알레프 수

최소 무한 기수인 알레프-노트, 알레프-제로 또는 알레프-늘

수학에서, 특히 집합론에서, 알레프 수는 잘 정렬될 수 있는 무한 집합의 카디널리티(또는 크기)를 나타내기 위해 사용되는 숫자의 수열이다.그것들은 수학자 게오르크^[1] 칸토어에 의해 소개되었고 그가 그것들을 나타내기 위해 사용한 기호인 히브리 문자 알레프 ( ( $\,\aleph \,$ {\ $displaystyle,\alph,})$ ^[2]^[a]에서 이름을 따왔다.

자연수의 카디널리티는 $00($ alleph-nough 또는 $alleph-zero$ 로 읽음)입니다.순서대로 정렬할 수 있는 집합의 다음 큰 카디널리티는 $\,\aleph _{1}\;,$ \ $displaystyle$ $,$ \ $aleph_1;$ $display$ 입니다 $\displaystyle \,\alph _{1}\;,$ .on. 이 방법으로 다음과 같이 $,\displaystyle,\$ $alph_{\$ alph $},\$ $alph_$ {\ $alph$ },에 대해 $\,\aleph _{\alpha }\,$ $\,\alpha \;,$ $\,\aleph _{\alpha }\,$ 를 정의할 수 있습니다.

그 개념과 표기법은 카디널리티의 개념을 정의하고 무한 집합이 다른 기수를 가질 수 있다는 것을 깨달은 게오르크 ^[5]칸토르에 기인한다.

알레프 수는 대수나 미적분학에서 흔히 볼 수 있는 무한대 $($ found \displaystyle $\,\infty$ $\,\infty \,$ )와는 다른 반면, 무한대는 일반적으로 실수선의 극한(무한으로 분산되거나 "무한하게 증가하는" 함수나 수열에 적용됨)으로 정의된다.또는 확장된 실수직선의 극한점으로 지정됩니다.

알레프노우트

$0$ 없음, $알레프$ 0 또는 $알레프$ 0 $)$ 은 모든 자연수 집합의 카디널리티이며 무한 기수이다. $ord$ { $}$ , $\,\omega \,$ \ $\,\omega _{0}\,$ 0 \ $displaystyle$ \ , \ $obega$ _ { 0 , $\,\omega _{0}\,$ } $\,\omega _{0}\,$ ( $여기서 {\$ { \ displaystyle \ , \ $obega$ \ )라고 $\,\omega \,$ 불리는 모든 유한 서수의 집합은 0 $\,\aleph _{0}\;.$ . $\,\aleph _{0}\;.$ \ $displaystyle$ \ , \ $ph$ \ $\,\aleph _{0}\;.$ 00 \ $\,\aleph _{0}\;.$ card card card . 0 . \ 。} 집합의 $\,\aleph _{0}\;.$ $\,\aleph _{0}\,$ 는 0(\ $displaystyle\alph_{$ 0 $\,\aleph _{0}\,$ 입니다. 즉, 집합과 자연수 사이에 바이젝션(1대1 대응)이 존재하는 경우입니다 $.$ 이러한 세트의 예는 다음과 같습니다.

모든 정수의 집합,
모든 제곱수의 집합이나 모든 소수들의 집합과 같은 정수의 무한 부분 집합
모든 유리수의 집합,
(기하학적 의미에서) 모든 구성 가능한 숫자의 집합,
모든 대수적 숫자의 집합,
모든 계산 가능한 숫자의 집합,
길이가 유한한 모든 이진 문자열의 집합
주어진 계산 가능한 무한 집합의 모든 유한 부분 집합 집합 집합.

