대수적 수론

현대 대수적 수론의 창시작 중 하나인 디스퀴지스 산술 제1판 제목 페이지.

대수적 수론은 정수, 유리수, 그리고 그 일반화를 연구하기 위해 추상대수의 기술을 사용하는 수 이론의 한 분야이다.수이론 질문은 대수적 수장과 정수, 유한장, 함수장과 같은 대수적 객체의 특성으로 표현된다.고리가 독특한 인수분해를 허용하는지 여부, 이상의 행동, 그리고 디오판토스 방정식에 대한 해답의 존재와 같이 수 이론에서 가장 중요한 질문들을 해결할 수 있습니다.

대수적 수론의 역사

디오판토스

대수적 수 이론의 시작은 디오판토스 ^[1]방정식으로 거슬러 올라갈 수 있는데, 디오판토스 방정식은 3세기 알렉산드리아의 수학자 디오판토스의 이름을 따서 이름 붙여졌다. 디오판토스 방정식은 디오판토스 방정식의 어떤 종류의 해법을 연구하고 개발했다.일반적인 디오판틴 문제는 두 정수 x와 y의 합과 제곱합이 각각 주어진 두 숫자 A와 B와 같도록 하는 것입니다.

A=x+y\

(\displaystyle B=x^{2}+y^{2}).\ }

디오판토스 방정식은 수천 년 동안 연구되어 왔다.예를 들어, 2차 디오판토스 방정식² x + y² = z에² 대한 해는 원래 바빌로니아인들에 의해 풀린 피타고라스 3배들에 의해 주어진다(기원전 1800년).c.^[2]26x + 65y = 13과 같은 선형 디오판틴 방정식에 대한 해는 유클리드 알고리즘(기원전 ^[3]5세기 경)을 사용하여 찾을 수 있다.

디오판투스의 주요 작품은 산술메티카였는데, 그 중 일부만 남아 있다.

페르마

페르마의 마지막 정리는 1637년 피에르 드 페르마에 의해 처음으로 추측되었는데, 그가 너무 커서 여백에 들어갈 수 없는 증거를 가지고 있다고 주장한 산술메티카의 사본의 여백에서 잘 알려져 있다.358년 동안 수많은 수학자들의 노력에도 불구하고 1995년까지 성공적인 증거는 발표되지 않았다.풀리지 않은 문제는 19세기 대수적 수 이론의 발전과 20세기 모듈화 정리의 증명을 자극했다.

가우스

대수적 수 이론의 기초 작품 중 하나인 디스퀴지스 산술(라틴어:산술적 조사)는 가우스가 21세 때인 1798년에 라틴어로 쓰여져 24세^[4] 때인 1801년에 처음 출판된 수론 교과서이다.이 책에서 가우스는 페르마, 오일러, 라그랑주, 레전드르와 같은 수학자들이 얻은 수 이론의 결과를 종합하고 그 자신의 중요한 새로운 결과를 추가한다.디스퀴즈가 출판되기 전에, 수 이론은 고립된 이론과 추측의 집합으로 구성되었다.가우스는 그의 전임자들의 작업을 그의 원래 작품과 함께 체계적 틀로 가져왔고, 빈칸을 채우고, 불건전한 증거를 바로잡고, 수많은 방법으로 주제를 확장했다.

디스퀴지즈는 에른스트 쿠머, 피터 구스타프 레준 디리클레, 리하르트 데데킨드를 포함한 다른 19세기 유럽 수학자들의 연구의 출발점이 되었다.가우스가 제시한 주석의 대부분은 사실상 그 자신의 추가 연구에 대한 발표이며, 그 중 일부는 발표되지 않은 채로 남아 있다.그것들은 그의 동시대인들에게 특히 수수께끼처럼 보였을 것이다; 우리는 이제 그것들을 특히 L-함수와 복소수 곱셈 이론의 세균을 포함하고 있는 것으로 읽을 수 있다.

디리클레

1838년과 1839년의 두 개의 논문에서 피터 구스타프 르준 디리클레는 2차 형식에 대한 첫 번째 클래스 수식을 증명했다.야코비가 "인간의 통찰력의 한계에 도달하는" 결과라고 불렀던 이 공식은 보다 일반적인 ^[5]수장에 관한 유사한 결과를 얻을 수 있는 길을 열어주었다.2차장의 단위군 구조에 대한 그의 연구를 바탕으로, 그는 대수적 수 ^[6]이론의 기본 결과인 디리클레 단위 정리를 증명했다.

그는 디오판틴 근사에서의 정리의 증명에서 비둘기 구멍의 원리, 즉 기본 계수 원칙을 사용하였고, 나중에 그의 이름을 따서 디리클레의 근사 정리로 명명되었다.그는 사례 n = 5와 n = 14를 증명한 페르마의 마지막 정리, 그리고 2차 상호 ^[5]법칙에 중요한 기여를 했다.그가 첫 번째 결과를 발견한 디리클레 제수 문제는 다른 연구원들에 의한 나중에의 기여에도 불구하고 여전히 수 이론에서 해결되지 않은 문제이다.

데데킨트

Lejeune Dirichlet의 작품에 대한 Richard Dedekind의 연구는 그가 나중에 대수적 수장과 이상을 연구하게 한 계기가 되었다.1863년 그는 르준 디리클레의 수이론 강의를 다음과 같이 썼다.

