코피날리티

수학에서 특히 순서 이론에서 부분 순서가 정해진 A 집합의 공선성 cf(A)는 A의 공동 최종 하위 집합의 최소 기준이다.

이러한 공칭성의 정의는 모든 비빈 기수 집합이 최소 구성원을 가지고 있다는 사실을 사용하기 때문에 선택의 공리에 의존한다.부분적으로 순서가 지정된 집합 A의 공완성은 x에서 A까지의 함수가 공동 최종 이미지와 함께 존재하도록 대안적으로 최소 서수 x로 정의할 수 있다.이 두 번째 정의는 선택의 공리 없이 타당하다.만약 이 글의 나머지 부분에서도 그렇듯이 선택 공리가 가정된다면, 두 정의는 동등하다.

공완성은 지시된 집합에 대해 유사하게 정의될 수 있으며, 그물에서 반복성의 개념을 일반화하는 데 사용된다.

예

• 가장 큰 원소를 가진 부분 순서의 집합의 공완성은 가장 큰 원소로만 구성된 집합이 공동최종이기 때문에 1이다(다른 모든 공동최종 하위 집합에 포함되어야 한다).
  • 특히, 0이 아닌 유한 서수형 또는 실제로 유한 지시 세트의 공완성은 1이다. 그러한 집합이 가장 큰 요소를 가지기 때문이다.
• 부분적으로 정렬된 집합의 모든 공동 최종 하위 집합은 해당 집합의 모든 최대 요소를 포함해야 한다.따라서 유한 부분 순서의 집합의 공완성은 최대 원소의 수와 같다.
  • 특히 A를 n 크기의 집합으로 하고, m 원소 이하를 포함하는 A의 하위 집합 집합을 고려한다.이것은 포함 상태에서 부분적으로 주문되며 m 요소가 포함된 하위 집합은 최대값이다.따라서 이 포셋의 공동 마무리성은 n 선택 m이다.
• 자연수 N의 부분집합은 무한인 경우에만 N에서 공동결렬하며, 따라서 ℵ의₀ 공완성은₀ is이다.따라서 ℵ은₀ 정규 추기경이다.
• N은 R에서 공동최종이기 때문에, 실제 숫자와 통상적인 순서의 동일성은 ℵ이다₀.R의 통상적인 순서는 실수의 카디널리티인 c에 이형질서를 주문하는 것이 아니며, 공칭성은 co보다₀ 엄격히 크다.이것은 공정이 순서에 따라 결정된다는 것을 보여준다; 같은 집합의 다른 순서는 공정이 다를 수 있다.

특성.

만약 A가 완전히 주문된 공동 최종 부분집합을 승인한다면, 우리는 A에서 잘 정렬되고 일치된 부분집합 B를 찾을 수 있다.B의 어떤 부분집합도 순서가 잘 되어 있다.B의 최소한의 기수(B의 일과 관계된 그들의 카디널리티는 cofinality)를 가진 두명의cofinal 하위 집합일 필요는 없다 순서 동형(예를 들어 만약 B)ω+ω{\displaystyle B=\omega +\omega}모두 ω+ω{\omega +\omega\displaystyle}과{ω+n:n<>ω}{\displaystyle\와 같이{\omega +n:n<, \omega)}}을 바라보로 하위 집합의 B.가지고 있B의 동일성에 대한 계산 가능한 카디널리티는 이형질서가 아니다.)그러나 최소 주문 유형을 가진 B의 공동 최종 하위 집합은 이형 주문이 될 것이다.

서수 및 기타 잘 정렬된 집합의 공동 완성도

서수 α의 공완성은 α의 공동최종 부분집합의 순서형식인 최소 서수 Δ이다.서수 집합 또는 기타 잘 정렬된 집합의 공완성은 해당 집합의 주문 유형의 공완성이다.

따라서 한계 서수 α의 경우, 한계 α와 함께 Δ-index가 엄격히 증가하는 시퀀스가 존재한다.예를 들어, Ω²의 공완성은 Ω이다. 왜냐하면 시퀀스 Ω·m(m이 자연수를 초과하는 경우)은 Ω²의 경향이 있기 때문이다. 그러나, 일반적으로, 모든 카운트 가능한 한계 서수에는 공완성이 Ω이다.탑재할 수 없는 한계 서수는 Ω처럼_ω 공완성 Ω 또는 탑재할 수 없는 공완성을 가질 수 있다.

