라운드 함수

"원형 함수"는 라운딩을 의미할 수도 있다.

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위상 및 미적분학에서 원형 함수는 $다지관{\displaystyle }$ M$${\$displaystyle$ $M$$\to${\$mathb{R}}}$ 위에$$있는 스칼라 $함수{\displaystyle }$ M${\displaystyle }$→ R ${\$$displaystyle$ M$}}}$이며$,$ 임계 점은 하나 또는 여러 개의 연결된 구성요소를 형성하며, 각 요소는 원 $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$ S^1}에$동형$이며$,$ 임계 루프라고도 한다.그것들은 모스-보트 기능의 특별한 경우들이다.

예를 들어.

예를 들어, $M{\displaystyle }${\$displaystyle$M}을(를) torus로 한다$$.내버려두다

${\displaystyle K=(0,2\pi )\time (0,2\pi \,}$

그럼 우린 지도가

${\displaystyle X\colon K\to {\mathb {R}}^{3}\,}$

에 의해 주어지는.

$\displaystyle X(\theta ,\phi )=((2+\cos \theta )\cos \phi, (2+\cos \theta )\cos \phi,\sin \cos \cosin \,},}$

거의 모든 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에 대한 파라메트리제이션$.$ 이제 ${\displaystyle {projection\mathrm{}}_{}}$ 3${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle R^{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle 3\mathbb{}{}^{}}$→ R ${\$을(를) 통해 제한을$$ 받게 된다.

${\displaystyle G=\pi _{3} _{M}\colon M\to {\mathb {R}}},(\theta ,\phi )\mapsto \sin \theta \,}$

${\displaystyle G}$= ${\displaystyle G}$ (${\displaystyle \theta }$ ,${\displaystyle \varphi }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle G=G(\theta ,\phi )=\sin \theta }$은(는) 다음과 같이 중요한 집합이 결정되는 함수다$$.

${\displaystyle {\rm {grad}\G(\theta ,\phi )=\왼쪽({\partial }G \over {\partial }\theta }},{\partial }G \over {\partial }\pi }\오른쪽)\!\left(\theta ,\phi \right)=(0,0),\,}$

$이것$은 만약 ${\displaystyle =}$ = ${\displaystyle \frac{2}{}\text{2}\frac{\mathrm{}}{}}$, ${\displaystyle \frac{3}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ 2$${\$displaystyle \theta ={\pi \over2},\$ {$3\pi$\over2$},\{$3\pi \$over2$}, 2$.}$일 경우에만 해당된다$.$

$\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta}$에 대한 이 두 값은 임계 세트를 제공한다$$.

${\displaystyle X({\pi /2},\phi )=(2\cos \phi,2\sin \phi,1)\,}$

${\displaystyle X({3\pi /2},\phi )=(2\cos \phi,2\sin \phi ,-1)\,},}$

Torus $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$ 위에 있는 두 개의 극단 원들을 나타낸다$.$

이 함수에 대한 헤시안이

${\displaystyle {\rm {hess}(G)={\begin{bmatrix}-\sin \theta &0\\0&0\end{bmatrix}}}$

즉, 임계 지점이 분리되지 않았음을 보여 주는 태그된 원과 동일한$$ $h{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{e}}$ ${\displaystyle \mathrm{s}(G}$) ${\displaystyle {\rm {hess}(G)}$의 순위로 분명히 드러낸다.

라운드 복잡성

L-S 범주 이론을 모방하면 다지관의 원형 기능 존재 여부 및/또는 최소 임계 루프 수를 요구하는 원형 복잡성을 정의할 수 있다.

참조

• Siersma와 Khimshiasvili, 최소 라운드 기능에 대해 Utrecht 대학교 수학학부 Preprint 1118, 1999, 페이지 18.[1].[2]의 업데이트