탈착식 특이점

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복잡한 분석에서, 홀모픽 함수의 탈착 가능한 특이점은 함수가 정의되지 않은 지점이지만, 결과 함수가 그 지점의 인접 지역에서 규칙적으로 이루어지는 방식으로 그 지점의 함수를 재정의하는 것이 가능하다.

예를 들어 (비정규화된) 동기 함수는

${\displaystyle {\text{sinc}(z)={\frac {\sin z}{z}}}}$

z = 0에서 특이점을 가진다.이 특이점은${\displaystyle \mathrm{sinc}}$ (${\displaystyle 0}$) $:=$ 1 {\$displaystyle {\text${sinc$}(0):1$을(를) 정의하여 제거할 수 있으며, 이 값은 ${\displaystyle \text{sinc}}$ ${\$의 한계는 z의 경향이 0인 것이다$$.결과 함수는 홀로모픽이다.이 경우 ${\displaystyle \text{sinc}}$ ${\$이(가) 불확실한 형태로 제공되어 문제가 발생했다.${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$( z )${\displaystyle \frac{}{}}$z ${\$에 대한 파워 시리즈 확장을 단수 포인트 주변에서$$ 수행하면

${\displaystyle {\text{sinc}}(z)={\frac {1}{z}}}{{k=0}^{\inflt }{\frac {(-1)^{k^{2k+1}:{(2k+1)!}}}\sum _{k=0}^{\inflt }{\frac {(-1)^{k^{2k}}{{k+1)!}}}}=1-{\frac {z^{2}}{3!}}}{\frac{z^{4}}{5!}}-{\frac{z^{6}}{7!}}}+\cdots .}$

형식적으로 ${\displaystyle U\mathbb{}}$ ${\displaystyle \subset }$ C ${\$ {$C}}$이(가) 복합 평면 $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 일부인 경우$,$$$$if{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle$ U$}$및 $f$${\displaystyle }$: ${\displaystyle U}$u {}${\displaystyle }$→ $stylease:$$U{\displaystyle }$$\setminus$\{$a\}\오른쪽$ 화살표 $\mathb {C}}}$은(는$)$ 홀로모르픽 함수 $g{\displaystyle }$: ${\displaystyle U\mathbb{}}$→ ${\displaystyle C}$ ${\$$U\rightarrow \mathb {C}$ ${\displaystyle$ $f$${\displaystyle \}}$과(와) $일치$하는 ${\displaystyle \backslash }$mathb {$C$$}.$ 이러한$$g ${\displaystyle g}$이$($가$)$ 존재한다면$$$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystytle U}$에 대해 홀형적으로 확장 가능하다고$$ 우리는 말한다.

리만의 정리

탈착 가능한 특이점에 대한 리만의 정리는 다음과 같다.

함축적 의미 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 4는 사소한 것이다.4 ⇒ 1을 증명하기 위해 $먼저{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$에서 함수의 홀로모피는 ${\displaystyle a}($증거)에서 분석되는 것과 동등하다는$$ 것을 기억한다(즉, 파워 시리즈 표현).정의

${\displaystyle h(z)={\displaystyle h(z)={\base}(z-a)^{2}f(z)&z\neq a,\0&z=a.\end{case}}}$

$분명히{\displaystyle }$ D ${\displaystyle \setminus }$ { ${\displaystyle a\}}$ ${\displaystyle D\setminus$\{$a$에 h가 홀로모르픽이고, 존재함

${\displaystyle h'(a)=\lim _{z\to a}{\frac {(z-a)^{2}f(z)-0}{z-a}=\lim _{z\to}(z-a)f=0}$

4에 의해, 따라서 h는 D에서 홀로모르픽이며, a에 대한 Taylor 시리즈를 가지고 있다.

${\displaystyle h(z)=c_{0}+c_{1}(z-a)+c_{2}(z-a)^{2}+c_{3}(z-a)^{3}+\cdots \,}$

c₀ = h(a) = 0이고 c₁ = h'(a) = 0이므로

${\displaystyle h(z)=c_{2}(z-a)^{2}+c_{3}(z-a)^{3}+\cdots \,}$

따라서, z a a에서는 다음과 같이 한다.

${\displaystyle f(z)={\frac {h(z)}^{2}}=c_{2}+c_{3}(z-a)+\cdots \,}$

하지만

${\displaystyle g(z)=c_{2}+c_{3}(z-a)+\cdots \,}$

D에 홀로모르픽이므로 f의 확장이다.

다른 종류의 특이점

실제 변수의 함수와는 달리, 홀로모르픽 함수는 그들의 고립된 특이점들이 완전히 분류될 수 있을 정도로 충분히 경직되어 있다.홀로모르픽 함수의 특이점은 실제로 특이점, 즉 탈착 가능한 특이점 또는 다음 두 가지 유형 중 하나가 아니다.

1. In light of Riemann's theorem, given a non-removable singularity, one might ask whether there exists a natural number ${\displaystyle m}$ such that ${\displaystyle \lim _{z\rightarrow a}(z-a)^{m+1}f(z)=0}$. If so, ${\displaystyle a}$ is called a pole of ${\displaystyle f}$그리고 가장 작은 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$은(는) ${\displaystyle$a}의 순서다$.$ 따라서 탈착 가능한 특이점은 정확히 순서 0의 극이다.홀모형 함수는 다른 극 근처에서 균일하게 폭발한다.
2. $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 격리된 특이점 $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$이(가) 분리 가능하지도 않고 폴(pole)도 아닌$$ 경우 필수 특이점이라고 한다.$그레이트{\displaystyle }$ 피카르 정리에서는 그러한 f {\$displaystyle f}$이(가$)$ 구멍 난 동네 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle \setminus \{\}}$ ${\displaystyle U\setminus \{a\}}}$ 모든 구멍을 복잡한 평면에 매핑하고$$$$ 있으며, 단 한 지점만 예외로 한다.

참고 항목

• 분석용량
• 탈착식 불연속성

외부 링크

• 수학 백과사전의 탈착식 단수점