S (set 이론)

S는 조지 볼로스가 1989년 자신의 논문 '다시 반복'에서 제시한 자명적인 집합론이다.1차 이론인 S는 온톨로지에는 세트뿐만 아니라 "스테이지"도 포함되어 있기 때문에 2차 이론이다.볼로스는 S가 "세트의 반복적 개념"과 관련 반복적 계층 구조에 대한 이해를 구현하도록 설계했다.S는 확장성의 공리와 선택성의 공리를 제외한 제르멜로 집합 이론 Z의 모든 공리가 S의 이론 또는 그 약간의 수정이라는 중요한 속성을 가지고 있다.

온톨로지

수학적, 추상적 또는 구체적인 물체의 모든 집단은 하나의 집합체로서, 다른 집합 이론들이 하나의 계급이라고 부르는 것과 동의어인 것이다.컬렉션을 구성하는 것들을 요소나 구성원으로 부른다.수집의 일반적인 예는 일차 이론의 담론 영역이다.

모든 세트는 컬렉션이지만 세트가 아닌 컬렉션도 있다.설정되지 않은 컬렉션의 동의어는 적절한 클래스다.자칭 집합 이론의 본질적인 임무는 수학이 집합에 기초하고 있기 때문에 적절한 수업이 순전히 서술적인 역할로 밀려난다면 집합과 적절한 수업을 구분하는 것이다.

본 노이만 우주는 집합의 우주를 일련의 "상태"로 층화함으로써 " 집합의 반복적 개념"을 구현하며, 주어진 단계의 집합은 모든 상위 단계에서 형성되는 집합의 가능한 구성원이 된다.무대의 개념은 다음과 같다.각 단계에는 서수 번호가 할당된다.최하위 단계인 0단계는 구성원이 없는 모든 실체로 구성된다.이 단계는 우리가 인정하기로 선택한 요소를 포함하지만, 0단계에서 유일한 실체는 빈 집합이라고 가정한다.단계 n, n>0은 n보다 적은 수의 단계에서 발견되는 요소로부터 형성된 가능한 모든 집합으로 구성된다.n단계에서 형성된 모든 집합은 n보다 큰 모든 단계에서 형성될 수 있다.^[1]

따라서 스테이지들은 중첩되고 잘 정렬된 시퀀스를 형성하며, 설정된 멤버쉽이 타전적인 경우 계층을 형성하게 된다.그 반복적인 개념은 역사적 기원에 대한 불완전한 이해에도 불구하고 점점 더 받아들여지고 있다.

세트 스테어에 대한 반복적인 개념은 러셀, 부랄리-포르티, 칸토르의 잘 알려진 역설에 대해 잘 동기부여된 방식으로 명확하다.이러한 역설은 모두 순진한 집합론 이해의 원리를 무제한으로 사용한 데서 비롯된다."모든 집합의 클래스" 또는 "모든 서수의 클래스"와 같은 컬렉션은 반복 계층의 모든 단계에서 집합을 포함한다.따라서 이러한 컬렉션은 특정 단계에서 형성될 수 없으며, 따라서 설정될 수 없다.

원시 관념

이 절은 볼로스(1998: 91)를 따른다.변수 x와 y는 집합에 걸쳐 범위가 설정되고 r, s 및 t는 단계별로 범위가 지정된다.원시 2위 술어는 다음과 같은 세 가지가 있다.

세트-세트: xxy는 일반적으로 세트 x가 세트 y의 멤버라는 것을 의미한다.
설정 단계:Fxr은 x "가 stage r에서 형성됨"을 의미한다.
스테이지-스테이지: r은 스테이지 r이 "스테이지 s보다 빠르다"는 것을 나타낸다.

아래 공리는 정의된 2-위스 설정 단계 술어인 Bxr을 포함하며, 이 술어는 다음과 같다.

\displaystyle \exists s[s]s.}

Bxr은 "set x는 r단계 이전에 형성된다"로 읽힌다.

infix '='로 표시된 정체성은 다른 정해진 이론에서 하는 S에서의 역할을 하지 않으며, 볼로스는 배경 논리에 정체성이 포함되어 있는지 여부를 완전히 명시하지 않는다.S는 확장성에 대한 공리가 없으며 다른 S 공리에는 정체성이 없다.ID는 S+와 S를 구별하는 공리 스키마, 그리고 ^[2]Z의 페어링, Null 세트, 무한 공리의 S의 파생에 나타난다.^[3]

공리

아래에 제시된 상징적 공리는 볼로스(1998:91)에서 따온 것이며, 세트와 단계가 어떻게 행동하고 상호작용하는지를 지배한다.공리의 자연어 버전은 직관을 돕기 위한 것이다.

