특이점 분해

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번째 블로우업 후 분해능이 정지하지 않고 변환이 엄격할 때 주의한다.

대수기하학에서 특이점의 분해능 문제는 모든 대수 품종 V가 분해능을 가지는지, 적절한 쌍성 지도 W→V를 갖는 비수 품종 W를 가지는지 여부를 묻는다.특성 0 이상의 변종에 대해서는 히로나카(1964년)^[1]에서 증명된 반면 특성 p 이상의 변종에 대해서는 적어도 ^[2]4차원의 미해결 문제이다.

정의들

원래 특이점 분해의 문제는 품종 X의 함수장에 대한 비싱글 모델, 즉 동일한 함수장을 가진 완전한 비싱글 품종 Xδ를 찾는 것이었다.실제로는 다음과 같이 다른 조건을 요구하는 것이 더 편리하다: 품종 X가 단수가 아닌 품종 X and와 X to에서 X로의 적절한 바이럴 맵을 찾을 수 있는 경우 품종 X가 특이점 분해능을 갖는다.X'를 X의 비단수점 하위변수로 삼는 것과 같은 사소한 해법을 제외하려면 맵이 적절한 조건이 필요합니다.

보다 일반적으로, 더 큰 품종 W에 포함된 품종 X의 특이점을 해결하는 것이 종종 유용하다. 예를 들어 X를 정규 품종 W에 폐쇄적으로 포함시킨다고 가정하자. X의 강한 탈규화(desularization)는 다음 조건의 일부에 따라 정규 품종 W w에서 W로 이어지는 적절한 바이럴 모르피즘에 의해 주어진다(정확한 선택).nditions는 작성자에 따라 다릅니다).

X의 엄밀한 변환 X of는 규칙적이며 분해능 형태론의 예외적인 궤적과 횡방향이다(따라서 특히 X의 특이점을 해결한다).
X의 엄밀한 변환에서 X로의 지도는 X의 단수점에서 벗어난 동형이다.
W is는 W의 규칙적인 닫힌 서브바이어리 또는 X의 보다 강한 규칙적인 서브바이어리를 전번 블로우의 예외적 궤적과 횡방향으로 반복 블로우하여 구성된다.
W is의 구성은 W에 대한 매끄러운 형태와 W를 보다 다양한 형태로 삽입하기 위한 기능적 구조이다(모든 형태(반드시 매끄러운 것은 아님) 형태에 대해 합리적인 방식으로 기능적으로 만들 수는 없다).
X to에서 X로의 형태성은 W에서의 X의 삽입에 의존하지 않는다.또는 일반적으로 블로우업 순서는 매끄러운 형태에 대해 기능적이다.

히로나카는 특성 0의 장에 대해 X가 정의될 때마다 위의 3가지 조건을 만족시키는 강한 탈밀화가 있음을 보여주었고, 그의 구조는 위의 모든 조건을 만족하도록 여러 저자에 의해 개선되었다(아래 참조).

곡선의 특이점 분해능

모든 대수 곡선에는 고유한 비-사영적 투영 모델이 있습니다. 즉, 분해능 방법은 모두 이 모델을 구성하기 때문에 기본적으로 동일하다는 것을 의미합니다.고차원에서는 더 이상 사실이 아닙니다.다양한 종류에는 다양한 비특이 투영 모델이 존재할 수 있습니다.

Kollarr(2007)는 곡선의 특이점 분해능을 입증하는 약 20가지 방법을 열거한다.

뉴턴의 방법

곡선의 특이점의 분해능은 뉴턴(1676)에 의해 근본적으로 증명되었는데, 뉴턴(1676)은 분해능이 쉽게 뒤따르는 곡선에 대한 푸이서 급수의 존재를 보여주었다.

리만법

리만은 복소수 곡선의 함수장으로부터 매끄러운 리만 표면을 구성했는데, 이것은 특이점의 분해능을 제공한다.이는 리만 표면 대신 필드의 이산 평가 링 세트를 사용하여 보다 일반적인 필드에 걸쳐 수행할 수 있습니다.

