폰 노이만 우주

집합론과 수학의 관련 분야들에서, V로 표현되는 집합의 폰 노이만 세계 또는 폰 노이만 계층은 유전적으로 잘 기반을 둔 집합의 클래스이다.Zermelo-Fraenkel 집합론(ZFC)에 의해 공식화된 이 컬렉션은 종종 ZFC의 공리에 대한 해석 또는 동기를 제공하는 데 사용됩니다.이 개념은 1930년에 에른스트 체르멜로에 의해 처음 출판되었지만, 존 폰 노이만의 이름을 따서 명명되었다.

충분한 근거가 있는 집합의 순위는 ^[1]집합의 모든 멤버의 순위보다 큰 최소 서수로서 유도적으로 정의됩니다.특히, 빈 집합의 순위는 0이며, 모든 서수는 자신과 같은 순위를 가집니다.V의 세트는 순위에 따라 누적 계층이라고 하는 초한 계층_α V로 나뉩니다.

정의.

누적 계층은 순서수 클래스에 의해 지수화된 집합_α V의 집합이다. 특히, V는_α α보다 작은 순위를 가진 모든 집합의 집합이다.따라서 각 서수 α에 대해 하나의_α 집합 V가 있다_α. V는 다음과 같이 초한 재귀에 의해 정의될 수 있다.

• V를 빈 집합으로 합니다₀.

  ${\displaystyle V_{0}:=\varnothing .}$

• 임의의 서수 β에 대해 V를 V의_β 거듭제곱 집합으로 한다_β+1.

  ${\displaystyle V_{\beta +1}:={P}}(V_{\beta }).}$

• 모든 제한 서수 θ에 대해, V를 지금까지의 모든 V-스테이지의 결합으로 합니다_λ.

  ${\displaystyle V_{\lambda}:=\bigcup_{\beta}V_{\beta}}$

이 정의에 대한 중요한 사실은 ZFC 언어에는 "집합 x가 V에 있다_α"는 단일 공식 θ(α,x)가 있다는 것이다.

세트_α V를 스테이지 또는 랭크라고 합니다.

클래스 V는 모든 V-스테이지의 결합으로 정의됩니다.

${\displaystyle V:=\bigcup_{\alpha}V_{\alpha}}$

동등한 정의 세트

${\displaystyle V_{\alpha}:=\bigcup_{\mathcal {P}}(V_{\beta })$

$각{\displaystyle \mathcal{}}$ 서수α에 대해 P$)\${P$$$}}(X$)\!)는 X(\displaystyle X$)$의 거듭제곱 집합입니다.

세트 S의 순위는 S${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle V_{}{}_{}}$α $.\displaystyle$ S$\subseteq V_{\alpha$},$가{\displaystyle }$ 되도록$$ 최소α입니다.또 다른 순위 계산 방법은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \mathrm{랭크}(}$ ${\displaystyle （}$ S ）$=$ ${\displaystyle \bigcup }$ {${\displaystyle \mathrm{랭크}}$ ${\displaystyle （}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle ）}$ + ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mid }$ z${\displaystyle s}$ S$$ $display$style \$operatorname${rank$}(S$)=\$bigcup \{\operatorname {rank}(z)+1\mid$ z$\in$ S$\backslash \}\}.$

계층의 유한 및 낮은 카디널리티 단계

처음 5개의 폰 노이만 스테이지₀ V에서₄ V는 다음과 같이 시각화 될 수 있다.(빈 박스는 빈 세트를 나타냅니다.빈 상자만 포함된 상자는 빈 세트만 포함하는 세트를 나타냅니다.)

이 배열은 4성장을 나타낸다.집합₅ V는 2 = 65536개의 원소를 포함하고¹⁶, 집합₆ V는 알려진 우주의 원자의 수를 상당히 초과하는 2개의 원소를⁶⁵⁵³⁶ 포함하고, 자연 n에 대해 집합_n+1 V는 크누스의 상승 기수법을 사용하여 2 ↑↑ n개의 원소를 포함한다.따라서 5단계 이후에는 누적 계층의 유한 단계를 명시적으로 기록할 수 없습니다.세트_ω V의 카디널리티는 ω과 동일합니다.집합_ω+1 V의 카디널리티는 실수 집합과 동일합니다.

응용 프로그램 및 해석

집합론의 모델로 V의 적용

만약 θ가 자연수의 집합이라면, V는_ω 유전적으로 유한한 집합의 집합이며,^[2][3] 이것은 무한의 공리가 없는 집합 이론의 모형이다.

V는_ω+ω "일반 수학"의 세계이며, 체르멜로 ^[4]집합론의 모델이다.V의_ω+ω 적합성에 찬성하는 간단한 논거는 V가 정수에 적합한 반면_ω+2 V는 실수에 적절하며, 대부분의 다른 정규 수학은 V 밖으로 치환_ω+ω 공리 없이 이러한 집합으로부터 다양한 종류의 관계로서 구축될 수 있다는_ω+1 관측이다.

θ가 접근 불가능한 기수일 경우_κ V는 Zermelo-Frankel 집합론(^[5][6]ZFC) 자체의 모델이고_κ+1 V는 Morse-Kelley 집합론의 모델입니다.(모든 ZFC 모델은 ZF 모델이며 모든 ZF 모델도 Z 모델입니다.)

