이스턴의 정리

세트 이론에서, 이스턴의 정리는 가능한 파워셋의 기본적인 숫자에 대한 결과물이다.이스턴(1970년) (로버트 M의 결과 연장). Solovay)는 κ이 정규 추기경일 때 2의^κ 허용 값에 대한 유일한 제약조건이 다음과 같음을 강제함으로써 보여주었다.

${\displaystyle \kappa <\cfname {cf}(2^{\kappa })}$

(여기서 cf(α)는 α의 공완성이다)

${\displaystyle {\text{{}}\cappa <\text{\data{\text{{}}:{2}}^{\cappa }}\leq 2^{\lexda }}}}$

성명서

G가 도메인에서 서수로 구성되고 범위가 다음과 같은 서수로 구성되는 클래스 함수인 경우

1. G는 감소하지 않고,
2. $\aleph {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$(${\displaystyle {\alpha }_{}}$) ${\$의 공완성은 G 영역의 각 α에$$ 대해 ${\displaystyle {\alpha }_{}}${\$displaystyle \aleph _{\alpha }}$보다 크며$$,
3. ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$은(는) G 영역의 각 α에 대해 정규적이다$$.

그런 다음 ZFC의 모델이 있다.

${\displaystyle 2^{\aleph _{\aleph _}}=\aleph _{G(\alpha )}}$

G 도메인의 각$$ $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$에 대해.

이스턴의 정리에 대한 증명은 일반화된 연속체 가설을 만족시키는 모델에 대해 적절한 등급의 강제 조건을 가진 강제력을 사용한다.

정리의 처음 두 가지 조건이 필요하다.조건 1은 카디널리티의 잘 알려진 속성인 반면 조건 2는 쾨니히의 정리로부터 따르게 된다.

이스턴의 모델에서 단수 추기경의 파워셋은 2가^κ κ보다 공선성이 크고 κ의 비감소함수인 조건과 호환되는 가능한 가장 작은 카디널리티를 가진다.

단수 추기경에게 연장 불가

실버(1975)는 일반화된 연속체 가설이 실패하는 가장 작은 추기경이 될 수 없다는 것을 증명했다.이는 이스턴의 정리가 모든 추기경의 등급으로 확대될 수 없음을 보여준다.PCF 이론의 프로그램은 단수 $추기경들$에 대한$$ 2 ${\$$displaystyle$ 2$^{\$$lambda }}$의 가능한 값에 대한 결과를 제공한다$.$ PCF 이론은 단수 추기경들에 대한 연속함수의 값이 작은 추기경들에 대한 가치에 의해 강하게 영향을 받는 반면, 이스턴의 정리에서는 다음과 같은 결과를 보여준다.e 일반 추기경들에 대한 연속 함수의 값은 작은 추기경들에 대한 가치에 의해 약하게만 영향을 받는다.

참고 항목

• 단수기상 가설
• 알레프 수
• 베스 수

참조

• Easton, W. (1970), "Powers of regular cardinals", Ann. Math. Logic, 1 (2): 139–178, doi:10.1016/0003-4843(70)90012-4
• Silver, Jack (1975), "On the singular cardinals problem", Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Vancouver, B. C., 1974), vol. 1, Montreal, Que.: Canad. Math. Congress, pp. 265–268, MR 0429564