알바네즈법

알반느의 방법은 충분히 큰 치수의 투영 공간(곡선의 두 배 이상)에 걸친 곡선을 취하고, 단수점에서 작은 치수의 투영 공간까지 반복적으로 투영하는 것이다.이 방법은 고차원 변종까지 확장되며, 모든 n차원 변종이 최대 n!의 특이점을 갖는 투영 모델을 가지고 있음을 보여준다.곡선의 경우 n = 1이므로 특이점이 없습니다.

정규화

Muhly & Zariski(1939)는 곡선의 정규화를 통해 곡선의 특이점을 해결하는 한 단계 방법을 제시했다.정규화는 코디멘션 1의 모든 특이점을 제거하므로 곡선에 대해서는 작동하지만 고차원에서는 작동하지 않습니다.

밸류에이션

곡선의 특이점을 해결하는 또 다른 1단계 방법은 곡선의 함수장 평가링 공간을 갖는 것이다.이 공간은 원래 곡선을 기준으로 하는 비사영적 투영 곡선으로 만들 수 있습니다.

부풀리다

곡선의 특이점을 반복적으로 부풀리면 결국 특이점이 해결된다.이 방법의 주요 과제는 특이점의 복잡성을 측정하는 방법을 찾고 폭발이 이 측정을 개선한다는 것을 보여주는 것입니다.이렇게 하는 방법은 여러 가지가 있습니다.예를 들어 곡선의 연산속도를 사용할 수 있다.

노에테르법

노에터의 방법은 평면 곡선을 취하여 2차 변환(단수점과 일반 위치의 두 점에 의해 결정됨)을 반복적으로 적용한다.결과적으로 특이점만 일반 다중 점인 평면 곡선이 생성됩니다(모든 접선에는 다중도 2가 있음).

베르티니법

베르티니의 방법은 노에터의 방법과 비슷하다.평면 곡선으로 시작하여 평면에 반복 바이루셔널 변환을 적용하여 곡선을 개선합니다.2차 변환은 노에터의 방법에 사용된 2차 변환보다 복잡하지만, 유일한 특이점이 일반적인 이중점이라는 더 나은 결과를 낳는다.

표면의 특이점 분해능

표면에는 비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-그러나 표면은 다른 모든 것을 인수분해하는 고유한 최소 분해능을 가지고 있습니다(다른 모든 것은 그것의 분해능입니다.고차원에서는 최소 해상도가 필요하지 않습니다.

델 페조(1892) 하비하비 오류에 의해 복소수에 대한 표면 분해능을 증명하려는 시도가 여러 번 있었다: Levi(1899), Severi(1914) 하비하비 오류: 대상 없음: CITEREFSeri(1921), Albanese (1924).ly 시도는 완료되었으며, 모든 것이 논의의 중요한 부분에서 모호하거나 잘못되었습니다.첫 번째 엄격한 증명은 워커(1935)에 의해 제시되었고 특성 0의 모든 분야에 대한 대수적 증명은 자리스키(1939)에 의해 제시되었다.Abhyankar(1956)는 0이 아닌 특성의 표면에 대한 증거를 제공했다.특이점의 분해능은 리프만(1978)에 의해 모든 뛰어난 2차원 체계(모든 산술 표면 포함)에 대해서도 나타났다.

자리스키법

Zariski의 표면 특이점 해결 방법은 표면 정규화(코디멘션 1 특이점 죽임)와 확대점(코디멘션 2 특이점을 더 좋게 만들지만 새로운 코디멘션 1 특이점을 도입할 수 있음)을 반복하는 것이다.비록 이것이 표면의 특이점을 스스로 해결할 것이지만, Zariski는 보다 우회적인 방법을 사용했다: 그는 먼저 표면의 모든 평가가 해결될 수 있다는 것을 보여주는 국소 균일화 정리를 증명한 후, Zariski-Remann 표면의 콤팩트함을 사용하여 다음과 같은 유한 집합을 찾을 수 있음을 보여주었다.각 평가의 입력은 이러한 표면들 중 적어도 하나에서 간단하며, 마지막으로 표면들 사이의 이성 지도를 연구함으로써 이 유한한 표면 집합이 단일 비점성 표면으로 대체될 수 있다는 것을 보여주었다.

