스케일링(기하학)

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아핀 지오메트리에서 균일한 스케일링(또는 등방성^[1] 스케일링)은 모든 방향에서 동일한 스케일 팩터로 객체를 확대(증가)하거나 축소(축소)하는 선형 변환입니다.균일한 스케일링의 결과는 (기하학적 의미에서) 원본과 유사합니다.스케일 팩터 1은 일반적으로 허용되므로 일치하는 모양도 비슷한 것으로 분류됩니다.예를 들어 사진을 확대 또는 축소하거나 건물, 자동차, 비행기 등의 축척 모델을 작성할 때 균일한 축척이 발생합니다.

보다 일반적인 것은 축 방향별로 별도의 스케일 팩터를 사용하여 스케일링하는 것입니다.비균일 스케일링(비등방성 스케일링)은 스케일링 팩터 중 적어도 하나가 다른 스케일링과 다른 경우에 얻을 수 있다.특별한 경우는 방향 스케일링 또는 스트레칭(한 방향으로)이다.불균일한 축척은 객체의 형상을 변화시킵니다.예를 들어 정사각형의 변이 스케일 축과 평행하지 않은 경우 정사각형이 직사각형으로 변화하거나 평행사변형으로 변화할 수 있습니다(축과 평행한 선 사이의 각도는 유지되지만 모든 각도는 유지되지 않음).예를 들어 멀리 있는 광고판을 비스듬히 볼 때 또는 평평한 물체의 그림자가 평행하지 않은 표면에 떨어질 때 발생합니다.

스케일 팩터가 1보다 크면 (균일한 또는 불균일한) 스케일링을 확장 또는 확대라고도 합니다.척도 요인이 1보다 작은 양수인 경우 척도를 축소 또는 축소라고도 합니다.

가장 일반적인 의미에서 스케일링은 스케일링의 방향이 수직이 아닌 경우를 포함한다.또한 하나 이상의 축척 요인이 0(투영)인 경우 및 하나 이상의 음의 축척 요인이 있는 경우(-1 방향 축척은 반사에 해당)도 포함됩니다.

축척은 선형 변환이며, 동질감각 변환(점 주위의 축척)의 특수한 경우입니다.대부분의 경우, 동질적 변환은 비선형 변환입니다.

균일한 스케일링

스케일 팩터는 일반적으로 특정 수량을 스케일링하거나 곱하는 소수입니다.y = Cx라는 공식에서 C는 x의 척도 인자이며, C는 x의 계수이며, y 대 x의 비례 상수라고 할 수 있습니다.예를 들어, 거리를 두 배로 늘리면 거리의 축척 계수가 2인 반면 케이크를 반으로 자르면 부피의 축척 계수가 절반인 조각이 됩니다.그것의 기본 방정식은 이미지보다 이미지입니다.

측정 분야에서는 계측기의 스케일 계수를 감도라고 부르기도 합니다.두 개의 유사한 기하학적 도형에서 두 개의 대응하는 길이의 비율을 척도라고도 합니다.

행렬 표현

스케일링은 스케일링 매트릭스로 나타낼 수 있습니다.객체에 벡터 v = (v_yz, v, v)를_x 스케일링하려면 각 점 p = (p_x, p_y, p_z)에 다음 스케일링 행렬을 곱해야 합니다.

$(\displaystyle S_{v}=bmatrix}v_{x}&0\0&v_{y}&0\0&v_{z}\\end{bmatrix}).}$

아래 그림과 같이 곱셈은 예상된 결과를 제공합니다.

$(\displaystyle S_{v}p=bgin{bmatrix}v_{x}&0\\0&v_{y}\\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}p_{x}\p_y}\p_p_z}\endbetrix={x})}$

이러한 축척은 두 축척 요인 사이의 계수, 두 축척 요인 중 가장 작은 곱과 가장 큰 곱 사이의 계수 및 세 축척 모두의 곱에 따라 물체의 직경을 변경합니다.

스케일링은 스케일링 요인이 동일한 경우에만 균일합니다(v_x = v_y = v_z).축척 요인 중 하나를 제외한 모든 요소가 1이면 방향 축척이 있습니다.

v = v_y = v_z = k인 경우_x 스케일링은 표면의 면적을 k의 계수², 고체 물체의 부피를 k의 계수만큼³ 증가시킨다.

임의의 차원에서의 스케일링

n$${\$displaystyle$ n$}$ $-차원$ ${\displaystyle {}^{}}$R n n {\$displaystyle \mathbb${$R$}$^{n$에서$$v {\$displaystyle$ v$\}$의 스칼라 곱셈, 즉 각 점의 좌표에$$v {\$displaystyle$v$\}$를 곱하여 선형 변환의 특수한 경우로 균일한 배율을 구한다.또한 각 점(열 벡터로 표시됨)에 대각선의 엔트리가 모두 v$\displaystyle$ v$\}($$\displaystyle vI)$와 동일한 대각행렬을 곱하여 얻을 수 있습니다.