공리는 세 그룹으로 나누어진다.첫 번째 그룹은 스테이지와 스테이지 관계 '<'에만 관련된 공리로 구성된다.

트라: $\forall r\forall s\forall t[r<s\land s<t\rightarrow r<t]\,.$ r $\forall r\forall s\forall t[r<s\land s<t\rightarrow r<t]\,.$ $\forall r\forall s\forall t[r<s\land s<t\rightarrow r<t]\,.$ $\forall r\forall s\forall t[r<s\land s<t\rightarrow r<t]\,.$ $\forall r\forall s\forall t[r<s\land s<t\rightarrow r<t]\,.$ [ $\forall r\forall s\forall t[r<s\land s<t\rightarrow r<t]\,.$ $\forall r\forall s\forall t[r<s\land s<t\rightarrow r<t]\,.$ < $\forall r\forall s\forall t[r<s\land s<t\rightarrow r<t]\,.$ → $\forall r\forall s\forall t[r<s\land s<t\rightarrow r<t]\,.$ < $\forall r\forall s\forall t[r<s\land s<t\rightarrow r<t]\,.$ $\forall r\forall s\forall t[r<s\land s<t\rightarrow r<t]\,.$ . $\forall s\forall t[r]s\land s<t\rightarrow r<t]\,.$

"보다 이른"은 타동사 입니다.

Net: $\forall s\forall t\exists r[t<r\land s<r]\,.$ s $\forall s\forall t\exists r[t<r\land s<r]\,.$ t $\forall s\forall t\exists r[t<r\land s<r]\,.$ r [ $\forall s\forall t\exists r[t<r\land s<r]\,.$ < $\forall s\forall t\exists r[t<r\land s<r]\,.$ . $\forall s\forall t\exists r[t<r\land s<r]\,.$ {\ $displaystyle \forall s\forall t\exist$ r[ $r\land s<r]\,.}$

넷의 결과는 모든 단계가 어떤 단계보다 빠르다는 것이다.

Inf: $\exists r\exists u[u<r\land \forall t[t<r\rightarrow \exists s[t<s\land s<r]]]\,.$ $\exists r\exists u[u<r\land \forall t[t<r\rightarrow \exists s[t<s\land s<r]]]\,.$ u $\exists r\exists u[u<r\land \forall t[t<r\rightarrow \exists s[t<s\land s<r]]]\,.$ [ $\exists r\exists u[u<r\land \forall t[t<r\rightarrow \exists s[t<s\land s<r]]]\,.$ t [ $\exists r\exists u[u<r\land \forall t[t<r\rightarrow \exists s[t<s\land s<r]]]\,.$ < $\exists r\exists u[u<r\land \forall t[t<r\rightarrow \exists s[t<s\land s<r]]]\,.$ . $\exists r\exists u[u<r\land \forall t[t<r\rightarrow \exists s[t<s\land s<r]]]\,.$ {\ $displaystyle \exists$ r\ $exists$ u $[u]<r\r\land \for$ \ $rand \exists s[t\land s],.}$

Inf의 유일한 목적은 S에서 다른 세트 이론의 무한대의 공리를 도출할 수 있게 하는 것이다.

두 번째 및 마지막 공리 그룹에는 세트와 스테이지가 모두 포함되며 '<' 이외의 술어는 다음과 같다.

모두: $\forall x\exists rFxr\,.$ $\forall x\exists rFxr\,.$ $\forall x\exists rFxr\,.$ $\forall x\exists rFxr\,.$ $\forall x\exists rFxr\,.$ $\forall x\exists rFxr\,.$ r $\forall x\exists rFxr\,.$ . $\forall x\exists rFxr\,.$

모든 집합은 계층의 어느 단계에서 형성된다.