융의 방법

곡선에 강한 내장 분해능을 적용함으로써, 융(1908)은 표면에서 상당히 특별한 특이점(아벨리안 지수 특이점)만을 가진 표면으로 감소시키고, 이 특이점은 명시적으로 처리된다.이 방법의 고차원적인 버전이 de Jong의 방법이다.

알반법

일반적으로 곡선에 대한 알바네즈 방법의 아날로그는 어떤 다양성에 대해서도 최대 n!(n은 차원)의 단수 순서로 감소시킬 수 있음을 보여준다.표면의 경우 2차 특이점의 경우 이는 명확하게 수행하기에 충분히 쉬운 것으로 감소한다.

아비얀카법

Abhyankar(1956)는 평가 링에 대한 국소 균일화 정리를 증명함으로써 특징의 장에 걸쳐 표면에 대한 특이점 분해능을 입증했다.가장 어려운 경우는 평가군이 유리수의 비구체적인 부분군인 등급 1의 평가 링이다.나머지 증거는 Zariski의 방법을 따릅니다.

히로나카법

히로나카에 의한 임의의 특성 품종 방법은, 단수 세트내의 점이나 매끄러운 곡선을 반복해 부풀리는 표면 해상도 방법을 제공한다.

립먼법

Lipman(1978)은 표면 Y(2차원 환원 노에테르 방식)가 Y에 대해 정규화가 유한하고 분석적으로 정규화(단수점의 완성은 정규화)되어 있고 단수점만 한정적으로 많은 경우 탈정렬화(designularization)를 갖는다는 것을 보여주었다.특히 Y가 우수하면 탈밀화된다.

그의 방법은 정상 표면 Z를 Y에 대한 이원적 적절한 지도와 함께 고려하고 가능한 산술적 속성이 최소인 최소 표면 Z가 있다는 것을 보여주는 것이었다.그리고 그는 이 최소 Z의 모든 특이점이 의사 유리하다는 것을 보여주며, 의사 유리 특이점이 반복적으로 확대됨으로써 해결될 수 있다는 것을 보여준다.

고차원의 특이점 분해능

고차원의 특이점 해결 문제는 많은 부정확한 출판된 증거와 나타나지 않은 증거 발표로 악명이 높다.

자리스키법

3배에서 특이점의 분해능은 Zariski(1944)에 의해 특성 0으로 증명되었다.그는 특성 0의 모든 분야에 걸친 모든 차원의 다양성에 유효한 평가 고리의 국소 균일화에 대한 정리를 최초로 증명했다.그런 다음 Zariski-Remann 평가 공간은 준콤팩트(모든 분야에 걸친 모든 차원에 대하여)이며, 이는 모든 투영적 다양성의 유한한 모델군이 존재하며, 이러한 모델들 중 적어도 하나에 대한 평가가 매끄러운 중심을 갖는다는 것을 암시한다.이 증명의 마지막이자 가장 어려운 부분은 다양성이 3차원이지만 모든 특성에 적용되는 사실을 사용하는 것으로, 주어진 두 모델이 각각 해결한 특이점을 해결하는 세 번째 모델을 찾을 수 있다는 것을 보여주는 것이다.

아비얀카법

Abhyankar(1966)는 6보다 큰 특성에서 3배의 특이점 분해능을 입증했다.특성에 대한 제약이 발생하는 이유는 Abhyankar가 특성보다 작은 3배 이상의 다중성의 특이점을 해결할 수 있음을 보여준 후, Albanese 방법을 사용하여 특이점을 최대 다중성의 것으로 줄일 수 있음을 보여주기 때문이다! = 3! = 6. Cutkosky(2009)는 단순화된 버전을 제공했다.아비얀카의 증거지

Cossart와 Piltant(2008, 2009)는 최대 3개의 차원에서의 국소 균일화를 증명하고 이것이 3배의 분해능을 의미한다는 Zariski의 증명이 여전히 긍정적인 특징의 경우에 효과가 있음을 확인함으로써 모든 특징에서 3배의 특이점 분해능을 입증했다.