비록 이 책은 확실히 디리클레의 강의에 바탕을 두고 있고, 데데킨트 자신도 평생 이 책을 디리클레의 것이라고 언급했지만, 이 책 자체는 디리클레의 죽음 이후 대부분 데데킨트에 의해 전적으로 쓰여졌다. (에드워드 1983년)

1879년과 1894년 판의 볼레선겐은 링 이론의 이상적이고 기초적인 개념을 소개하는 부록을 포함했다. (나중에 힐베르트에 의해 소개된 "반지"라는 단어는 데데킨드의 작품에는 등장하지 않는다.)데데킨드는 정수 계수로 다항식 방정식을 만족시키는 대수 정수로 구성된 숫자의 집합으로 이상을 정의했다.이 개념은 힐베르트, 특히 에미 노에터의 손에 의해 더욱 발전되었다.이상은 페르마의 마지막 정리를 증명하려는 1843년 쿠머의 시도의 일부로 고안된 에른스트 에두아르트 쿠머의 이상적인 숫자를 일반화한다.

힐베르트

다비드 힐베르트는 1897년 그의 논문 잘베리히트를 통해 대수적 수 이론의 분야를 통합했다.그는 또한 1770년 와링에 의해 공식화된 중요한 수의 이론 문제를 해결했다.최종성 정리와 마찬가지로,^[7] 그는 답을 도출하기 위한 메커니즘을 제공하기 보다는 문제에 대한 해결책이 있어야 한다는 것을 보여주는 존재 증거를 사용했다.그리고 나서 그는 그 주제에 대해 출판할 것이 거의 없었다; 그러나 한 학생의 논문에서 힐버트 모듈러 형식의 출현은 그의 이름이 주요 분야에 더 많이 붙어있다는 것을 의미한다.

그는 계급장 이론에 대해 일련의 추측을 했다.그 개념들은 매우 영향력이 있었고, 그의 공헌은 힐베르트 계급장과 지역 계급장 이론의 힐베르트 기호라는 이름으로 지속되었다.결과는 1930년 ^[8]다카기 테이지의 작업 후 대부분 증명되었다.

아르틴

에밀 아르틴은 일련의 논문에서 아르틴 상호주의 법칙을 확립했다.이 법칙은 글로벌 클래스 필드 ^[9]이론의 중심 부분을 이루는 수 이론의 일반 정리입니다."반복법칙"이라는 용어는 2차 호혜법칙과 아이젠슈타인과 쿠머의 호혜법칙에서 표준기호에 대한 힐베르트의 곱 공식에 이르기까지 보다 구체적인 수의 이론적 진술의 긴 줄을 말한다.Artin의 결과는 Hilbert의 아홉 번째 문제에 대한 부분적인 해결책을 제공했다.

현대 이론

1955년 경, 일본의 수학자 시무라 고로와 타니야마 유타카는 완전히 다른 두 가지 수학, 타원 곡선, 모듈러 형태 사이의 가능한 연관성을 관찰했다.결과 모듈성 정리(당시 타니야마로 알려짐)Shimura 추측)은 모든 타원 곡선이 모듈식이며, 이는 고유한 모듈식 형태와 연관될 수 있음을 의미합니다.

처음에는 가능성이 낮거나 매우 추측적인 것으로 여겨졌으며, 숫자 이론가 안드레 베일이 이를 뒷받침하는 증거를 찾았을 때 더 심각하게 받아들여졌지만 증거는 없었다. 그 결과 "놀라운"^[10] 추측은 종종 타니야마로 알려졌다.시무라웨일 추측그것은 입증 또는 반증이 필요한 중요한 추측들의 목록인 랭글랜드 프로그램의 일부가 되었다.

1993년부터 1994년까지 앤드류 와일스는 반안정 타원 곡선에 대한 모듈성 정리의 증명을 제공하였고, 리벳의 정리와 함께 페르마의 마지막 정리에 대한 증명을 제공하였다.그 당시 거의 모든 수학자들은 페르마의 마지막 정리와 모듈성 정리가 가장 최신의 발전에도 불구하고 증명하는 것이 불가능하거나 사실상 불가능하다고 생각했다.와일즈는 1993년 6월에^[11] 그의 증거를 발표했는데, 곧 중요한 시점에 심각한 차이가 있는 것으로 인식되었다.이 증거는 와일스에 의해 부분적으로 리차드 테일러와 협력하여 수정되었고, 널리 받아들여진 최종본은 1994년 9월에 공개되었고 1995년에 정식으로 출판되었다.증명은 대수기하학과 수론으로부터 많은 기술을 사용하며, 수학의 이러한 분야들에 많은 영향을 끼친다.그것은 또한 체계와 이와사와 이론과 같은 현대 대수기하학의 표준 구성 및 페르마가 이용할 수 없는 다른 20세기 기법들을 사용한다.

기본 개념

고유 인수 분해 실패

정수의 고리의 중요한 특성은 그것이 산술의 기본 정리를 만족시키고, 모든 (양수) 정수는 소수 곱으로 인수분해를 가지며, 이 인수분할은 인자의 순서까지 독특하다는 것이다.이것은 대수적 수 $필드$ K의 $정수$ O의 고리에서는 더 이상 사실이 아닐 수 있다.