시기: $\forall r\forall x[Fxr\leftrightarrow [\forall y(y\in x\rightarrow Byr)\land \lnot Bxr]]\,.$ : r $\forall r\forall x[Fxr\leftrightarrow [\forall y(y\in x\rightarrow Byr)\land \lnot Bxr]]\,.$ x $\forall r\forall x[Fxr\leftrightarrow [\forall y(y\in x\rightarrow Byr)\land \lnot Bxr]]\,.$ [ $\forall r\forall x[Fxr\leftrightarrow [\forall y(y\in x\rightarrow Byr)\land \lnot Bxr]]\,.$ x $\forall r\forall x[Fxr\leftrightarrow [\forall y(y\in x\rightarrow Byr)\land \lnot Bxr]]\,.$ $\forall r\forall x[Fxr\leftrightarrow [\forall y(y\in x\rightarrow Byr)\land \lnot Bxr]]\,.$ ( $\forall r\forall x[Fxr\leftrightarrow [\forall y(y\in x\rightarrow Byr)\land \lnot Bxr]]\,.$ $\forall r\forall x[Fxr\leftrightarrow [\forall y(y\in x\rightarrow Byr)\land \lnot Bxr]]\,.$ → $\forall r\forall x[Fxr\leftrightarrow [\forall y(y\in x\rightarrow Byr)\land \lnot Bxr]]\,.$ r ) $\forall r\forall x[Fxr\leftrightarrow [\forall y(y\in x\rightarrow Byr)\land \lnot Bxr]]\,.$ $\forall r\forall x[Fxr\leftrightarrow [\forall y(y\in x\rightarrow Byr)\land \lnot Bxr]]\,.$ $\forall r\forall x[Fxr\leftrightarrow [\forall y(y\in x\rightarrow Byr)\land \lnot Bxr]]\,.$ $\forall r\forall x[Fxr\leftrightarrow [\forall y(y\in x\rightarrow Byr)\land \lnot Bxr]]\,.$ x r $\forall r\forall x[Fxr\leftrightarrow [\forall y(y\in x\rightarrow Byr)\land \lnot Bxr]]\,.$ . . $\\displaystyle$ \ $for all$ r $\fxr\leftrightarrow byr)\land \lot Bxr]\,.}$

세트는 초기 단계에서 구성원이 구성되면 어느 단계에서 구성된다.

A(y)는 y는 자유지만 x는 그렇지 않은 S의 공식으로 한다.그러면 다음과 같은 공리 스키마가 유지된다.

사양: $\exists r\forall y[A(y)\rightarrow Byr]\rightarrow \exists x\forall y[y\in x\leftrightarrow A(y)]\,.$ : r $\exists r\forall y[A(y)\rightarrow Byr]\rightarrow \exists x\forall y[y\in x\leftrightarrow A(y)]\,.$ $\exists r\forall y[A(y)\rightarrow Byr]\rightarrow \exists x\forall y[y\in x\leftrightarrow A(y)]\,.$ [ $\exists r\forall y[A(y)\rightarrow Byr]\rightarrow \exists x\forall y[y\in x\leftrightarrow A(y)]\,.$ ( $\exists r\forall y[A(y)\rightarrow Byr]\rightarrow \exists x\forall y[y\in x\leftrightarrow A(y)]\,.$ ) $\exists r\forall y[A(y)\rightarrow Byr]\rightarrow \exists x\forall y[y\in x\leftrightarrow A(y)]\,.$ → $\exists r\forall y[A(y)\rightarrow Byr]\rightarrow \exists x\forall y[y\in x\leftrightarrow A(y)]\,.$ $\exists r\forall y[A(y)\rightarrow Byr]\rightarrow \exists x\forall y[y\in x\leftrightarrow A(y)]\,.$ → $\exists r\forall y[A(y)\rightarrow Byr]\rightarrow \exists x\forall y[y\in x\leftrightarrow A(y)]\,.$ $\exists r\forall y[A(y)\rightarrow Byr]\rightarrow \exists x\forall y[y\in x\leftrightarrow A(y)]\,.$ ↔ $\exists r\forall y[A(y)\rightarrow Byr]\rightarrow \exists x\forall y[y\in x\leftrightarrow A(y)]\,.$ $\exists r\forall y[A(y)\rightarrow Byr]\rightarrow \exists x\forall y[y\in x\leftrightarrow A(y)]\,.$ [ $\exists r\forall y[A(y)\rightarrow Byr]\rightarrow \exists x\forall y[y\in x\leftrightarrow A(y)]\,.$ $\exists r\forall y[A(y)\rightarrow Byr]\rightarrow \exists x\forall y[y\in x\leftrightarrow A(y)]\,.$ x $\exists r\forall y[A(y)\rightarrow Byr]\rightarrow \exists x\forall y[y\in x\leftrightarrow A(y)]\,.$ ↔ ↔ $\exists r\forall y[A(y)\rightarrow Byr]\rightarrow \exists x\forall y[y\in x\leftrightarrow A(y)]\,.$ ] ] ] ] ] $\exists r\forall y[A(y)\rightarrow Byr]\rightarrow \exists x\forall y[y\in x\leftrightarrow A(y)]\,.$ ] ]. $\displaystyle \exists$ r\ $for all y[A(y)\righr)\rightarrowexists.$