히로나카법

특징 0의 특이점 분해능은 히로나카(1964년)에 의해 최초로 증명되었다.그는 차원에 대한 귀납에 의한 매우 복잡한 주장을 사용하여 비단수적 하위변형을 반복하여 폭발시킴으로써 특성 0의 장에 걸쳐 변종의 특이점을 해결하는 것이 가능하다는 것을 증명했다.그의 가공할 증거의 단순화된 버전은 Bierstone, Milman & 1991-97 harvtx 오류를 포함한 여러 사람에 의해 제시되었다: 대상 없음: CITREF Bierstone Milman 1991-97(도움말), Villamayor (1992) harvtx 오류: 대상 없음: CITREFillamayor 1992(도움말), Encinas & Vilamayor (1998)최근의 증거 중에는 히로나카 원증 길이의 약 10분의 1로, 입문 대학원 과정에서도 간단하게 제시할 수 있는 것도 있다.이 정리의 설명에 대해서는 (Hauser 2003)을 참조해 주세요.이력적인 논의에 대해서는 (Hauser 2000)을 참조해 주세요.

데종법

de Jong(1996)은 특성 0의 특이점 분해능을 증명하기 위해 보고몰로프와 판테프(1996)와 아브라모비치 & de Jong(1997)이 사용한 융의 표면 방법을 일반화함으로써 특이점 분해능에 대한 다른 접근법을 찾아냈다.De Jong의 방법은 특성 p의 모든 차원에 대해 약한 결과를 보여주었고, 이는 여러 목적을 위해 분해능을 대체할 만큼 충분히 강력했다.De Jong은 한 분야에 걸친 모든 변종 X에 대해 규칙적인 변종에서 X까지의 차원을 보존하는 지배적인 고유 형태론이 있다는 것을 증명했다.이것은 2차 지도일 필요는 없으며, 특이점의 분해능은 아니다.일반적으로 1에 유한할 수 있기 때문에 X의 함수장의 유한 확장을 수반한다.De Jong의 아이디어는 X를 곡선인 섬유로 더 작은 공간 Y에 대한 보정으로 나타내려고 시도한 다음(이것은 X를 수정하는 것을 포함할 수 있음), 차원에 유도하여 Y의 특이점을 제거한 다음 섬유에서 특이점을 제거하는 것이었습니다.

문제 해결 방법 및 상태

해결의 정의를 모든 계획으로 확장하는 것은 쉽다.모든 스킴에 특이점 해결 방법이 있는 것은 아닙니다.그로텐디크(1965, 섹션 7.9) harvhts 오류: 대상 없음: CITREFGroentieck1965(도움말)는 국소적으로 Noetherian 체계 X가 X에 대한 유한 적분 체계 특이점을 해결할 수 있는 특성을 가지고 있다면 X는 준 우수해야 한다는 것을 보여주었다.그로텐디크는 또한 그 반대가 유지될 수 있다고 제안했다. 즉, 국소적으로 노에테르식 체계 X가 축소되고 거의 우수하다면, 그 특이점을 해결하는 것이 가능하다.X가 특성 0의 장에 걸쳐 정의되고 노에테리안인 경우, 이는 히로나카의 정리에 따른 것이며, X가 최대 2의 차원을 가질 경우 립먼에 의해 증명되었다.

Hauser(2010)는 해결되지 않은 특징적인 p 해결 문제에 대한 작업을 조사했다.

특성 0에서의 입증 방법

해결의 증거가 매우 힘들다는 인식이 점차 현실에서 멀어졌다.대수기하학 과정의 마지막 2주 동안 분해능을 증명하는 것은 가능하다.