V를 "모든 집합의 집합"으로 해석

V는 두 가지 이유로 "모든 집합"이 아닙니다.첫째, 집합이 아닙니다. 각 개별 스테이지_α V는 집합이지만 합체 V는 적절한 클래스입니다.두 번째, V의 세트는 단지 잘 만들어진 세트입니다.기초 공리(또는 규칙성)는 모든 집합이 잘 기초되어야 하며 따라서 V에 있어야 하며, 따라서 ZFC에서는 모든 집합이 V에 있어야 합니다.그러나 다른 공리 체계는 기초 공리를 생략하거나 강력한 부정으로 대체할 수 있다(예를 들어 아크젤의 반 기초 공리).이러한 근거가 없는 집합론은 일반적으로 사용되지 않지만 여전히 연구할 수 있습니다.

"모든 집합의 집합" 해석에 대한 세 번째 반대는 모든 집합이 반드시 "순수 집합"은 아니며, 이는 동력 집합과 결합을 사용하여 빈 집합에서 구성된다는 것이다.체르멜로는 1908년에 요소들의 포함을 제안했고,^[7] 1930년에 그 요소들로부터 초한 재귀적 위계를 구성했다.이러한 요소는 모델 이론, 특히 프렝켈-모스토프스키 ^[8]모델에서 광범위하게 사용됩니다.

V와 규칙성의 공리

공식 V = _αδV는_α ^[9][10]종종 정의가 아닌 정리로 간주된다.Roitman은 규칙성의 공리가 ZF 집합의 우주가 누적 위계질서에 평등하다는 것을 깨닫는 것은 ^[11]폰 노이만 때문이라고 말한다.

V의 존재 상태

클래스 V는 대부분의 수학의 장으로 간주될 수 있기 때문에 어떤 의미에서는 "외부"임을 확인하는 것이 중요합니다.존재는 어려운 개념이기 때문에, 사람들은 전형적으로 존재 질문을 일관성 질문, 즉 그 개념에 모순이 없는지로 대체한다.주요 장애물은 괴델의 불완전성 이론으로 인해 제기되는데,^[12] 괴델은 ZF 집합론 자체의 일관성을 입증하는 것이 사실상 불가능하다는 것을 암시한다.

폰 노이만 우주의 완전성은 기본적으로 구조에서 순위 매개변수로 작용하는 서수의 완전성과 서수와 폰 노이만 우주가 모두 구성되는 초한 유도의 완전성에 달려 있다.서수 구성의 완전성은 폰 노이만의 1923년과 1928년 ^[13]논문에 있다고 할 수 있다.초무한 유도에 의한 V 구조의 완전성은 1930년 체르멜로의 ^[7]논문에서 확립되었다고 말할 수 있다.

역사

또한 폰 노이만 우주라고도 알려진 누적형 계층 구조는 그레고리 H. 무어에 의해 폰 ^[14]노이만에게 부정확하게 귀속되었다고 주장했습니다.폰 노이만 우주의 첫 출판물은 1930년 ^[7]에른스트 체르멜로에 의해 출판되었다.

집합의 일반적인 초한 재귀적 정의의 존재와 고유성은 1928년 폰 노이만에 의해 체르멜로-프랭켈 집합론과^[15] 노이만의 집합론(^[16]나중에 NBG 집합론으로 발전)에 대해 증명되었다.이 두 논문 모두 그는 모든 집합의 우주를 구성하기 위해 그의 초무한 재귀적 방법을 적용하지 않았다.베르나이스와^[9] 멘델슨의^[10] 폰 노이만 우주의 발표는 비록 그것이 일반 집합의 우주의 건설에 적용되는 것은 아니지만, 폰 노이만에게 초한 유도 건설 방법에 대한 공로를 인정한다.

V표기는 폰 노이만의 이름에 대한 헌사가 아니다.1889년 페아노에 의해 집합의 세계를 위해 사용되었는데, 이는 "Verum"을 나타내는 문자 V로, 논리적 상징이자 모든 ^[17]개인의 계급으로 사용되었습니다.페아노의 표기법 V는 1910년 ^[18]화이트헤드와 러셀에 의해 모든 집합의 클래스에 채택되었다.V 표기법(모든 집합의 클래스에 대한)은 폰 노이만이 1920년대 서수 및 초무한 유도에 관한 논문에서 사용하지 않았다.폴^[19] 코헨은 분명히 괴델이 ^[20]1940년에 발표한 논문에서 V자를 사용한 것으로 보고 있지만, 괴델은 화이트헤드나 ^[18]러셀과 같은 초기 출처에서 표기를 얻었을 가능성이 높다.

철학적 관점

폰 노이만 우주 V와 ZFC의 관계를 이해하기 위한 두 가지 접근법이 있다(각 접근법의 많은 변형과 그 사이의 그림자).대체로 형식주의자들은 V를 ZFC 공리에서 나오는 것으로 보는 경향이 있습니다(예: ZFC는 모든 집합이 V에 있음을 증명합니다).반면, 현실주의자들은 폰 노이만 계층을 직관에 직접 접근할 수 있는 것으로 보고, ZFC의 공리를 V에서 우리가 자연어로 직접 직관적인 논거를 제시할 수 있는 명제로 볼 가능성이 높다.가능한 중간 입장은 폰 노이만 계층의 정신적 그림은 ZFC 공리에 동기를 제공하지만(그들이 임의적이지 않게), 반드시 실존의 대상을 설명하지는 않는다는 것이다.

「 」를 참조해 주세요.

메모들

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