기멜 함수

자칭 집합 이론에서 기멜 함수는 추기경 숫자에 대한 추기경 숫자를 매핑하는 다음과 같은 함수다.

${\displaystyle \cfel \cappa \mapsto \kappa ^{\mathrm {cf}(\kappa )}}}}$

여기서 cf는 공완성 함수를 나타낸다. 기멜 함수는 연속성 함수와 기본 지수 함수를 연구하기 위해 사용된다. 기호 $\gimel {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gimel}$은 히브리 문자 기멜의 세리프 형식이다.

기멜 함수의 값

기멜 함수는 쾨니히의 정리에 의해 모든 무한 추기경들에 대한 속성 ℷ ()> { ${\displaystyle \gimel (\kappa$ ) $)\kappa }$을 가지고 있다.

정규 추기경 κ${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\$${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ $\kappa$ $\}\},$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle }$)${\displaystyle }$) = ${\displaystyle 2^{}}$ ${$ {\$displaystyle \gimel$(\$kappa$)=$2^{\kappa$ $\}\}\}\}\}\}\}\}\}$의 경우 이스턴의 정리에는 이 함수의 값에 대해 잘 알지 못한다고 되어 있다. 단수 κ ${\displaystyle \kappa }$의 경우,$$$\gimel {\displaystyle }$ (${\displaystyle \kappa }$ ) ${\displaystyle \gimel (\kappa )}$의 상한을 쉘라의 PCF 이론에서 찾을 수 있다$$.

기멜 가설

기멜 가설은 ${\displaystyle \gimel }$ (${\displaystyle )}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$( 2 ${\displaystyle {\text{cf}}^{}}$ (${\displaystyle {\kappa }^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle {}^{}}$+${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle \gimel (\kappa )=\max(2^{\text{cf}}}}},\kappa ^{+}}}$라고 명시되어 있다$.$ 본질적으로 이것은 단수 ${\displaystyle$ $\gimel (\kappa$ )}에$$ 대한 }${\displaystyle }$( $for{\displaystyle }$ ){\$displaystyle$ $\kappa$ }}이(가) Zermelo-Fraenkel set 이론의 공리에서 허용되는 최소값(일치)이라는$$ 것을 의미한다.

이 가설에서는 연속 가설(기밀 가설을 내포함)의 정도는 아니지만, 기본 지수를 단순화한다.

지멘션 함수를 기멜 함수로 축소

부콥스키(1965)는 기말함수에 의해 (재발적으로) 모든 추기경 지도가 다음과 같이 결정된다는 것을 보여주었다.

• $\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$이(가) 무한정 정기 추기경(특히 무한 후계자라면) $2{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\kappa }^{}}$= ${\displaystyle \gimel }$ ${\displaystyle (\kappa }$)${\displaystyle$ 2$^{\kappa }=\gimel (\kappa )}$
• ${\displaystyle \kappa }}$이(가) 무한하고 단수이고 결국 연속함수가 $\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$보다 낮으면 = $<\$ 2$^{\cappa }}}}}}}}$
• $\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$이(가$)$ 한계이고$$ 연속 함수가 결국 $\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$보다 일정하지 않으면 = $2<\displaystyle$ \$cappa$ }}

나머지 규칙은 $\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$ 및 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$이(가) 모두 무한정일 때마다 유지됨$$:

• 만약 ℵ₀ ≤ ≤이면 κ^λλ = 2
• 일부 <<의 경우 ≥ = μ^λλ
• 만약 >과 < 모든 < 및 cf(κ)> ≤이라면 κ^λ = κ^cf(κ)
• 만약 >과 < 모든 < 및 cf(cf) > for이라면 κ^λ = κ

참고 항목

• 알레프 수
• 베스 수

참조

• Bukovský, L. (1965), "The continuum problem and powers of alephs", Comment. Math. Univ. Carolinae, 6: 181–197, hdl:10338.dmlcz/105009, MR 0183649
• Jech, Thomas J. (1973), "Properties of the gimel function and a classification of singular cardinals" (PDF), Fund. Math., Collection of articles dedicated to Andrzej Mostowski on the occasion of his sixtieth birthday, I., 81 (1): 57–64, doi:10.4064/fm-81-1-57-64, MR 0389593
• 토마스 제흐, 세트 이론, 2003년 제3천년기 에드, 스프링거 수학에서의 스프링거 모노그래프, ISBN 3-540-44085-2.