(Kollár 2007, Lectures on Resolution of Singularities)

강한 탈규어화 구조가 많이 있지만 기본적으로 모두 같은 결과를 낳는다.모든 경우 글로벌 객체(디설라이즈할 품종)는 로컬 데이터(다양한 품종과 예외적인 제수의 이상적인 층 및 그 단계에서 얼마나 많은 이상을 해결해야 하는지를 나타내는 일부 순서)로 대체된다.이 로컬 데이터를 사용하여 폭발의 중심이 정의됩니다.센터는 로컬로 정의되기 때문에 글로벌 센터와 일치하도록 보장하는 것은 문제입니다.이는 각 이상을 해결하기 위해 허용되는 블로업을 정의함으로써 수행할 수 있습니다.적절하게 처리하면 중심이 자동으로 일치합니다.또 다른 방법은 분해능의 다양성과 이력에 따라 국소 불변량을 정의하여 중심이 불변의 최대 궤적으로 구성되도록 하는 것이다.이 정의는 예외적인 약수에 횡단하는 부드러운 중심을 제공하여 이 선택을 하는 것이 의미가 있도록 작성되었습니다.

어느 경우든, 이상 다발과 추가 데이터(예외 제수와 그 이상에 대한 분해능이 필요한 순서 d)에 의해 형성된 태플의 특이점을 해결하기 위해 문제가 감소한다.이 튜플을 마크 아이디얼이라고 하며, 이 아이디얼의 순서가 d보다 큰 점 집합을 공동 지지라고 합니다.표시된 이상에 대한 해결이 있다는 증거는 차원에 대한 귀납에 의해 이루어진다.인덕션은 다음 두 단계로 나뉩니다.

차원 n - 1의 표시 이상에 대한 함수적 탈편사화는 차원 n의 최대 차수의 표시 이상에 대한 함수적 탈편사화를 의미한다.
차원 n의 최대 차수의 표시 이상의 기능적 탈편사화는 차원 n의 표시 이상의 기능적 탈편사화를 의미한다.

여기서 우리는 표시된 이상형이 최대 차수라고 말한다. 만약 그 공동 지지선의 어떤 점에서 이상형의 차수가 d와 같다면 말이다.강력한 분해능의 핵심 요소는 다양한 점의 국소 고리의 힐버트-사무엘 함수를 사용하는 것이다.이것은 분해능 불변의 구성요소 중 하나입니다.

예

확대 시 다중성이 감소할 필요는 없습니다.

특이점의 가장 명백한 불변은 그것의 다양성이다.그러나 이 값은 부풀리기 시 감소하지 않아도 되므로 개선을 측정하기 위해 보다 미묘한 불변량을 사용해야 합니다.

예를 들어, 마름모꼴 첨두² y = x의⁵ 원점에 2차 특이점이 있습니다.단수점에서 폭발한 후, 그것은 여전히 다중도 2를 갖는 일반적인 커스프² y = x가³ 된다.

다항식을 정의하는 정도가 감소했기 때문에 특이점이 개선된 것은 분명하다.이것은 일반적으로 일어나지 않습니다.그렇지 않은 예는 원점에서 x + yz³ + z³ = 0의² 고립된 특이성으로 나타납니다.이 값을 확대하면 특이점² x² + yz³ + yz = 0이 됩니다.두 특이점 모두 다중도 2를 가지며 2차, 3차, 4차 단수의 합에 의해 주어지기 때문에 이 새로운 특이점이 더 낫다는 것은 즉시 명백하지 않다.

가장 특이점을 부풀리는 것은 효과가 없다.

휘트니 우산

특이점을 개선하기 위한 자연스러운 생각은 "최악의" 특이점의 궤적을 폭파하는 것입니다.Whitney 우산² x = yz는² z축의 단수를 설정하는데, 대부분의 포인트가 일반적인 더블 포인트이지만, 원점에서 더 복잡한 핀치 포인트 특이점이 있기 때문에 최악의 단수를 날려버리는 것은 원점을 날려버리는 것으로 시작해야 한다는 것을 암시한다.그러나 원점을 확대하면 좌표 차트 중 하나에 동일한 특이점이 재현됩니다.따라서 (분명히) "최악" 특이점을 확대해도 특이점이 개선되지 않습니다.대신 z축을 따라 폭파하여 특이점을 해결할 수 있습니다.