소수 원소는 O의 $원소$ p로 p가 $곱$ ab를 $나누면$ a $또는$ b 중 $하나$ 를 나눈다.이 속성을 만족하는 양의 정수는 1 또는 $소수$ 이기 때문에 이 속성은 정수의 primality와 밀접한 관련이 있습니다.하지만, 그것은 엄격히 약하다.예를 들어 $-2$ 는 음수이기 때문에 소수가 아니라 소수입니다.소수 원소로 인수 분해가 허용되면, 정수에서도 다음과 같은 대체 인수 분해가 있습니다.

(\displaystyle 6=2\cdot 3=cdot2)\cdot(-3)}

$일반적$ 으로 u가 단위이고, O에서 $곱셈$ 역수를 의미하며, p가 소수 $원소$ 이면 up도 $소수$ 원소이다.p나 $up$ 등의 $숫자$ 는 연관성이 있다고 합니다.정수에서는 $소수$ p와 $-p$ 가 관련지어지지만 양수인 것은 둘 중 하나뿐입니다.소수가 양수여야 하는 경우 연관된 소자 집합 중에서 고유한 요소가 선택됩니다.그러나 K가 유리수가 아닐 때는 긍정의 유사점이 없다.예를 들어, $가우스$ 정수 $Z [$ ^[12]i]에서는 $숫자 1$ + $2i와 -2$ + i가 연관되어 있는데, 이는 후자가 전자의 i의 $곱$ 이기 때문이지만, 한쪽이 다른 쪽 정수보다 더 정준적인 것으로서 제외하는 방법은 없기 때문이다.이것은 다음과 같은 방정식으로 이어진다.

5=(1+2i)(1-2i)=(2+i)(2-i),

즉, Z[ $i]$ 에서 인수 분해가 요인의 순서까지 고유하지 않다는 것을 증명합니다.따라서 고유 인수분해 도메인(UFD)에서 사용되는 고유 인수분해 정의를 채택할 수 있습니다.UFD에서 인수분해에서 발생하는 주요 원소는 단위와 그 순서에서만 고유할 것으로 예상된다.

그러나, 이러한 약한 정의에도 불구하고, 대수적 수 필드에 있는 많은 정수환들은 고유한 인수분해를 인정하지 않는다.이상 계급군이라는 대수적 장애가 있다.이상적인 클래스 그룹이 사소한 경우 링은 UFD입니다.그렇지 않은 경우, 주요 원소와 환원 불가능한 원소의 구별이 있습니다.환원 불가능한 $원소$ x는 x = $yz이면$ y $또는$ z 중 $하나$ 가 단위인 원소이다.이것들은 더 이상 고려될 수 없는 요소들이다.O의 모든 원소는 환원 불가능한 원소로 인수분해를 허용하지만 둘 이상의 원소를 허용할 수 있습니다.모든 소수가 환원 불가능한 반면 일부 소자는 소수가 아닐 수 있기 때문입니다. $예$ 를 들어, 링 Z $[-- 5]$ ^[13]에 대해 생각해 봅시다. $이$ 고리에서는 3, $2 + δ-5$ $및$ 2 - $δ-5가$ 환원 불가하다.즉, $숫자$ 9는 두 개의 인수분해를 통해 환원할 수 없는 원소로 분할됩니다.

(\displaystyle 9=3^{2}=(2+{\displayrt {-5})(2-{\displayrt {-5})).}

이 방정식은 3이 곱 $(2 +$ √- $5)(2 - --5)$ = $9$ 를 나눈다는 $것$ 을 보여준다. $만약$ 3이 소수 원소라면 2 $+ --5$ $또는$ 2 - $--5$ 를 $나누지만$ , 3으로 $나눌$ 수 있는 모든 원소는 $3a$ + $3b --5$ 의 형태이기 때문에 그렇지 않다.마찬가지로, 2 + $δ-5와$ 2 - $δ-5$ 는 $곱 2$ 3을 나누지만, 둘 다 3 자체를 $나누지$ 않기 때문에 둘 다 소수가 아니다. $3$ , $2 + δ-5$ $및$ 2 - $δ-5$ 를 동등하게 할 수 있는 의미가 없기 때문에 Z $[δ-5]$ 에서는 고유 인수분해는 실패한다.정의를 약화시켜 고유성을 회복할 수 있는 유닛의 상황과 달리 이 장애를 극복하려면 새로운 시각이 필요합니다.

주요 이상으로 인수분해

$만약$ 내가 $O$ 의 이상이라면, 항상 인수분해가 있다.

I=mathfrak {p}_{1}^{e_{1}\cdots {mathfrak {p}_{t}^{e_{t}}}

여기서 각 ${\mathfrak {p}}_{i}$ $(표시$ 스타일 { $mathfrak {p}}_{$ i ${\mathfrak {p}}_{i}$ })는 주요 이상이고, 이 표현은 요인의 순서에 따라 고유합니다.특히, 이것은 내가 단일 요소에 의해 생성된 주 아이디얼인 $경우$ 에 해당된다.이는 일반 번호 필드의 정수 링이 고유한 인수분해를 허용하는 가장 강력한 의미입니다.고리 이론의 언어로, 정수의 고리는 데데킨트 영역이라고 말한다.