A(y)를 만족하는 모든 세트가 r(y)보다 앞선 스테이지에서 형성되는 스테이지 r이 존재한다면, 멤버가 A(y)를 만족하는 세트인 세트 x가 존재한다.S에서 Spec의 역할은 Z 규격의 공리 스키마의 역할과 유사하다.

토론

Zermelo set 이론에서 확장성을 뺀 Boolos의 이름은 Z-. S에서 파생된 Boolos는 선택의 공리를 제외한 Z의 모든 공리들이다.^[4]이 연습의 목적은 대부분의 전통적인 집합 이론이 S에 구현된 가정된 집합의 반복적 개념에서 어떻게 도출될 수 있는지를 보여주는 것이었다.확장성은 반복적인 개념에서 따르지 않으며, S의 정리가 아니다.그러나 S + 확장성은 S가 모순이 없는 경우 모순이 없다.

그 후 Boolos는 Spec을 변경하여 S+라고 하는 S+의 변형을 얻음으로써 대체의 공리 스키마가 S+ + Extensionality에서 파생될 수 있도록 하였다.따라서 S+ + 확장성은 ZF의 힘을 가진다.볼로스는 또한 선택의 공리가 반복적인 개념에서 따르는 것이 아니라고 주장했지만, 초이스가 S에 어떤 식으로든 추가될 수 있을지는 다루지 않았다.^[5]따라서 S+ + 확장성은 증명서에 선택권이 필요한 기존의 집합 이론 ZFC의 이론들을 증명할 수 없다.

inf는 유한 n에 대해 Ω, 그리고 Ω + n의 스테이지의 존재를 보증하지만 Ω + Ω의 스테이지가 아니다. 그럼에도 불구하고, S는 칸토어의 파라다이스에 충분한 양을 산출하여 거의 모든 현대 수학의 기초가 된다.^[6]

Boolos는 어느 정도 길이의 S를 Frege의 Grundgesetze의 시스템 변종과 비교하는데, 여기서 공리로 간주되는 Hume의 원칙은 Frege의 시스템을 일관성이 없게 만든 제한되지 않은 이해 공리인 Frege의 기본법 5를 대체한다. 러셀의 역설 참조.

각주

^ 볼로스(1998:88)
^ 볼로스(1998: 97).
^ 볼로스(1998: 103–04)
^ 볼로스(1998: 95–96; 103–04)
^ 볼로스(1998: 97).
^ "…20세기 수학의 압도적 다수는 Ω + 20보다 확실히 적은 상당히 낮은 무한대의 순위로 단도직입적으로 표현할 수 있다."(2004년 포터: 220).포터의 진술에 대한 예외는 아마도 타르스키-그로텐디크 세트 이론이 제공하는 약하게 접근하기 어려운 추기경들과 세트 이론 자체의 더 높은 범위를 필요로 하는 카테고리 이론을 포함한다.

참조

Boolos, George (1989), "Iteration Again", Philosophical Topics, 17: 5–21, JSTOR 43154050. 재인쇄: .
Potter, Michael (2004), Set Theory and Its Philosophy, Oxford University Press, ISBN 9780199269730.

[1] 볼로스(1998:88)

[2] 볼로스(1998: 97).

[3] 볼로스(1998: 103–04)

[4] 볼로스(1998: 95–96; 103–04)

[5] 볼로스(1998: 97).

[6] "…20세기 수학의 압도적 다수는 Ω + 20보다 확실히 적은 상당히 낮은 무한대의 순위로 단도직입적으로 표현할 수 있다."(2004년 포터: 220).포터의 진술에 대한 예외는 아마도 타르스키-그로텐디크 세트 이론이 제공하는 약하게 접근하기 어려운 추기경들과 세트 이론 자체의 더 높은 범위를 필요로 하는 카테고리 이론을 포함한다.

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