어떤 의미에서는 (Bierstone & Milman 1997)와 같이 "최악" 특이점을 폭파하여 작동하는 알고리즘이 있지만, 이 예에서는 "최악"점의 정의가 상당히 미묘해야 함을 보여 줍니다.

x² = yz = 0을 따라 특이점이 되는 x = yz와^mⁿ 같이 더 복잡한 특이점의 경우, 원점에서 최악의 특이점을 폭파하면 m과 n이 둘 다 최소 3일 경우 원래 특이점보다 더 나쁜 특이점² x = yz와^m+n−2ⁿ² x = yz가^m^m+n−2 생성됩니다.

분해능 후, 전체 변환(엄격한 변환과 예외적인 제수의 결합)은 단순한 정규 교차 유형의 특이점을 가진 다양성이 됩니다.이러한 유형의 특이점을 해결하지 않고 특이점을 해결할 수 있는 가능성을 고려하는 것은 자연스러운 일이며, 이는 부드럽고 단순한 정규 교차점 집합에서 동형인 분해능을 찾는 것이다.엄밀한 변환이 제수인 경우(즉, 매끄러운 다양성의 코드멘션으로 하나의 하위 변수를 포함할 수 있음) 단순한 정규 교차점을 피하는 강력한 분해능이 존재하는 것으로 알려져 있다.휘트니의 우산은 정상적인 교차 특이점을 날려버리는 것을 피하는 것이 불가능하다는 것을 보여준다.

증분 분해능 절차에는 메모리가 필요합니다.

특이점을 해결하는 자연스러운 방법은 규범적으로 선택된 부드러운 하위 변수를 반복적으로 확대하는 것입니다.이 경우 다음과 같은 문제가 발생합니다.x = yz의²²² 단수 집합은 y축과 z축에 의해 주어진 선의 쌍입니다.폭파할 수 있는 유일한 합리적인 변종은 원점, 이 두 축 중 하나 또는 전체 단일 집합(양쪽 축)입니다.그러나 전체 단수 집합은 매끄럽지 않기 때문에 사용할 수 없으며, 두 축 중 하나를 선택하면 둘 사이의 대칭이 깨지기 때문에 표준이 아닙니다.원점을 부풀리는 것부터 시작해야 하는데, 이것은 원래의 특이점을 재현하고 있기 때문에 원을 그리며 돌고 있는 것 같습니다.

이 문제에 대한 해결책은 원점을 폭파해도 특이점의 유형이 바뀌지는 않지만, 미묘한 개선을 가져온다는 것입니다. 즉, 두 단수 축 사이의 대칭이 깨지는 이유는 두 단수 축 중 하나가 이전의 폭발에 대한 예외적인 약수이기 때문입니다. 따라서 이제 이 중 하나만 폭파할 수 있기 때문입니다.단, 이것을 이용하려면 해결 절차에서는 이들 2개의 특이점을 국소적으로 동일하더라도 다르게 취급할 필요가 있습니다.이것은, 해상도 프로시저에 메모리를 주는 것에 의해서 행해지는 경우가 있기 때문에, 각 스텝의 블로업의 중심은 특이점 뿐만이 아니라, 그것을 생성하기 위해서 사용한 이전의 블로업에 의해서도 좌우됩니다.

해상도는 기능하지 않는다

원뿔 특이점² x + y² = z²

일부 분해 방법(특성 0에서)은 모든 부드러운 형태에 대해 기능합니다.그러나 모든 (아마도 매끄럽지 않은) 형태에 대해 강력한 해상도 함수를 찾을 수 없습니다.예를 들어 아핀 평면² A에서 원추형 특이점² x + y² = z² 테이킹(2XY, X² - Y², X² + Y²)까지의 지도에 대해 설명한다.XY 평면은 이미 비싱글이므로 분해능에 의해 변경되어서는 안 되며, 원추형 특이점의 분해능은 특이점을 폭파함으로써 얻을 수 있는 최소 분해능을 통해 인수분해됩니다.그러나 XY 평면에서 이 확대까지의 합리적인 맵은 일반 맵으로 확장되지 않습니다.