$\,\omega \;,$ 서수: $\,\omega \;,$ , , $\,\omega \;,$ \ $display$ style , \ 、 \ $、$ $、$ \ $displaystyle$ , \ $\,\omega +1\;,$ $obmega$ + $1$ ; , } $\,\omega \,\cdot 2\,,\,$ 2, \ $displaystyle$ \ , \ $cdot$ 2, , , , , , $\,\omega ^{2}\,,$ $}$ $\,\omega ^{\omega }\,$ {\ $\,\omega ^{\omega }\,$ \ $displaystyle$ \ 、 \ 、 \ 、 \ 、 \ $displaystyle$ \ 、 \ 、 \ 、 \ 、 \ 、 \ 、 \ 、 \ 、 \ 、 \ 、 \ 、 \ $。$ 셀 수 있을 만큼 무한 집합을 ^[6]몽한다.예를 들어, 모든 양의 홀수 정수에 이어 모든 양의 짝수 정수가 이어지는 시퀀스(정규 $\,\omega \,\cdot 2\,$ $\,\omega \,\cdot 2\,$ ${\$ 2 \ $displaystyle$ \ 、 \ $obega$ \ \ $cdot$ 2, $\,\omega \,\cdot 2\,$ )는

{\displaystyle\,1,3,5,7,9,2,4,6,8,10,...\,\}\,}

는 정의 정수 세트 순서입니다( $\aleph _{0}$ 는 0 $(\$

셀 수 있는 선택 공리(선택 공리의 더 약한 버전)가 유지된다면, $\,\aleph _{0}\,$ $\,\aleph _{0}\,$ {\ $displaystyle$ \,\ $alph _{0}$ 은 $\,\aleph _{0}\,$ 다른 무한 기수보다 작습니다.

알레프원

$\,\aleph _{1}\,$ $1$ ({ $displaystyle},\alph$ _{1},}은 $\,\omega _{1}\,$ 는) $\,\omega _{1}\,$ $계산$ 가능한 서수 집합의 $카디널리티로,$ } 1({displaystyle $},\$ $omega_{$ 1}, 또는 $\,\aleph _{1}\,$ $\,\omega _{1}\,$ $때로는$ }.\ $displaystyle,\$ Omega \;}라고 $\,\aleph _{1}\,$ . $\,\Omega \;.$ $\,\omega _{1}\,$ $\,\omega _{1}\,$ 1 ( \ $displaystyle$ , \ $obega$ _ $\,\omega _{1}\,$ { $1}$ )는 $\,\omega _{1}\,$ 그 자체가 모든 셀 수 있는 수보다 큰 서수이므로 셀 수 없는 집합입니다. $\,\aleph _{1}\,$ § 1 $\,\aleph _{1}\,$ $displaystyle$ $)$ 은 § $\,\aleph _{0}\;.$ 0 $(\$ $)$ 과 구별됩니다 $.$ $\,\aleph _{1}\,$ $1의$ 는 (ZF에서는 선택 공리 없는 체르멜로-프랭켈 집합론에서) 0 $\,\aleph _{0}\,$ displaystyle $,\alph _0$ 과 $(\displaystyle$ $\,\aleph _{0}\,$ 에 기수가 없다는 것을 의미한다 $.$ 기수 클래스는 완전히 순서가 매겨져 있기 때문에, $\,\aleph _{1}\,$ $\,\aleph _{1}\,$ (\ $displaystyle,\alph _{$ 1},})은 $\,\aleph _{1}\,$ 두 번째 자리수의 무한 기수이다.선택 공리를 사용하면 } $\,\omega _{1}\,$ $\,\omega _{1}~:$ : $\,\omega _{1}~:$ \ $displaystyle$ \ \ $obega$ _ {1} ~ : $\,\omega _{1}~:$ } 1 $\,\omega _{1}~.$ \ $displaystyle$ $\,\omega _{1}~.$ \ , \ $obega$ $_$ $\,\omega _{1}~.$ {1} $\,\omega _{1}\,$ ~ $\,\omega _{1}~.$ （）의 $\,\omega _{1}~:$ 카운트가 $\,\omega _{1}\,$ 상한인 $\,\omega _{1}~:$ 의 가장 유용한 속성 $\,\omega _{1}~:$ 하나를 표시할 수 있습니다 $(이$ 는 유니언의 카운트가 무감각하다는 사실에 따라 $달라집니다).$ er는 셀 수 있는 집합 자체로서 선택 공리의 가장 일반적인 응용 프로그램 중 하나입니다.)이 사실은 § $displaystyle),\alph$ _ ${0}\;}$ 의 상황과 유사하다: 모든 유한 자연수 집합은 최대값을 가지며, 또한 자연수이며 유한 집합의 유한 결합은 유한하다.

