념적 초석이다.

Semisimplement abelian 범주는 삼각형 범주의 t-구조와 (적당하게 관련되는) 중량 구조의 조합에서도 발생한다.^[7]

표현 이론의 반간단성

집단의 유한차원표현이나 리 대수학의 범주가 반이행인지, 즉 모든 유한차원표현이 불가역표현의 직접적인 합으로 분해되는지를 물을 수 있다.일반적으로 대답은 '아니오'이다.예를 들어 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$가) 제공됨$$

${\displaystyle \Pi(x)={\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}}}$

비확산물의 직접적인 합은 아니다.^[8](정확히 1차원소의 범위인 비침투성 하위공간이 ${\displaystyle {하나\mathrm{}}_{}}$ 있는데, e $1{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 반면에 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G$$}$이(가) 콤팩트하면 모든 유한차원 표현 $\pi {\displaystyle \mathrm{}}$${\displaystystyle$$\Pi}$은 어떤 내부 제품을 인정한다$$.${\displaystyle \mathrm{\pi }}$ ${\displaystyle \Pi }$은(는) $\pi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Pi }$이(가) 비reducables의 합으로 분해된다는$$ 것을 보여 주는 단일 물질이다$$.^[9]마찬가지로 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$이(^[10]가) 복잡한 반실행 Lie 대수라면 g$${\$displaystyle${\$mathfrak{$}의 모든 유한차원 표현은$$ 비확산물의 합이다.Weyl의 원래 증거는 단위의 속임수를 사용했다.그러한 $모든{\displaystyle \mathfrak{}}$ g ${\$은(는) 단순하게 연결된 콤팩트 Lie 그룹 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $K$$}$의 Lie 대수법을 복잡하게 만드는 것이다$.$ $K{\displaystyle }$ ${\\displaystyle$ K$}$은(는) 간단히 연결되기$$ 때문에 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyty K}$의 유한차원 표현과 1대1의 일치성이 있다.${\displaystyle \mathfrak{g}}$ ${\$^[11]따라서, 콤팩트 그룹의 표현에 관한 방금 언급된 결과가 적용된다.또한 홀의 책 10.3절에서와 같이 대수적 $수단$으로 g ${\${\$mathfak{g}}$의 표현에 대한 반증거성을 직접 증명할 수도 있다.

참고 항목:퓨전 범주(semisimized).

참고 항목

• 반실행 리 대수학(semisimple Lie 대수학)은 단순한 리 알헤브라의 직접적인 합계인 리 대수학이다.
• 반이행 대수군(semisimple 대수군)은 신분 요소의 급진성이 사소한 선형 대수군이다.
• 세미임플라이어 대수
• Semisimple 표현

참조

• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer

외부 링크

• 아벨의 비감속 텐서 카테고리는 반이행인가?
• http://ncatlab.org/nlab/show/semisimple+category