최소 해상도는 필요 없음

최소 해상도(모든 분해능 계수가 이를 통과하는 분해능)는 1차원과 2차원으로 존재하지만 항상 높은 차원은 아닙니다.아티야 플랍은 최소 분해능이 없는 특이점의 3차원 예를 제공합니다.Y를 A에서⁴ xy = zw의 0으로 하고 V를 원점에서의 Y의 팽창으로 합니다.이 팽창의 예외적 궤적은 P×P와¹¹ 동형이며, 2가지 다른 방법으로 P로¹ 하강할 수 있으며, 두 가지 모두 더 이상 하강할 수 없는 작은 분해능₁ X와₂ X를 제공합니다.

해결은 제품과 함께해서는 안 된다.

Kollarr(2007, 사례 3.4.4, 페이지 121)는 제품과 함께 이동하기에 충분한 해결 절차를 기대할 수 없음을 보여주는 다음과 같은 예를 제시한다.f:A→B가 아핀 3공간에 있는 4원추 B의 원점을 부풀린 경우 f×f:A×A→B×B는 본질적으로 예외 궤적이 교차하는 2개의 성분을 가지고 있기 때문에 에테일 국소 분해능 절차로 생성할 수 없다.

토릭 품종의 특이점

토릭 품종의 특이점은 명시적으로 해결하기 쉬운 고차원 특이점의 예를 제시합니다.토릭 품종은 격자의 원뿔 집합인 팬에 의해 정의됩니다.특이점은 각 원뿔을 격자의 기초에 의해 생성되는 원뿔의 결합으로 세분화하고 대응하는 토릭 품종을 취함으로써 해결할 수 있다.

X의 정규 하위 변동인 중심 선택

품종 X의 탈세라화 시공은 X의 부드러운 서브변종인 폭발의 중심을 생성하지 않을 수 있다.추상 품종 X의 탈규격화 구조 중 상당수는 W에서의 이상을 고려하여 부드러운 품종 W에 X를 국소적으로 삽입하고 이 이상의 정규 탈규격화를 연산함으로써 진행된다.이상의 탈규화는 이상이 얼마나 특이한가를 측정하는 척도로 이상적 순서를 사용한다.이상에 대한 탈밀화는 지역 센터가 글로벌 센터를 제공하기 위해 함께 패치하는 것을 정당화할 수 있도록 만들어질 수 있다.이 방법은 힐버트-사무엘 함수를 특이점이 얼마나 나쁜지를 측정하는 히로나카의 원래 증거에 비해 비교적 제시하기 쉬운 증거로 이어진다.예를 들어, Villamayor(1992) harvhts 오류의 증명: CITREFVillamayor1992(도움말), Encinas & Villamayor(1998), Encinas & Hauser(2002), Kollarr(2007)는 이 아이디어를 사용한다.단, 이 방법에서는 W에서 규칙적인 폭파 중심만 확보합니다.

다음 예시는 이 방법을 통해 (의 엄밀한 변환)^[3] X와의 교차가 평활하지 않은 중심을 생성할 수 있음을 보여 줍니다.따라서 추상 품종 X에 한정되어 있는 경우, X의 규칙적인 서브 바리에이션을 부풀리는 것으로는 얻을 수 없다.

X를 y-x 및 x+xz-w에²³ 의해²³⁴ 생성된 좌표 x,y,z,w를 갖는 4차원 아핀 평면의 하위변수로 하자.이러한 생성기를 사용하여 이상적인 표준 탈규격화를 수행하면 x=y=z=w=0으로 주어진 중심₀ C가 파괴될 것이다.x-y² 및 y²(y²+z-w²³)에 의해 생성되는 경우 x-차트의 이상 변환.C의₁ 다음 폭발 중심은 x=y=0이다.단, X의 엄밀한 변환은 X이며₁ x-y² 및² y+z-w에²³ 의해 생성됩니다.즉, C와₁ X의₁ 교차는 x=y=0과 z-w²³=0으로 주어지며, 이는 정규가 아닙니다.

X의 강한 증명의 규칙적인 서브바리안트인 폭발의 중심을 생성하려면 ^[4]W의 국소 매립에서의 이상 순서보다 X의 국소 고리의 힐버트-사무엘 함수를 사용한다.