통근 매트릭스

선형 대수학에서 $AB=BA$ $AB=BA$ $AB=BA$ A $AB=BA$ = A \ $displaystyle$ AB $=$ $AB=BA$ 의 $행렬$ A \ $displaystyle$ A \displaystyleB가 $A$ $B$ 통근한다고 $합니다$ . $BA$ 또는 정류자 $[A,B]=AB-BA$ [ $[A,B]=AB-BA$ $[A,B]=AB-BA$ $[A,B]=AB-BA$ $[A,B]=AB-BA$ - $[A,B]=AB-BA$ $[A,B]=AB-BA$ \ $displaystyle [A,$ B] $=$ 경우 등가. $AB-BA}$ 는 $[A,B]= AB-BA$ 0입니다. $A_{1},\ldots ,A_{k}$ $A_{1},\ldots ,A_{k}$ $(\$ 는 $A_{1},\ldots ,A_{k}$ 쌍으로 이동하면 서로 이동한다고 합니다. 즉, 세트 내의 모든 행렬 쌍이 서로 이동한다고 합니다.

특성 및 속성

통근 행렬은 서로의 ^[1]특장점을 보존합니다.그 결과, 대수적으로 닫힌 필드상의 통근 행렬은 동시에 삼각화할 수 있다. 즉, 둘 다 위쪽 삼각형이 되는 베이스가 존재한다.즉, $A_{1},\ldots ,A_{k}$ 1, $A_{1},\ldots ,A_{k}$ $A_{1},\ldots ,A_{k}$ \ $displaystyle A_{1}$ \ $ldots$ , $A_{k}$ 이 $A_{1},\ldots ,A_{k}$ (가) $P$ 하는 $A_{1},\ldots ,A_{k}$ $i\in \{1,\ldots ,k\}$ P - $P^{-1}A_{i}P$ $i\in \{1,\ldots ,k\}$ $P^{-1}A_{i}P$ { $displaystyle$ P $^$ {- $1}A_{i}P}$ 는 $P^{-1}A_{i}P$ 모든 $P$ $i\in \{1,\ldots ,k\}$ {k $}$ 의 삼각형이 됩니다 $i\in \{1,\ldots ,k\}$ e는 다음 반례와 같이 표시됩니다.
${bmatrix}1&3\end {bmatrix}{\display {bmatrix}1&1\\end {bmatrix}=display {bmatrix}1&3\end {bmatrix}\neq {bmatrix}1&3&3\displaystyle {bmatrix}$

단, 두 행렬의 정류자의 제곱이 0인 경우

[A,B]^{2}=0

즉 [

[A,B]^{2}=0

[A,B]^{2}=0

[A,B]^{2}=0

=

{\

displaystyle [A,B]^{2

}=

0

이면 그 반대가 ^[2]참이다.