$\,\omega _{1}~$ $1$ (\displaystyle $\,\obega_{$ 1}~)은 $\,\omega _{1}~$ 다소 이국적이긴 하지만 실제로 유용한 $\,\omega _{1}~$ 입니다.어플리케이션의 예로는 카운트 가능 연산에 관해 "닫기"가 있습니다.예를 들어 임의의 서브셋 집합에서 생성된 θ-대수를 명시적으로 기술하려고 합니다(예: 참조).보렐 계층).이는 대수(벡터 공간, 군 등)에서 "세대"에 대한 가장 명확한 설명보다 어렵다. 왜냐하면 그러한 경우 우리는 유한 연산(합계, 곱 등)에 관해서만 닫으면 되기 때문이다.이 과정에는 각 계수 서수에 대해 가능한 모든 계수 가능 결합과 보완을 "삽입"하여 집합을 정의하고, § $.\displaystyle,\obega$ _ ${1}~}$ $\,\omega _{1}~.$ 에 대해 모든 계수 가능 결합을 취한다.

연속체 가설

실수의 집합의 카디널리티(연속체의 카디널리티)는 $\,2^{\aleph _{0}}~.$ $\,2^{\aleph _{0}}~.$ 0이다 $.$ ({ $displaystyle\,2^{\alph_$ {0 $}}~}).$ 이 $\,2^{\aleph _{0}}~.$ 숫자가 알레프 수 계층에 정확히 맞는 ZFC (선택 공리로 증강된 Zermelo-Frankel 집합 이론)에서는 결정될 수 없지만, 연속체의 저비례는 ZFCHe이다.여동생 CH는 아이덴티티에 해당합니다.

2^{\alph _{0}}=\alph _{1}.

^[7]

CH는 정수값과 ^[8]실수값 사이의 카디널리티는 엄밀하게 설정되어 있지 않음을 나타냅니다.CH는 ZFC와 독립적입니다. 즉, 이 공리 시스템의 컨텍스트 내에서 증명되거나 반증될 수 없습니다(ZFC가 일관성이 있는 경우).CH가 ZFC와 일치한다는 것은 1940년 Kurt Gödel에 의해 증명되었습니다.그때 그는 CH의 부정이 ZFC의 정리가 아니라는 것을 증명했습니다.폴 코헨은 1963년 ZFC와 무관하다는 것을 증명했고, 그 때 CH 자체가 ZFC의 정리가 아니라는 것을 (당시 신관)^[7] 강제 방법에 의해 증명했다.

알레프 오메가

알레프 오메가란

\displaystyle \alph _{\alph _{,\alph _{n}:n\in \omega \}=\sup,\{,\alph _{,0,1,2,\alph _{n}\in \left,\right\},\}~}

여기서 가장 작은 무한 서수는 $θ$ 로 표시됩니다.즉, 기수 $displaystyle},\alph _{\$ obega $\,\aleph _{\omega }\,$ },})는 $\,\aleph _{\omega }\,$ 다음 중 최소 상한입니다.

\displaystyle \left \{,\alph _{,0,1,2,\display\right\},\right\}~.}의 \displaystyle \left\{,0,1,2,\alph\n\in\left\right\}~.}.

