후임 추기경

집합이론에서는 서수번호에 대한 후속작전과 유사한 방식으로 추기경 숫자에 대한 후속작전을 정의할 수 있다.추기경 후계자는 유한 추기경의 서수 후계자와 일치하지만, 무한의 경우 모든 무한 서수자와 그 후계자는 카디널리티가 같기 때문에(후계자의 마지막 원소를 0, 0~1 등으로 보내기만 하면 두 사람 사이에 편향(bijection)과 위의 모든 원소를 고정할 수 있다.; Hilbert's Hotel Infinity의 스타일로).폰 노이만 추기경 배정과 선택 공리(AC)를 사용하여 이 후계자 작전은 정의하기 쉽다: 추기경 숫자 κ에 대해 우리는 가지고 있다.

+= { :: } }\ } }\$displaystyle \kappa ^{+}=\좌$ $\inf$\inf$\{\lambda \in$\\$matrmatrm {ON} \\\\capa <\좌 \lambda$\rig \$rig$ \right $\right \}\}}}},$

여기서 ON은 서수 등급이다.즉, 후임 추기경은 주어진 카디널리티 세트를 일대일로 매핑할 수 있지만 다시 그 세트로 매핑할 수는 없는 최소 서수의 카디널리티다.

위의 집합이 비어 있지 않다는 것은 하토그스의 정리로부터 따온 것인데, 하토그스는 잘 정돈된 추기경에게는 더 큰 그러한 추기경이 구성될 수 있다고 말한다.서수들의 순서가 잘 되어 있기 때문에 최소가 실제로 존재한다.따라서 κ과 κ⁺ 사이에 기수가 없는 것은 즉시이다.후임 추기경은 일부 추기경에게 κ인⁺ 추기경이다.무한대의 경우, 후계자 작전은 많은 수의 서수들을 생략한다; 사실 모든 무한 추기경은 한계 서수다.따라서 추기경들에 대한 후계작전은 무한경우(상대적 서수 승계작업)에서 많은 힘을 얻으며, 결과적으로 추기경 수는 서수들의 매우 "sparse" 하위급이다.이 연산을 통해 (대체 공리를 통해) 알레프 순서를 정의하며, 모든 서수 번호를 통해 다음과 같이 정의한다.

$\displaystyle \aleph _{0}=\omega }$

${\displaystyle \aleph _{\put +1}=\aleph _{\put }^{+}}}}}}$

그리고 무한 한계 서수인 λ의 경우,

$\displaystyle \aleph _{\putda }=\bigcupp _{\bigcup _{\property }}{\put }}}}}$

β가 후계 서수라면, $\beta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\beta }_{}}${\$displaystyle \aleph _{\beta }}$이 후계 추기경이다$$.후임 추기경이 아닌 추기경들을 한계 추기경이라고 하는데, 위의 정의에 따르면 ${\displaystyle {\lambda }_{}}$가 한계 서수라면 ord${\$는 한계 추기경이다$$.

위의 표준 정의는 추기경이 잘 정돈될 수 있는 경우, 즉 유한하거나 알레프일 경우로 제한된다.선택의 공리가 없으면 질서 정연할 수 없는 추기경들이 있다.일부 수학자들은 그러한 추기경의 후계자를 주어진 카디널리티의 집합에 일대일로 매핑할 수 없는 최소 서수의 카디널리티로 정의했다.즉,

$\displaystyle \kappa ^{+}= \inf\{\\lambda \in \mathrm {ON} \ :\ \lambda \nleq \kappa \}}}$

하토그 수인 κ이다.

참고 항목

• 추기경 임무

참조

• 폴 할모스, 순진무구한 집합론.프린스턴, NJ: D.밴 노스트랜드 컴퍼니, 1960년1974년 뉴욕의 Springer-Verlag에 의해 재인쇄되었다. ISBN0-387-90092-6(Springer-Verlag 에디션).
• 제치, 토마스, 2003년이론 설정: 수정 및 확장된 제3의 밀레니엄 에디션.스프링거.ISBN 3-540-44085-2.
• 쿠넨, 케네스, 1980년세트 이론: 독립 증명서에 대한 소개.엘시비어.ISBN 0-444-86839-9