정상 기능을 위한 고정점 보조정리

정상기능에 대한 고정점 보조정리란 어떤 정상기능이 임의로 큰 고정점을 가지고 있다는 자명 세트이론의 기본적인 결과물이다(Levy 1979: 페이지 117).그것은 1908년 오스왈드 베블렌에 의해 처음 증명되었다.

배경 및 공식 성명

정상 함수는 다음과 같은 등급 순서 번호의 Order에서$$ 자체로 클래스 $함수{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$이다.

• ${\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은(는) 증가하고 있다$$ f()< (){\$displaystyle f(\property$ ){\$displaystyle \property <\property$
• ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$은(는) 연속적이다. 모든 제한에 대해, $【\displaystyle \lambda }($$예{\displaystyle }$: $【\$$displaystyle$ $\lambda }$은는) 0도 아니고 후속도 아니다$$( 것 $($은 =${f(는$ 것$)\displaysty <\da$

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 정상일$$ $경우{\displaystyle }$ f$${\$displaystyle$f}이(가) 슈프리마와 통한다는$$ 것을 알 수 있다. 비빈 세트 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 경우,

${\displaystyle f}$( ${\displaystyle suppA}$) = ${\displaystyle \mathrm{supp}}$f (${\displaystyle }$A${\displaystyle }$) = ${\displaystyle supp}${${\displaystyle f}$ (${\displaystyle \alpha }$) : ${\displaystyle \alpha }$ α ${\displaystyle \alpha }$ α α style ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle$ f$(\supp A)=\supp f(A)=\f(\alpha \}):\alpha$

실제로, ${\displaystyle \mathrm{supp}}$ A$${\$displaystyle \supp$A}이$$(가) 후속 서수일 경우, ${\displaystyle \mathrm{supp}}$$$A {\$displaystyle$$\sup$$$$A$}의 $요소$가 되고, 동등성은 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 증가 속성에서 나타난다$.$ ${\displaystyle supp}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystystylement \sup \$sup A}이$$ 제한 서수프 A}인 경우, 연속 p에서 동등성은 다음과 같다.$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 로퍼티$.$

정상 함수의 고정 지점은 순서형$\beta {\displaystyle }$ {\$displaystyle \beta }$이며, $f{\displaystyle }$(${\displaystyle \beta }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle f(\beta )=\beta }$이다$.$

The fixed point lemma states that the class of fixed points of any normal function is nonempty and in fact is unbounded: given any ordinal ${\displaystyle \alpha }$, there exists an ordinal ${\displaystyle \beta }$ such that ${\displaystyle \beta \geq \alpha }$ and ${\displaystyle f(\beta )=\beta }$.

정상함수의 연속성은 고정점 등급이 폐쇄됨을 의미한다(고정점 등급의 어떤 부분집합의 우월성은 다시 고정점이다).따라서 고정점 보조마사는 정상 기능의 고정점이 폐쇄적이고 무한의 클래스를 형성한다는 문구와 동등하다.

증명

증명의 첫 번째 단계는 모든 서수 $\gamma$에${\displaystyle }대해{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle }$≥ ) ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle \gamma }$ $\$ {\$displaystyle$f(\$gamma$$$)\$geq \gamma }}$이$($가) 슈프리마와 통용되는지$$, $그리고$ f ${\displaystyle f}$이 결과를 보면, 귀납적으로 ⟨α n⟩ n<>ω{\displaystyle \langle \alpha_{n}\rangle _{n<, \omega}}0α{\displaystyle \alpha_{0}=\alpha}α을 설정하여,α n+1)n∈ ω{\displaystylen\in \omega의 F, f.({\displaystyle \alpha_{n+1}(\alpha_{n})}증가하는 순서를 정한다.}.= > ${\$ 따라서 $\beta {\displaystyle }$ α${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta \geq \alpha$ $\}\}.$ 게다가 f$}$는 supremepremeprocommermeprocommerma$$,

${\displaystyle f(\displaystyle f(\cHB )=f(\sup _{n<\omega }\reason _{n}})}$

${\displaystyle \qquad =\sup _{n<\omega }f(\reason _{n})}$

${\displaystyle \qquad =\sup _{n<\omega}\reason _{n+1}$

$\displaystyle \qquad =\cHB }$

마지막 평등은${\displaystyle {\alpha n}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_n}$ ${\$ \langle $\alpha _{n}\angle _{n}}$의 순서가 증가한다는$$ 사실에서 따르게 된다.${\displaystyle \square }$

이와는 별도로, 이러한 방식으로 발견된$$ $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$이(가) $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$보다 크거나 같은 가장 작은 고정점임을 증명할 수 있다$.$

적용 예

f : Ord → Ord, f(α) = Ω_α 함수는 정상이다(초기 서수 참조).따라서 θ = Ω과_θ 같은 서수 θ이 존재한다. 실제로 보조마사는 그러한 θ의 폐쇄적이고 한없는 등급이 있음을 보여준다.

참조

• Levy, A. (1979). Basic Set Theory. Springer. ISBN 978-0-387-08417-6. Republished, Dover, 2002.
• Veblen, O. (1908). "Continuous increasing functions of finite and transfinite ordinals". Trans. Amer. Math. Soc. 9 (3): 280–292. doi:10.2307/1988605. ISSN 0002-9947. JSTOR 1988605. Available via JSTOR.