O가 UFD일 $때$ , 모든 주요 이상은 소수 원소에 의해 생성됩니다.그렇지 않으면, 소수에 의해 만들어지지 않는 소수의 이상이 존재한다.예를 들어 Z $[θ-5]$ 에서 이상 $(2, 1$ + $θ-5)$ 은 단일 원소로 생성될 수 없는 주요 이상이다.

역사적으로 이상을 소수에 포함시키는 생각은 에른스트 쿠머의 이상수 도입에 선행되었다.이들은 K의 $확장$ $필드E$ 에 있는 숫자입니다.이 확장 필드는 현재 Hilbert 클래스 필드로 알려져 있습니다.주 아이디얼 정리에 따르면, $O$ 의 모든 소 아이디얼은 $E$ 의 정수환의 주 아이디얼을 생성한다. 이 주 아이디얼의 발생기를 이상수라고 한다.Kummer는 이것들을 사이클로토믹 분야에서 독특한 인수분해 실패의 대용품으로 사용했다.이것들은 결국 리차드 데데킨트를 이상들의 선구자로 만들고 이상들의 독특한 인수분해를 증명하도록 이끌었습니다.

하나의 숫자 필드의 정수 링에서 소수가 되는 이상은 더 큰 숫자 필드로 확장되면 소수가 되지 않을 수 있습니다.예를 들어 소수를 생각해 봅시다. $대응$ 하는 이상 $pZ$ 는 링 Z의 주요 이상입니다.그러나 이 이상을 가우스 정수로 확장하여 $pZ [i]$ 를 구하면 prime이 될 수도 있고 아닐 수도 있습니다.예를 들어, $인수분해$ 2 = (1+ $i)(1$ - i $)$ 는 다음을 의미합니다.

2\mathbf {Z} [i]=(1+i)\mathbf {Z} [i]\cdot(1-i)\mathbf {Z} [i]=(1+i)\mathbf {Z} [i]^{2};

1 + $i$ = ( $1$ $-$ i) ⋅ $i$ 이므로 1 + $i와$ 1 - $i$ 가 $생성$ 하는 이상은 동일하다는 점에 유의하십시오.어떤 이상이 가우스 정수의 소수인지를 묻는 질문에 대한 완전한 해답은 두 제곱합에 대한 페르마의 정리에 의해 제공된다.즉, 홀수 $소수$ p의 경우 $pZ [i]$ 가 p $3$ 3 $(mod$ 4 $)$ 이면 소수 이상이고 p $1$ 1 $(mod$ 4 $)$ 이면 소수 이상이 아님을 의미합니다.이는 이상 $(1$ + $i) Z [i$ ]가 소수라는 관측과 함께 가우스 정수의 원시 이상을 완벽하게 기술합니다.이 간단한 결과를 더 일반적인 정수환으로 일반화하는 것은 대수적 수 이론의 기본적인 문제이다.클래스 필드 이론은 K가 Q의 아벨 확장일 때 이 목표를 달성한다.

이상 클래스 그룹

주체가 되지 못하는 주요 이상이 있을 경우에만 독특한 인수분해는 실패한다.주요 이상이 주체가 되는 것의 실패를 측정하는 대상을 이상 계급 집단이라고 한다.이상적인 계급 그룹을 정의하는 것은 그들이 군 구조를 받아들이도록 대수 정수의 링에서 이상 집합을 확대하는 것을 필요로 한다.이것은 이상을 분수적 이상으로 일반화함으로써 이루어진다.분수 이상은 $O$ 의 원소에 의한 곱셈 하에서 닫힌 $K$ 의 가법 $부분군$ J이다. 즉, $xJ$ $x$ J $if$ x ∈ O이다.O의 $모든$ 이상은 또한 부분적인 이상이다. $I$ 와 J가 분수 $이상$ 이라면, $I$ 와 $J$ 의 원소의 모든 곱의 $집합$ IJ도 분수 이상이다.이 연산은 0이 아닌 분수 이상 집합을 그룹으로 만듭니다.군 항등식은 $이상$ (1) $=$ $O$ 이고, $J$ 의 역수는 (일반화된) 이상 지수이다.

\displaystyle J^{-1}=(O:J)=\{x\in K:xJ\subseteq O\}.}

주요 분수 이상은 x $k \times$ $K$ 인 옥스 $형태$ 의 것을 의미하며, 0이 아닌 모든 분수 이상 그룹의 하위 그룹을 형성합니다.이 부분군에 의한 0이 아닌 분수 이상 그룹의 몫이 이상적인 계급 집단이다.두 개의 분수 $이상$ $I$ 와 J는 $xI$ = $J$ 와 같은 $요소$ x $δ$ K가 존재하는 경우에만 이상 클래스 그룹의 동일한 요소를 나타낸다. 따라서, 이상 클래스 그룹은 두 개의 분수 이상을 다른 그룹만큼 주체에 가깝게 만든다.이상적인 클래스 그룹은 일반적으로 $Cl$ K, $Cl$ O $또는$ $Pic$ O로 $표시$ 됩니다(대수 기하학에서 피카르 그룹과 식별되는 마지막 표기법).

클래스 그룹의 요소 수를 K 클래스 번호라고 합니다.Q $(-- 5)$ 의 $클래스$ 번호는 2입니다.이것은 두 가지 이상 클래스, 즉 주요 분수 이상 클래스, 그리고 ( $2, 1 + --5)$ 와 같은 비원칙 분수 이상 클래스만 있다는 것을 의미한다.