$ℵ$ { displaystyle = n , \ $aleph$ _ { \ $obega$ } $\,2^{\aleph _{0}}=\aleph _{n}~,$ 、 Zermelo - Fraenkel 집합 이론 내에서 모든 실수의 집합의 카디널리티와 동일하지 않음을 증명할 수 있는 최초의 셀 수 없는 기수이다. 임의의 양의 정수 n에 대해 우리는 $\,2^{\aleph _{0}}=\aleph _{n}~,$ 되게 $\,2^{\aleph _{0}}=\aleph _{n}~,$ 0 $\,2^{\aleph _{0}}=\aleph _{n}~,$ $=$ n, \ display $style$ = 2 ^ { $ph$ } } } {ph } {p} } { $ph$ } { } { } } {p} {p} { } } } {p} { } { } { } $leph$ _ ${n}~,},$ 게다가 $\,2^{\aleph _{0}}=\aleph _{n}~,$ 2 $\,2^{\aleph _{0}}\,$ 0 (\ $displaystyle$ \, $2^{\alph$ _ ${0}})$ 이 $\,2^{\aleph _{0}}\,$ 원하는 만큼 크다고 $\,2^{\aleph _{0}}\,$ 할 수 있습니다.우리는 단지 $,$ 0 , \ $displaystyle$ , \ $alph$ _ {0 $}$ ~ , $\,\aleph _{0}\,$ 0 , \ alph _ {0 $\,\aleph _{0}\,$ } ~ , $\,\aleph _{0}\,$ 0 $\,\aleph _{0}\,$ 0 0 0 （ \ displaystyle , \ $alph$ _ { $0}$ ） it it it it it it it it it it it it from it it it 0 0 0 0 from from 0 0 0 from from from from from from from 0 0 0 0 0 0 from 0 0

일반α용 알레프α

임의의 $,\displaystyle$ $,\alph_{\alph$ }에 $\,\aleph _{\alpha }\,$ $\,\alpha ~,$ 대해 $\,\aleph _{\alpha }\,$ displaystyle $,\alph,)$ 를 $\,\rho \,$ 정의하려면 다음 순서로 정렬된 기수 $\,\rho ^{+}\,$ $displaystyle,\rho$ $\,\rho \,$ $^+,$ i(\displaystyle $,\$ alph)선택 공리가 유지되면, 이것은 다음으로 큰 기수이다.)

그런 다음 알레프 번호를 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

\alph _{0}=\mega

\alph _{\alph +1}=\alph _{\alph }^{+}~}

그리고 무한 한계 서수인 $θ는$

\alph _{\displayda }=\bigcup _{\displayda }\alph _{\displayda }~.

α번째 무한서수에는 $\omega _{\alpha }$ {\ $displaystyle \obega$ _ ${\alph$ 그 카디널리티에는 $.\displaystyle _{\alph }~.$ 로 $\,\aleph _{\alpha }~.$ 표기되어 있습니다.ZFC에서 알레프 함수 $\,\aleph \,$ {\^[9] $displaystyle \,\alph$ }는 $\,\aleph \,$ 서수에서 무한서수까지의 분사입니다.

오메가 고정점

임의의 서수α에 대하여 우리는

\displaystyle \leq \omega _{\alpha }~.}

대부분의 경우 $(\$ 는 $\omega _{\alpha }$ α보다 $크다$ .예를 들어, 모든 후속 서수α에 대해 이 값이 유지됩니다.그러나 정상 함수에 대한 고정점 보조법 때문에 오메가 함수의 고정점인 일부 제한 서수가 있다.첫 번째는 수열의 한계입니다.

\displaystyle \obega,\obega _{\obega },\obega _{\obega },\ldots ~.}

약하게 접근할 수 없는 기수는 알레프 ^[10]함수의 고정점이기도 합니다.이는 ZFC에서 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. $\,\kappa =\aleph _{\lambda }\,$ = $\,\kappa =\aleph _{\lambda }\,$ （\ $displaystyle \,\kappa$ =\ $alph$ _{\ $alph },}$ 가 $\,\kappa =\aleph _{\lambda }\,$ 약하게 접근할 수 없는 기수라고 가정합니다. $\,\aleph _{\lambda }\,$ $【{displaystyle$ \ $lambda}$ 가 $\lambda$ $\,\aleph _{\lambda }\,$ 서수라면 $displaystyle\alph_{\lambda}}$ 는 $\,\aleph _{\lambda }\,$ 후계 추기경이 되므로 약하게 접근할 수 없습니다. $\,\lambda \,$ $【\$ 가 $\,\lambda \,$ $【【【\displaystyle】,【\$ $kappa$ $】$ 보다 $\,\kappa ~,$ 작은 한계 서수라면, 그 공결성(< $displaystyle \alph$ _ ${\lambda$ 은 $【{\$ $\,\kappa \,$ }, $】$ 보다 $\,\kappa \,$ 작을 $것$ 입니다.（ \ $kappa ）$ 따라서 약하게 접근할 수 없습니다. $따라서$ = $\,\lambda \geq \kappa \,$ $\,\lambda =\kappa \,$ $=$ = = \ $displaystyle$ =\ $kappa$ $\,\lambda \geq \kappa \,$ $}$ 는 $\,\lambda \geq \kappa \,$ $\,\lambda =\kappa \,$ 고정점이 됩니다.