0의 동일성은 0이다.어떤 후계 서수의 공동 최종성은 1이다.0이 아닌 한계 서수의 공완성은 무한정 정규 추기경이다.

정규 및 단수

정규 서수란 그 동일성과 동일한 서수를 말한다.단수형이란 규칙적이지 않은 서수를 말한다.

모든 규칙적인 서수는 추기경의 초기 서수다.정규 서수의 한계는 초기 서수의 한도가므로 초기 서수의 한도가 되기도 하지만 정규 서수가 될 필요는 없다.선택 공리를 가정하면 $\Omega {\displaystyle {}_{\alpha }}$ + ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$1}은$($는) 각 α에 대해 정규적이다$$.이 경우 서수 0, 1, $,$${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$$$$_{1},$${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$$omega{\displaystyle {}_{}}$ $_{1$$}},$ Ω 2 {\displaystyle $\omega _{\omega$}},$$Ω은_ω·2 정규식이$$ 아닌 초기 서수이다.

임의의 서수 α의 공완성은 정규 서수형이다. 즉, α의 공완성 공완성은 α의 공완성과 동일하다.그래서 공완성 수술은 단발성이야.

추기경 공칭

만약 κ이 무한한 추기경 숫자라면 cf(cf)에서 κ까지의 무한 기능이 있을 정도로 cf(cf)가 가장 덜 추기경이고, cf(cf)는 κ의 합이 κ인 엄밀히 말하면 작은 규모의 추기경들의 카디널리티이기도 하다.

${\displaystyle \mathrm {cf}(\kappa )=\min \left\{\capa =\sum_{i\in I}\lambda _{i}\land \land \all i,\lambda _{i}\cappa \right\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

상기의 세트장이 비어 있지 않다는 것은 그 사실에서 비롯된다.

${\displaystyle \kappa =\bigcup _{i\in \kappa }\{i\}}}$

즉, κ 싱글톤 세트의 분리 결합.이는 즉시 cf(κ) ≤ κ을 암시한다. 완전히 주문된 세트의 공완성은 규칙적이므로 cf(κ) = cf(κ)가 있다.

쾨니히의 정리를 이용하면 어떤 무한 추기경이라도 for < κ과^cf(κ) cf(2)를 증명할^κ 수 있다.

마지막 불평등은 연속체의 카디널리티의 공동의 최종성은 헤아릴 수 없는 것이어야 한다는 것을 암시한다.다른 한편으로는

Ω = < n ${\$

순서 번호 ${\displaystyle {\Omega }_{}}$은 최초의 무한 서수로서, ${\$의 공완성은$$ 카드(Ω) = ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ 0$${\$displaystyle \aleph _{0$ (특히 ${\displaystyle {\Omega }_{}}$ ${\$은 단수)가 단수이다$$.그러므로

${\displaystyle 2^{\aleph _{0}\neq \aleph _{\omega }}$

(${\displaystyle {2\aleph {\mathrm{}}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{0\mathrm{}}_{}}^{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$$1$}라는$$연속체 가설과 비교)

이 주장을 일반화하면 한계 서수 Δ에 대해 증명할 수 있다.

${\displaystyle \mathrm{c}}$ (${\displaystyle {\Delta }_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle c\mathrm{}}$ (${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ) = c ( ${\displaystyle \Delta }$) ${\displaystyle \mathrmat {cf} (\aleph _{\mathrm$ {cf$}=\mathrm {cf} (\cf$ )}$$.

한편, 선택의 공리가 유지된다면, 후계자 또는 서수 Δ 0.

${\displaystyle \mathrm{c}}$ ${\displaystyle \mathrm{f}{}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$) = ${\displaystyle {\Delta }_{}}${\$displaystyle \mathrm {cf}(\aleph _{\reason }=\aleph _{\reason$ $\}\}).$

참고 항목

• 초기 서수

참조

• 제치, 토마스, 2003년이론 설정: 수정 및 확장된 제3의 밀레니엄 에디션.스프링거. ISBN3-540-44085-2.
• 쿠넨, 케네스, 1980년세트 이론: 독립 증명서에 대한 소개.엘시비어.ISBN 0-444-86839-9