이상적인 클래스 그룹에는 제수의 측면에서 또 다른 설명이 있습니다.이들은 숫자의 가능한 인수분해를 나타내는 형식 객체입니다. $제수군$ $Div$ K는 $O$ 의 소수에 의해 생성된 자유 아벨 군으로 정의된다.K부터 곱셈까지의 $0$ 이 아닌 원소인 $K$ 부터^× $Div K$ 까지 군 동형이 존재한다. $x k$ K가 다음을 만족한다고 가정합시다.

{{displaystyle(x)=mathfrak {p}_{1}^{e_{1}}\cdots {mathfrak {p}_{t}^{e_{t}}}.}

$그러면$ $div$ x가 제수로 정의됩니다.

\displaystyle \operatorname {div} x=\sum _{i=1}^{t}e_{i}[{\mathfrak {p}}_{i}]}

$div$ 의 커널은 $O$ 의 유닛 그룹이며, cokernel은 이상적인 클래스 그룹입니다.호몰로지 대수학 언어에서, 이것은 아벨 그룹의 정확한 배열이 있다고 말한다(곱셈으로 쓰임).

\displaystyle 1 to O^ {\times } {\xrightarrow {text {div}} \operatorname {Div} K \ to \operatorname {Cl} K \ to 1.}

리얼하고 복잡한 임베디드

Q $(' 2) 등$ 의 일부의 번호 필드는, 실수의 서브 필드로 지정할 수 있습니다.Q $(-- 1)$ $등$ 의 기타는 할 수 없습니다.추상적으로, 이러한 규격은 필드 $동형사상$ K → $R$ $또는$ K → $C$ 에 대응한다.이것들은 각각 실제 임베딩과 복합 임베딩이라고 불립니다.

$θ Q$ , $a$ > $0$ 및 완전 제곱이 $아닌$ 실수 2차 $필드$ Q $(θa)$ 는 2개의 실수 임베딩을 허용하지만 복잡한 임베딩을 허용하지 않기 때문에 호출된다.이것들은 각각 $θa$ 에서 $θa$ 로 $, -θa$ 로 보내는 필드 동형사상입니다.마지막으로 가상 $2차장$ Q $(θ-a)$ 는 실매립을 허용하지 않고 복합매립의 공역쌍을 받아들인다.이러한 임베디드 중 하나는 「- $a$ 」에서 「- $a$ 」로 송신하고, 다른 하나는 복소공역인 $「-- a$ 」로 송신합니다.

종래 $K$ 의 실매립수는 r, 복소매립의 공역쌍수는 r로 $한다 1 2$ .K의 시그니처는 쌍 $(r 1,$ $r 2)$ 입니다.이것은 r + $2r 2$ = $d$ 라는₁ 정리이며, $여기$ 서 d는 $K$ 의 도이다.

모든 임베딩을 동시에 고려하여 함수 $M\colon K\to \mathbf {R} ^{r_{1}}\oplus \mathbf {C} ^{r_{2}}$ : $K$ $M\colon K\to \mathbf {R} ^{r_{1}}\oplus \mathbf {C} ^{r_{2}}$ $M\colon K\to \mathbf {R} ^{r_{1}}\oplus \mathbf {C} ^{r_{2}}$ $M\colon K\to \mathbf {R} ^{r_{1}}\oplus \mathbf {C} ^{r_{2}}$ $M\colon K\to \mathbf {R} ^{r_{1}}\oplus \mathbf {C} ^{r_{2}}$ C $M\colon K\to \mathbf {R} ^{r_{1}}\oplus \mathbf {C} ^{r_{2}}$ $M\colon K\to \mathbf {R} ^{r_{1}}\oplus \mathbf {C} ^{r_{2}}$ （ \ $display style$ M \ $colon$ K \ $to$ \ $mathbf$ { R } $^$ { r $M\colon K\to \mathbf {R} ^{r_{1}}\oplus \mathbf {C} ^{r_{2}}$ _ { { r _ { } $M\colon K\to \mathbf {R} ^{r_{1}}\oplus \mathbf {C} ^{r_{2}}$ ） $M\colon K\to \mathbf {R} ^{r_{1}}\oplus \mathbf {C} ^{r_{2}}$ ^ { $r$ _ { r _ {2 $}$ } $M\colon K\to \mathbf {R} ^{r_{1}}\oplus \mathbf {C} ^{r_{2}}$ 、 $M\colon K\to \mathbf {R} ^{r_{1}}\oplus \mathbf {R} ^{2r_{2}}.$ $M\colon K\to \mathbf {R} ^{r_{1}}\oplus \mathbf {R} ^{2r_{2}}.$ : K $M\colon K\to \mathbf {R} ^{r_{1}}\oplus \mathbf {R} ^{2r_{2}}.$ $M\colon K\to \mathbf {R} ^{r_{1}}\oplus \mathbf {R} ^{2r_{2}}.$ r $M\colon K\to \mathbf {R} ^{r_{1}}\oplus \mathbf {R} ^{2r_{2}}.$ 2 $M\colon K\to \mathbf {R} ^{r_{1}}\oplus \mathbf {R} ^{2r_{2}}.$ 2 r 。he 민코프스키 내장.