선택 공리의 역할

임의의 무한 서수의 카디널리티는 알레프수입니다.모든 알레프는 어떤 서수의 카디널리티이다.이것들 중 가장 작은 것은 그것의 첫 번째 순서수이다.카디널리티가 알레프인 집합은 서수와 등치이므로 순서가 잘 매겨진다.

각 유한 집합은 순서가 잘 매겨지지만 카디널리티로서의 알레프는 없습니다.

각 무한 집합의 카디널리티가 알레프 수라는 가정은 ZF를 통해 모든 집합의 순서의 존재와 동등하며, 이는 다시 선택 공리와 동등하다.선택 공리를 포함하는 ZFC 집합론은 모든 무한 집합이 그 카디널리티로서 알레프 수를 가지고 있다는 것을 암시한다(즉, 초기 서수와 등치). 따라서 알레프 숫자의 초기 서수는 가능한 모든 무한 기수의 대표 클래스로 기능한다.

선택 공리 없이 ZF에서 카디널리티를 연구할 때, 각 무한 집합이 카디널리티로서 알레프 수를 갖는다는 것을 증명하는 것은 더 이상 가능하지 않습니다. 카디널리티가 알레프 숫자인 집합은 정확히 정렬할 수 있는 무한 집합입니다.스콧의 속임수 방법은 때때로 ZF 설정에서 기수의 대표자를 구성하는 대체 방법으로 사용됩니다.예를 들어 카드 $(S)$ 는 가능한 최소 등급의 S와 $동일$ 한 카디널리티를 가진 세트 세트라고 $정의$ 할 수 있다.이것은 $S$ 와 T의 카디널리티가 동일한 $경우$ 에만 card $(S)$ = card( $T)$ 의 $속성$ 을 가집니다.( $세트$ 카드 $(S)$ 는 $일반적$ 으로 S와 같은 카디널리티를 가지고 있지 않지만, 그 모든 요소가 가지고 있습니다).

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ 오래된 수학책에서 알레프라는 글자는 종종 실수로 거꾸로 인쇄된다. 예를 들어 시에르핀스키(1958)^[3]^{: 402}에서는 알레프라는 글자가 올바른 위아래로 나타나는데, 이는 부분적으로 알레프의 모노타입 매트릭스가 ^[4]잘못 구성되어 있기 때문이다.

인용문

^ "Aleph". Encyclopedia of Mathematics.
^ Weisstein, Eric W. "Aleph". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-12.
^ Sierpiński, Wacław (1958). Cardinal and Ordinal Numbers. Polska Akademia Nauk Monografie Matematyczne. Vol. 34. Warsaw, PL: Państwowe Wydawnictwo Naukowe. MR 0095787.
^ Swanson, Ellen; O'Sean, Arlene Ann; Schleyer, Antoinette Tingley (1999) [1979]. Mathematics into type: Copy editing and proofreading of mathematics for editorial assistants and authors (updated ed.). Providence, RI: American Mathematical Society. p. 16. ISBN 0-8218-0053-1. MR 0553111.
^ 밀러, 제프."집합론과 논리의 기호에 대한 가장 이른 용도".jeff560.tripod.com..;Dauben을 인용해 2016-05-05 Retrieved, 조셉 워렌(1990년).게오르그 칸토어:그의 수학이고 무한이라는 철학이다.아이 에스비엔 9780691024479.그의 새로운 주민 번호. 뭔가 특이한 만한...새로운 상징을 발명하고 싶지 않아서 그는 aleph, 히브리어 알파벳의 첫번째 편지"..."을 골랐다.그 aleph 새로운 시작을 나타낼 때 들 수 있다면
^ Jech, Thomas (2003). Set Theory. Springer Monographs in Mathematics. Berlin, New York: Springer-Verlag.
^ ^a ^b Szudzik, Mattew (31 July 2018). "Continuum Hypothesis". Wolfram Mathworld. Wolfram Web Resources. Retrieved 15 August 2018.
^ Weisstein, Eric W. "Continuum Hypothesis". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-12.
^ 플래닛매스사의 알레프 번호.
^ Harris, Kenneth A. (April 6, 2009). "Lecture 31" (PDF). Department of Mathematics. kaharris.org. Intro to Set Theory. University of Michigan. Math 582. Archived from the original (PDF) on March 4, 2016. Retrieved September 1, 2012.

