단수 해법

일반적인 미분방정식의 단일_s 솔루션 y(x)는 단수이거나 초기 가치 문제(일부 저자에 의해 Cauchy 문제라고도 함)가 해결책의 어느 시점에서 고유한 솔루션을 갖지 못하는 솔루션이다.솔루션이 단수인 집합은 단일 점만큼 작거나 전체 실제 선만큼 클 수 있다.초기 가치 문제가 고유한 솔루션을 갖지 못한다는 점에서 단수적인 해결책은 단수함수가 될 필요가 없다.

어떤 경우에는 단일 솔루션이라는 용어가 곡선상의 모든 지점에서 초기 가치 문제에 고유성이 결여된 솔루션을 의미하기 위해 사용된다.이러한 강한 의미에서의 단일한 해결책은 종종 해결책의 한 계열의 모든 해결책에 접선하여 주어진다.접선이란 y_s(x) = y_c(x) 및 y'(_sx) = y'(x) = y'(_cx)가 있는 점을 의미하며, 여기서 y는_c c에 의해 매개변수화된 솔루션 제품군의 솔루션이다.이것은 단수 해결책이 해결책 가족의 외피라는 것을 의미한다.

일반적으로, 단수 해법은 0과 같은 용어로 나눌 필요가 있을 때 미분 방정식에 나타난다.따라서 미분방정식을 풀고 분단을 사용할 때, 항이 0일 경우 어떤 일이 일어나는지, 그리고 그것이 단수해결로 이어지는지를 반드시 확인해야 한다.고유한 해결책이 존재하기 위한 충분한 조건을 제공하는 피카르-린델뢰프 정리는 단수 해결책의 존재를 배제하는 데 사용될 수 있다.피아노 존재 정리 같은 다른 이론들은 반드시 고유하지 않아도 해결책이 존재할 수 있는 충분한 조건을 주므로 단수 해결책의 존재를 허용할 수 있다.

서로 다른 해결책

동종 선형 보통 미분 방정식을 고려한다.

xy'(x)+2y(x)=0,\,\!

여기서 primes는 x에 관한 파생상품을 나타낸다.이 방정식의 일반적인 해결책은

y(x)=Cx^{-2}\,\!

주어진 $C$ $C$ 의 경우 이 솔루션은 솔루션이 $x=0$ 다른 $x=0$ = 0 $x=0$ 을(를) 제외하고 매끄럽다 $C$ 더욱이, $x\not =0$ $x\not =0$ $x\not =0$ 0 ${\displaystyle$ x $\not =0}$ 의 경우 $x\not =0$ 이것은 $(x,y(x))$ , y $(x,y(x))$ ( $(x,y(x))$ ) $(x,y(x))$ {\ $displaystyle (x,y(x)}$ 을 통과하는 고유한 솔루션이다 $(x,y(x))$

고유성 실패

미분 방정식 고려

y'(x)^{2}=4y(x).\,\!

이 방정식에 대한 1-모수 해법은 다음과 같다.

y_{c}(x)=(x-c)^{2}\,\!

또 다른 해결책은 다음과 같다.

y_{s}(x)=0.\,\!

연구 중인 방정식이 1차 방정식이기 때문에 초기 조건은 초기 x와 y 값이다.위의 두 가지 솔루션 세트를 $y=0$ 으로써 $y=0$ = 0 $y=0$ . ( $y>0$ > $y>0$ $y>0$ 의 경우 제곱근의 단일 분기를 선택한 경우 $y>0$ Picard-Lindelöf 정리를 사용하여 고유한 로컬 솔루션이 있음을 알 수 있다.)따라서, 위의 해결책은 하나 이상의 지점의 인접 지역에서 해결책이 고유하지 못하다는 점에서 모두 단일한 해결책이다.(일반적으로, 우리는 이 지점에서 "독특성이 실패한다"고 말한다.)첫 번째 솔루션 세트의 경우 $x=c$ = $x=c$ ${\displaystyle$ x $=c$ 두 번째 솔루션의 경우 $x$ $x$ 의 모든 값에서 고유성이 실패함 $x$ 따라서 솔루션 $y_{s}$ $y_{s}$ ${\$ 는 x의 모든 값에서 고유성이 실패한다는 더 강한 의미에서 단수 솔루션이지만 $y_{s}$ , 그것과 그 모든 파생상품이 연속적이기 때문에 단수 함수는 아니다.