복소 활용에 의해 고정된 코드메인의 부분 공간은 민코프스키 공간이라고 불리는 차원 $d$ 의 실제 벡터 공간이다.민코프스키 매립은 필드 동형사상에 의해 정의되기 때문에 K의 $요소$ 에 $요소$ x $δ$ K를 곱하는 것은 민코프스키 매립에서의 대각행렬에 의한 곱셈에 대응한다.민코프스키 공간의 도트 곱은 트레이스 형식 $\langle x,y\rangle =\operatorname {Tr} (xy)$ $\langle x,y\rangle =\operatorname {Tr} (xy)$ $\langle x,y\rangle =\operatorname {Tr} (xy)$ $\langle x,y\rangle =\operatorname {Tr} (xy)$ $\langle x,y\rangle =\operatorname {Tr} (xy)$ $y$ ( $\langle x,y\rangle =\operatorname {Tr} (xy)$ x y ){ displaystyle \ $displaystyle x$ , $y$ \ $rangle$ = \ $operatorname$ { $Tr$ } $xy )$ 에 대응합니다.

민코프스키 내장 아래의 O $이미지$ 는 d차원 격자입니다. $만약$ B가 이 격자의 $기초$ 라면^T, det $BB$ 는 O의 판별자이다.판별자는 $δ$ $또는$ D로 표시됩니다.O $이미지$ 의 co volume은 ${\sqrt {|\Delta |}}$ (\ $displaystyle {\sqrt$ {\ $Delta$ 입니다.

장소

실제적이고 복잡한 임베딩은 평가에 기초한 관점을 채택함으로써 주요 이상과 동일한 토대를 마련할 수 있습니다.예를 들어 정수를 생각해 봅시다.통상적인 절대치 함수 · : Q → R 외에 소수 p마다 정의된 p-adic 절대치 함수 · : Q → R이 있으며, p로 나눗셈을 측정한다.Ostrowski의 정리에 따르면 이것들은 모두 Q에 대해 가능한 절대값 함수이다(최대 등가).따라서 절대값은 Q의 실제 삽입과 소수 모두를 기술하는 공통 언어이다.

대수적 수장의 자리는 K에 대한 절대치 함수의 등가 클래스이다.두 가지 타입의 장소가 있습니다.O의 각 소수 ${\mathfrak {p}}$ 에 ${\mathfrak {p}}$ 대해 p $\$ $\mathfrak {p}-$ adic ${\mathfrak {p}}$ 절대값이 ${\mathfrak {p}}$ p-adic 절대값과 마찬가지로 나눗셈을 측정합니다.이것들은 유한한 장소라고 불립니다.다른 유형의 장소는 K의 실제 또는 복잡한 매립과 R 또는 C의 표준 절대값 함수를 사용하여 지정된다.이곳은 무한한 장소입니다.절대값은 복소 매립과 그 공역을 구별할 수 없기 때문에 복소 매립과 그 공역이 같은 위치를 결정한다.따라서 실제 장소와 $복잡한 2$ 장소가 각각 r개씩 $존재$ 합니다₁.장소는 소수를 포함하기 때문에, 장소는 때때로 소수라고 불립니다.이것이 이루어졌을 때, 유한한 자리는 유한 소수라고 불리고, 무한의 자리는 무한 소수라고 불려요.v가 절대치에 대응하는 밸류에이션인 $경우$ v는 무한의 자리, $v\nmid \infty$ 는 유한한 $자리임$ 을 나타내는 v $∣$ { $displaystyle$ v $\nmid \infty }$ 라고 $v\mid \infty$ $v\nmid \infty$ $v\mid \infty$ 경우가 많다.

필드의 모든 위치를 함께 고려하면 숫자 필드의 아델 고리가 생성됩니다.아델 링을 사용하면 절대값을 사용하여 사용 가능한 모든 데이터를 동시에 추적할 수 있습니다.이것은 Artin 상호주의 법칙처럼 한 장소에서의 행동이 다른 장소에서의 행동에 영향을 미칠 수 있는 상황에서 상당한 이점을 낳습니다.

기하학적으로 무한대의 위치

곡선의 함수장을 유지하는 무한대의 장소에는 기하학적 유추법이 있다. $k=\mathbb {F} _{q}$ 를 들어 k $=$ $k=\mathbb {F} _{q}$ q {\ $displaystyle$ k=\ $mathbb {F}$ _ ${q}}$ $X/k$ X / $X/k$ {\ $displaystyle$ X $/k}$ 를 $X/k$ 매끄럽고 투영적인 대수 곡선으로 합니다.함수 $F=k(X)$ F $F=k(X)$ ( $F=k(X)$ ) { $displaystyle$ F $=k(X)}$ 에는 $F=k(X)$ 많은 절대값 또는 장소가 있으며 각각 곡선상의 점에 해당합니다.X $({displaystyle$ X ${\hat {X}}\subset \mathbb {A} ^{n}$ 가 $X$ 아핀 ${\hat {X}}\subset \mathbb {A} ^{n}$ 의 투영 완료인 $경우$ ^ ${\hat {X}}\subset \mathbb {A} ^{n}$ ^ ${\hat {X}}\subset \mathbb {A} ^{n}$ ${\hat {X}}\subset \mathbb {A} ^{n}$ n ${\hat {X}}\subset \mathbb {A} ^{n}$ \ $display style$ { $X$ $X-{\hat {X}}$ \ $subset$ \ $mathbb {A}$ $^$ { $n}$ $X-{\hat {X}}$ ^ \ $displaystyle X-{\hat {X}}}$ 에서의 ${\hat {X}}\subset \mathbb {A} ^{n}$ $X-{\hat {X}}$ 점은 무한대의 위치에 대응합니다.그런 다음, 이 중 하나의 지점에서 F $\displaystyle$ F가 $완료$ 되면 p\ $displaystyle$ p $\$ 와 $p$ 유사합니다.