외부 링크

"Aleph-zero", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. "Aleph-0". MathWorld.

[5] 오래된 수학책에서 알레프라는 글자는 종종 실수로 거꾸로 인쇄된다. 예를 들어 시에르핀스키(1958)^[3]^{: 402}에서는 알레프라는 글자가 올바른 위아래로 나타나는데, 이는 부분적으로 알레프의 모노타입 매트릭스가 ^[4]잘못 구성되어 있기 때문이다.

[1] "Aleph". Encyclopedia of Mathematics.

[2] Weisstein, Eric W. "Aleph". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-12.

[Sierpiński-1958-3] Sierpiński, Wacław (1958). Cardinal and Ordinal Numbers. Polska Akademia Nauk Monografie Matematyczne. Vol. 34. Warsaw, PL: Państwowe Wydawnictwo Naukowe. MR 0095787.

[4] Swanson, Ellen; O'Sean, Arlene Ann; Schleyer, Antoinette Tingley (1999) [1979]. Mathematics into type: Copy editing and proofreading of mathematics for editorial assistants and authors (updated ed.). Providence, RI: American Mathematical Society. p. 16. ISBN 0-8218-0053-1. MR 0553111.

[6] 밀러, 제프."집합론과 논리의 기호에 대한 가장 이른 용도".jeff560.tripod.com..;Dauben을 인용해 2016-05-05 Retrieved, 조셉 워렌(1990년).게오르그 칸토어:그의 수학이고 무한이라는 철학이다.아이 에스비엔 9780691024479.그의 새로운 주민 번호. 뭔가 특이한 만한...새로운 상징을 발명하고 싶지 않아서 그는 aleph, 히브리어 알파벳의 첫번째 편지"..."을 골랐다.그 aleph 새로운 시작을 나타낼 때 들 수 있다면

[7] Jech, Thomas (2003). Set Theory. Springer Monographs in Mathematics. Berlin, New York: Springer-Verlag.

[WolframCH-8] Szudzik, Mattew (31 July 2018). "Continuum Hypothesis". Wolfram Mathworld. Wolfram Web Resources. Retrieved 15 August 2018.

[9] Weisstein, Eric W. "Continuum Hypothesis". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-12.

[10] 플래닛매스사의 알레프 번호.

[Harris-2009-04-06-Math-582-11] Harris, Kenneth A. (April 6, 2009). "Lecture 31" (PDF). Department of Mathematics. kaharris.org. Intro to Set Theory. University of Michigan. Math 582. Archived from the original (PDF) on March 4, 2016. Retrieved September 1, 2012.

[1]

[2]

[a]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[3]

[4]

Search

알레프 수

네임스페이스

더

목차

알레프노우트

알레프원

연속체 가설

알레프 오메가

일반α용 알레프α

오메가 고정점

선택 공리의 역할

「」를 참조해 주세요.

메모들

인용문

외부 링크

Search

알레프 수

알레프노우트

알레프원

연속체 가설

알레프 오메가

일반α용 알레프α

오메가 고정점

선택 공리의 역할

「 」를 참조해 주세요.

메모들

인용문

외부 링크

「」를 참조해 주세요.