불균일 배율은 대칭 행렬과의 곱셈에 의해 달성됩니다.행렬의 고유값은 척도 요인이고 해당 고유 벡터는 각 척도 요인이 적용되는 축입니다.대각행렬은 대각선행렬이며,$대각선$을${\displaystyle {따라}_{}}$ 임의의 $숫자{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {v1\mathrm{}}_{}}$, v2$v_{n}$이 있습니다. 스케일링의 축은 좌표축이며 변환 축은 각 $축{\displaystyle }$i({$displaystyle$ i})를$$ 따라 $({$$$$v_i$ $계수로{\displaystyle {}_{}}$ 스케일링됩니다.

0이 아닌 스케일 팩터를 사용한 균일한 스케일링에서는 0이 아닌 모든 벡터는 스케일링 팩터의 부호에 따라 원점에서 볼 수 있듯이 방향을 유지하거나 모두 반전합니다.균일하지 않은 스케일링에서는 아이겐스페이스에 속하는 벡터만 방향을 유지합니다.서로 다른 eigenspace에 속하는 두 개 이상의 0이 아닌 벡터의 합인 벡터는 고유값이 가장 큰 eigenspace로 기울어집니다.

동종 좌표 사용

컴퓨터 그래픽에 자주 사용되는 투영 기하학에서 점은 동종 좌표를 사용하여 표현됩니다.물체를 벡터 v = (v_y, v_z, v)로_x 스케일링하려면 각 균질 좌표 벡터 p = (p_x, p_y, p_z, 1)에 다음 투영 변환 행렬을 곱해야 합니다.

$({displaystyle S_{v}=bmatrix}v_{x}&0&0&0\0&v_{y}&0&0\0&0&0&0&1\end{bmatrix}).}$

아래 그림과 같이 곱셈은 예상된 결과를 제공합니다.

$(\displaystyle S_{v}p=bgin{bmatrix}v_{x}&0&0&0\0&v_{y}&0&0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}p_p}{x}\y}\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0}$

균질 좌표의 마지막 성분은 다른 세 성분의 분모로 볼 수 있기 때문에 공통 계수 s(균일한 척도)에 의한 균일한 척도화(균일한 척도화)는 다음과 같은 척도화 행렬을 사용하여 달성할 수 있다.

$\displaystyle S_{v}=begin{bmatrix}1&0&0&1&0\0&0&1&0\0&0&0&{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}}.}$

각 벡터 p = (p_x, p_y, p_z, 1)에 대해 우리는 다음을 가질 것이다.

$\displaystyle S_{v}p=begin{bmatrix}1&0&0\0&0&0\0&0&0&0&0&{\frac {1}{s}\end {bmatrix}p_x}\p_1z$

이 값은 이 두 가지에 상당합니다.

$(\displaystyle {bmatrix}sp_{x}\sp_{y}\sp_{z}\1\end{bmatrix}).}$

기능 확장 및 수축

$점{\displaystyle }$P (${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle y}$) { $displaystyle$P ($x$ ,$$${\displaystyle {}^{}}$ ) ${\displaystyle \}}$$$a (${\displaystyle {}^{}}$ 、 \ $displaystyle$ P ' ($x$,$$y${\displaystyle {}^{}}$)$$ through through$$ through 。

$m$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$${\displaystyle \begin{array}{l}x{}^{}\end{array}}$ R$$+ \${\displaystyle \begin{array}{l}\mathrm{displaystyle}\end{array}}$$$m,$n\mathbb {R}$의 경우 {x $= ny\end{case$}} x$$${\displaystyle \begin{array}{l}=\end{array}}$ $ny$$displaystyle$ {cases$}$ 。

$따라서{\displaystyle }$ 함수 y ${\displaystyle =f}$ (${\displaystyle x}$) {$displaystyle$ y$=f(x$가 주어지면 확장 함수의 방정식은 다음과 같습니다.

$(\displaystyle y=frac {x}{m}\오른쪽).}$

특정의 경우

n ${\displaystyle =}$ $({displaystyle n=$1$)$이면 변환이 수평이고 m>({$displaystyle$m>$1)$이면확장이고m < $({displaystyle$ m<1이면 $수축$입니다.

m ${\displaystyle =}$ $({displaystyle m=$1$)$이면 변환은 수직이고 n >({$displaystyle$n>$1)$이면 확장,n < $({displaystyle$ n$<1$)이면수축입니다.

m ${\displaystyle =1}$/${\displaystyle n}$ ${displaystyle$ m$=1/n}$ $또는$ n ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1}$/$$ {$displaystyle$ n$=1/m$인 경우 변환은 스퀴즈 매핑입니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 확장(메트릭 공간)
• 균질함수
• 동질 변환
• 직교 좌표
• 스칼라(수학)
• 척도(동음이의)
  • 스케일(비율)
  • 축척(지도)
• 스케일 팩터(컴퓨터 사이언스)
• 스케일 팩터(우주학)
• 스케일 모델
• 통계적 추정에서의 스케일링
• 중력 스케일링
• 스퀴즈 맵핑
• 변환 매트릭스

각주

외부 링크

• Roger Germundsson의 2D 스케일링 이해 및 3D 스케일링 이해, Wolfram 데모 프로젝트.