예를 들어 X $=$ $X=\mathbb {P} ^{1}$ 1 {\ $displaystyle$ X=\ $mathbb {P}$ ^{1}인 $X=\mathbb {P} ^{1}$ $X=\mathbb {P} ^{1}$ 함수 필드는 k $k(t)$ ( $k(t)$ ) { $displaystyle$ k $(t)}$ 와 $k(t)$ 동형입니다. $t$ 서t {\ $displaystyle$ t $}$ 는 $t$ 부정식이고 $F$ 는t {\ $displaystyle$ tyle f $F$ $t$ 의 다항식의 분수 필드입니다.그런 다음 p $p\in X$ X $p\in X$ 의 $v_{p}$ ${displaystyle v_{p}$ 위치는 $v_{p}$ $p\in X$ p $=$ p [ $style]$ 의 p $p(x)/q(x)$ ( $p(x)/q(x)$ ) / $p(x)/q(x)$ ( $x$ ) $p(x)/q(x)$ \ $displaystyle$ $p(x)/q(x)$ p( $x$ $p$ )의 $p(x)/q(x)$ 극의 소실 순서 또는 극의 순서를 측정합니다.아핀 $x_{1}\neq 0$ $x_{1}\neq 0$ 1 $x_{1}\neq 0$ 0 { $style$ x $_$ { $1$ $2\in \mathbb {A} ^{1}$ \ $neq$ 0 $x_{1}\neq 0$ $2\in \mathbb {A} ^{1}$ $2\in \mathbb {A} ^{1}$ 1 $2\in \mathbb {A} ^{1}$ display 1 \ $displaystyle$ 2 \ $in$ \ $mathbb$ { $A }$ $v_{2}$ 、평가 v $v_{2}$ 2 \ $displaystyle$ $v_$ ${2}$ display $v_{2}$ $p(x)$ $、$ p $p(x)$ ( $p(x)$ ) - $display$ $style$ p $($ x )의 소실시 순서를 측정합니다 $.$ $디스플레이 스타일$ 2) $k((t-2))$ $({$ 의 $v_{2}$ 완료 함수 필드는 k $k((t-2))$ - $2))$ 입니다 $k((t-2))$ .이것은 $t-2$ t - $t-2$ ({ $displaystyle t-2$ 의 멱급수 필드이므로 요소는 형식의 것입니다.

${{displaystyle {argined}&a_{-k}(t-2)^{-k}+cdots +a_{-1}(t-1)+a_{1}(t-2)+a_{2}+\cdots\&={n_infty}^{a}$

$k\in \mathbb {N}$ k $k\in \mathbb {N}$ 의 경우(\ $displaystyle k\in$ \mathbb { $N$ 무한대의 위치에 대해서는 형식의 멱급수인 함수 $k((1/t))$ k $k((1/t))$ ( ( $k((1/t))$ / $)\displaystyle$ k $((1/t))}$ 에 해당합니다 $k((1/t))$ .

$\displaystyle \sum _{n=-k}^{\infty }a_{n}(1/t)^{n}$

단위

정수의 단위는 1과 $-1$ $두$ 개뿐입니다.정수의 다른 고리는 더 많은 단위를 수용할 수 있습니다.가우스 정수에는 ± $i뿐$ 만 아니라 이전 두 개의 단위가 있습니다.아이젠슈타인 $정수$ Z $[exp(2ii$ / $3)]$ 에는 6개의 단위가 있습니다.실수 2차 수 필드의 정수는 무한히 많은 단위를 가집니다.예를 들어, Z $[] 3]$ 에서는2 + $is3$ 의 $모든$ 거듭제곱은 단위이며, 이 모든 거듭제곱은 구별됩니다.

일반적으로, O로 $표시$ 된^× $O$ 의 단위군은 완전히 생성된 아벨 군이다.따라서 최종 생성된 아벨 군의 기본 정리는 비틀림 부분과 자유 부분의 직합이라는 것을 암시한다.이것을 숫자 필드의 맥락에서 재해석하면, 비틀림 부분은 O에 있는 $통합$ 의 뿌리로 구성되어 있습니다.이 그룹은 순환적입니다.자유부분은 디리클레의 단위정리에 의해 설명된다.이 정리는 자유 부분의 $순위$ 는₂ $r$ + r - $1$ 이라고₁ 말한다.예를 들어 자유 부분의 순위가 0인 필드는 Q와 가상 2차 $필드뿐$ 입니다.또한 K/Q의 갈로아 그룹에 대한 갈로아 모듈로서 O _Zas Q의 구조를^× 제공하는 보다 정확한 문장이 가능하다.^[14]

단위군의 자유 부분은 K의 무한한 $위치$ 를 사용하여 연구할 수 있습니다.기능을 고려하다

{\displaystyle\begin{case}L:K^{\times}\to \mathbf {R}^{r_{1}+r_{2}}\L(x)=(\log x _{v}_{v}\end{case}})