이 $y_{s}(x)=0$ 에서 $y_{s}(x)=0$ $y_{s}(x)=0$ $y_{s}(x)=0$ x $y_{s}(x)=0$ ) $y_{s}(x)=0$ = 0 $y_{s}(x)=0$ 은 솔루션 $y_{s}(x)=0$ $y_{c}(x)=(x-c)^{2}$ 의 엔벨롭( $y_{c}(x)=(x-c)^{2}$ ) $y_{c}(x)=(x-c)^{2}$ $y_{c}(x)=(x-c)^{2}$ x ) $y_{c}(x)=(x-c)^{2}$ = $y_{c}(x)=(x-c)^{2}$ ( $y_{c}(x)=(x-c)^{2}$ - $y_{c}(x)=(x-c)^{2}$ ) 2 ${\$ )=(x-c $)^{2$ 솔루션 $y_{s}$ $y_{s}$ ${\$ 은 $(c,0)$ $(c,0)$ 0 ) ${\displaystyle$ $y_{c}(x$ $)}$ 지점의 $y_{c}(x)$ 모든 곡선 $y_{c}(x)$ $y_{c}(x)$ $x$ $y_{c}(x)$ )에 접선되어 $y_{s}$ 있다 $(c,0)$

고유성의 실패는 더 많은 해결책을 만드는 데 사용될 수 있다.이 때 x고()− c1)2{\displaystyle(x-c_{1})^{2}()){\displaystyle y())}에스파냐의 해결책을 정의하는};요리 1{\displaystyle x<,{c_ 1}}, 0두 상수 c1<>요리 2{\displaystyle c_{1}<, c_{2}}<>로 발견될 수 있{0\displaystyle} 때 c1≤)≤ c2. {\display스타일 c_{1}\leq x\leq c_{2}},()− c2)2{\displaystyle(x-c_{2})^{2}} 때 x>요리 2{\displaystyle x>, c_{2}}. 직접 계산은 미분 방정식의 모든 위치에서 x)c1{\displaystyle x=c_{1}}x)c2{\displaystyle x=c_{2}등 이 있는 해결책을 보여 준다.}. Uc $c_{1}\leq x\leq c_{2}$ c $c_{1}\leq x\leq c_{2}$ $c_{1}\leq x\leq c_{2}$ x $c_{1}\leq x\leq c_{2}$ $c_{1}\leq x\leq c_{2}$ $c_{1}\leq x\leq c_{2}$ ${\$ 에서 이러한 솔루션에 대한 고유성이 실패하며, 두 번째 파생상품이 $x=c_{1}$ 하지 않는다는 점에서 x $x=c_{1}$ = c $x=c_{1}$ ${\$ x $=c_{1$ } 및 $x=c_{1}$ $x=c_{2}$ = $x=c_{2}$ $x=c_{2}$ ${\$

고유성 실패의 추가 예

앞의 예에서는 고유성의 $y(x)=0$ 가 y $y(x)=0$ ( $y(x)=0$ ) = $y(x)=0$ {\ $displaystyle$ y $(x)=0}$ 과(와) 직접 관련이 있다는 잘못된 인상을 $y(x)=0$ 줄 수 있다. 고유성의 실패는 클레라우트의 방정식의 다음 예에서도 볼 수 있다.

[\displaystyle y(x)=x\cdot y'+(y')^{2}\,\!}

우리는 y' = p라고 쓰고 그리고 나서

y(x)=x\cdot p+(p)^{2}\,\!

이제 x:에 따라 차등 차등 차등 차등 차등 차등 차등 차등 차등

[\displaystyle p=y'=p+px'+2pp'\,\!}

단순한 대수학으로 산출되는 것

0=(2p+x)p'\,\!

이 조건은 2p+x=0이거나 p'=0일 경우 해결된다.

p' = 0이면 y' = p = c = 상수를 의미하며, 이 새로운 방정식의 일반적인 해법은 다음과 같다.

y_{c}(x)=c\cdot x+c^{2}\,\!

여기서 c는 초기 값에 의해 결정된다.

x + 2p = 0이면 p = -(1/2)x를 얻고 ODE에서 대체하면

y_{s}=-{\tfrac {1}{1}:{2}}x^{2}+(-{\tfrac {1}{2}}x)^{2}=-{\tfrac {1}{1}{4}x^{2}.\,\!

이제 우리는 이 해결책들이 언제 단수 해결책인지 확인할 것이다.두 해법이 서로 교차하는 경우 즉, 두 해법이 모두 같은 지점(x,y)을 거치면 1차 일반 미분 방정식에 고유성의 오류가 발생한다.따라서 첫 번째 형태의 해법이 두 번째 해법과 교차한다면 고유성의 실패가 있을 것이다.

교차로 조건은 : y_s(x) = y(x_c)이다.우리는 해결한다.

c\cdot x+c^{2}}}=y_{c}(x)=y_{s}(x)=-{\tfrac {1}{4}x^{2}\,\!

교차점 찾기, 즉 $(-2c,-c^{2})$ ( $(-2c,-c^{2})$ - $(-2c,-c^{2})$ $(-2c,-c^{2})$ , $(-2c,-c^{2})$ - $(-2c,-c^{2})$ $(-2c,-c^{2})$ ) ${\displaystyle(-2c,-c^{2})$ .