2개의 $대각선화$ $매트릭스$ A $(\displaystyle$ $)$ 와 B(\ $displaystyle$ B $B$ $)$ 는 동시에 대각선화 $AB=BA$ $(\displaystyle$ AB $=BA$ 가 존재하는 $P$ 경우(즉 $P^{-1}AP$ P - $P^{-1}AP$ P {\ $displaystyle$ P $^{-1-AP$ } $P^{-1}BP$ 와 P $P^{-1}BP$ 가 $P^{-1}AP$ 모두 $P^{-1}AP$ ) 통근한다. $le$ P $^{-1}BP}$ 는 $P^{-1}BP$ 대각선이다.)행렬 중 하나에 고유값이 ^[3]여러 개 없으면 역행렬이 유효합니다.
$A($ 디스플레이 스타일 $A)$ 와 $A$ B $(디스플레이 스타일$ B $)$ 가 $B$ 통근하는 $경우$ 공통 고유 벡터가 있습니다.A $(디스플레이$ 스타일 $A)$ 의 고유값이 뚜렷하고 A $(디스플레이 스타일$ A $)$ 와 $A$ B $(디스플레이$ 스타일 B $)$ 가 $B$ 통근하는 $경우$ $(디스플레이 스타일$ A $A$ 의 고유 벡터는 B $(디스플레이 스타일$ B $B$ 의 고유 $B$ 입니다.
행렬 중 하나가 특히 특성 다항식이 단순 근만을 가질 때마다 발생하는 특성 다항식과 일치한다는 특성을 가지고 있다면, 다른 행렬은 첫 번째 다항식으로 쓸 수 있다.
동시 삼각 적분성의 직접적인 결과로서, 두 개의 통근 복소 행렬 A, B의 고유값(특징 다항식의 루트의 복수 집합)은 $\alpha _{i}\leftrightarrow \beta _{i}$ $\alpha _{i}\leftrightarrow \beta _{i}$ $\alpha _{i}\leftrightarrow \beta _{i}$ $\alpha _{i}\leftrightarrow \beta _{i}$ ${\$ _ ${i}\left$ rightarrow $\set$ _ $\alpha _{i}\leftrightarrow \beta _{i}$ { $i})$ 로 일치할 수 있다.두 행렬에서 $P(A,B)$ P $P(A,B)$ $)$ { $displaystyle$ P $(A, B)}$ 의 $P(A,B)$ 환경은 값 $P(\alpha _{i},\beta _{i})$ $P(\alpha _{i},\beta _{i})$ $P(\alpha _{i},\beta _{i})$ i $)$ { $displaystyle$ P $(\alpha$ _ ${i},\beta$ _{ $i$ 의 다중 집합이다.이 정리는 프로베니우스 ^[4]때문이다.
두 개의 에르미트 행렬은 eigenspace가 일치할 경우 통근합니다.특히, 여러 고유값이 없는 두 개의 에르미트 행렬은 동일한 고유 벡터 집합을 공유하는 경우 이동한다.따라서 두 행렬의 고유값 분해를 고려합니다. $A($ $디스플레이$ 스타일A)와 B(디스플레이 $스타일$ B $)$ 를 $A$ $B$ 두 개의 에르미트 행렬로 $합니다$ . $A$ (\ $displaystyle$ A $)$ 와 $A$ B $(\displaystyle$ B $)$ 는 $B$ A $=$ $1$ $A=U\Lambda _{1}U^{\dagger }$ U $†$ {1 $}$ U $^{\dagger }$ 및 $A=U\Lambda _{1}U^{\dagger }$ $B=U\Lambda _{2}U^{\dagger }$ $B=U\Lambda _{2}U^{\dagger }$ $U$ $B=U\Lambda _{2}U^{\dagger }$ U b 2 $B=U\Lambda _{2}U^{\dagger }$ \ Display B $=$ $Lambda$ 로 쓸 수 있는 공통 eigenspace를 가집니다.U $^{\dagger$ 그 후 다음과 같이 $됩니다$ .
$AB=U\Lambda_{1}U^{\dagger}U\Lambda_{2}U^{\dagger}=U\Lambda_{1}\Lambda_{2}U^{\dagger}=U\Lambda_{2}\Lambda_{1}U^{\dagger}=U\Lambda_{2}U^{\dagger}U\Lambda_{1}U^{\dagger}=BA.$
2개의 매트릭스가 통근하는 속성은 과도적이지 않습니다. $행렬$ A $(\displaystyle$ $A)$ 는 B $(\$ displaystyle B $)$ 와 $A$ $B$ C(\ $displaystyle$ C $C$ $B$ 와 통근할 수 있지만 B $(\displaystyle$ B $)$ 와 $B$ C $(\displaystyle$ C $)$ 는 $C$ 서로 통근하지 않습니다.예를 들어, 항등 행렬은 모든 행렬과 교신하며, 이들 행렬 사이에 모든 행렬이 통근하는 것은 아닙니다.고려된 행렬의 집합이 여러 고유값이 없는 에르미트 행렬로 제한되면 고유 벡터의 특성화의 결과로 정류성은 과도적이다.
리의 정리는 해결 가능한 리 대수의 어떤 표현도 동시에 상위 삼각형이 가능하다는 것을 보여준다.
n × n $행렬$ $A는$ 스칼라 $\lambda I$ 인 경우에만 다른 모든 n × n 행렬과 호환됩니다 $A$ . $\lambda I$ $,$ $I$ $(\display$ style \ $lambda$ I $\lambda I$ 형식의 행렬입니다. 여기서 I(\ $display style$ I $)$ 는 $I$ n × n ID 행렬이고 $,$ \ $display$ $style$ \ $lambda$ 는 $\lambda$ 스칼라 행렬입니다 $.$ 즉, 곱셈 하에서의 n × n 행렬 그룹의 중심은 스칼라 행렬의 부분군이다.

예

항등 행렬은 모든 행렬과 일치합니다.
조던 블럭은 밴드를 따라 값이 동일한 상위 삼각 행렬을 사용하여 이동합니다.
두 대칭 행렬의 곱이 대칭이면 서로 이동해야 합니다.즉, 모든 대각 행렬이 다른 모든 대각 ^[5]^[6]행렬과 교감한다는 의미이기도 합니다.
순환 매트릭스는 통근한다.두 순환 행렬의 합이 순환하기 때문에 이들은 교환 고리를 형성합니다.

역사

통근 행렬의 개념은 케일리에 의해 행렬 이론에 대한 회고록에서 소개되었고, 이것은 행렬의 첫 공리화를 제공하기도 했다.그들에게 증명된 최초의 중요한 결과는 1878년 ^[7]프로베니우스의 위 결과였다.

레퍼런스

^ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2012). Matrix Analysis. Cambridge University Press. p. 70. ISBN 9780521839402.
^ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2012). Matrix Analysis. Cambridge University Press. p. 127. ISBN 9780521839402.
^ "Proofs Homework Set 10 MATH 217 — WINTER 2011" (PDF). Retrieved 10 July 2022.
^ Frobenius, G. (1877). "Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen". Journal für die reine und angewandte Mathematik. 84: 1–63.
^ "Do Diagonal Matrices Always Commute?". Stack Exchange. March 15, 2016. Retrieved August 4, 2018.
^ "Linear Algebra WebNotes part 2". math.vanderbilt.edu. Retrieved 2022-07-10.
^ Drazin, M. (1951), "Some Generalizations of Matrix Commutativity", Proceedings of the London Mathematical Society, 3, 1 (1): 222–231, doi:10.1112/plms/s3-1.1.222

[1] Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2012). Matrix Analysis. Cambridge University Press. p. 70. ISBN 9780521839402.

[2] Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2012). Matrix Analysis. Cambridge University Press. p. 127. ISBN 9780521839402.

[3] "Proofs Homework Set 10 MATH 217 — WINTER 2011" (PDF). Retrieved 10 July 2022.

[4] Frobenius, G. (1877). "Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen". Journal für die reine und angewandte Mathematik. 84: 1–63.

[5] "Do Diagonal Matrices Always Commute?". Stack Exchange. March 15, 2016. Retrieved August 4, 2018.

[6] "Linear Algebra WebNotes part 2". math.vanderbilt.edu. Retrieved 2022-07-10.

[7] Drazin, M. (1951), "Some Generalizations of Matrix Commutativity", Proceedings of the London Mathematical Society, 3, 1 (1): 222–231, doi:10.1112/plms/s3-1.1.222

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