$여기$ 서 v는 K의 $무한$ 위치에 걸쳐 변화하고 ·는 v와 $관련$ 된 절대값이다. $함수$ L은 $K$ 에서^× 실벡터공간으로의 동형사상입니다.O의 $이미지$ 는^× x $x_{1}+\cdots +x_{r_{1}+r_{2}}=0.$ + $x_{1}+\cdots +x_{r_{1}+r_{2}}=0.$ θ + $x_{1}+\cdots +x_{r_{1}+r_{2}}=0.$ r $x_{1}+\cdots +x_{r_{1}+r_{2}}=0.$ + $x_{1}+\cdots +x_{r_{1}+r_{2}}=0.$ $x_{1}+\cdots +x_{r_{1}+r_{2}}=0.$ $=$ 으로 $x_{1}+\cdots +x_{r_{1}+r_{2}}=0.$ 된 하이퍼플레인에 걸친 격자임을 알 수 있습니다 $.$ {\ $displaystyle x_{1}+r_{2}=0}$ $x_{1}+\cdots +x_{r_{1}+r_{2}}=0.$ 이 격자의 공적은 숫자 필드의 조절기입니다.아델링을 사용하여 작업함으로써 가능해진 단순화 중 하나는 이 격자에 의한 몫과 이상적인 클래스 그룹을 모두 기술하는 단일 객체인 아이델 클래스 그룹이 있다는 것입니다.

제타 함수

리만 제타 함수와 유사한 수 필드의 데데킨드 제타 함수는 $K$ 에서 소정의 이상의 행동을 설명하는 해석 대상이다.K가 $Q$ 의 아벨 확장일 $때$ , 데데킨드 제타 함수는 디리클레 L 함수의 산물이며, 각 디리클레 문자에는 하나의 인자가 있다.사소한 문자는 리만 제타 함수에 해당합니다.K가 갈로아 확장일 $때$ , 데데킨드 제타 함수는 $K$ 의 갈로아 군의 정규 표현인 아르틴 L-함수이며, 갈로아 군의 환원 불가능한 아르틴 표현이라는 점에서 인수분해된다.

제타 함수는 클래스 번호 공식에 의해 위에서 설명한 다른 불변량과 관련이 있습니다.

로컬 필드

w의 장소에서 숫자 필드 K를 입력하면 완전한 필드가 된다.가치가 아르키메데스인 경우 R 또는 C를 얻고, 비아르키메데스인 경우 유리 p의 소수 p 위에 놓여 있으면 유한 $K_{w}/\mathbf {Q} _{p}:$ K $K_{w}/\mathbf {Q} _{p}:$ / $K_{w}/\mathbf {Q} _{p}:$ p $K_{w}/\mathbf {Q} _{p}:$ : {\ $displaystyle$ K_ ${w}/\mathbf {Q}$ _ ${p}$ _{p:} 유한 $K_{w}/\mathbf {Q} _{p}:$ 잔차장과 함께 완전한 이산 필드를 구한다.이 프로세스를 통해 필드의 산술이 단순해지고 문제를 로컬에서 연구할 수 있습니다.예를 들어, 크로네커-베버 정리는 유사한 국소 진술로부터 쉽게 추론할 수 있다.지역 분야 연구의 배후에 있는 철학은 대부분 기하학적 방법에 의해 동기 부여된다.대수기하학에서는 국소적으로 최대이상으로 국소화하여 변형을 연구하는 것이 일반적이다.그런 다음 로컬 데이터를 결합하여 글로벌 정보를 복구할 수 있습니다.이 정신은 대수적 수론에서 채택되고 있다.숫자 필드의 대수 정수 링에 소수가 주어지면, 그 소수에 대해 국소적으로 연구하는 것이 바람직하다.그러므로, 누군가는 대수 정수의 고리를 그 소수에 국소화하고 나서 기하학의 정신으로 분수장을 완성한다.

주요 결과

클래스 그룹의 정밀도

대수적 수 이론의 고전적인 결과 중 하나는 대수적 수 필드 K의 이상적인 클래스 그룹이 유한하다는 것이다.이것은 고정된 양의^[15] 정수보다 작은 규범을 가진 적분 이상이 확실히 많이 있기 때문에 민코프스키의 정리의 결과이다.클래스 그룹의 순서는 클래스 번호라고 불리며 종종 문자 h로 표시됩니다.

디리클레의 단위 정리

디리클레의 단위정리는 정수 O의 고리의 단위^× O의 곱셈군의 구조를 설명한다.구체적으로, O는 G × Z와^r 동형이며^×, 여기서 G는 O의 모든 통일근으로 구성된 유한 순환군이며, r = r₁ + r₂ - 1 (여기서₁ r (각각, r₂)은 K의 실제 매립(각각의 켤레 비실제 매립)의 수를 나타낸다.)즉, O는^× O에서 단일성의 근으로 이루어진 비틀림 r + r₂ - 1의₁ 최종 생성 아벨 군이다.

상호주의법

Legendre 기호의 관점에서 양의 홀수 소수에 대한 2차 역수의 법칙은 다음과 같다.

\frac {p}{q}\right}\leftfrac {q}{p}}=frac1)^{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}}.

상호 법칙은 2차 상호 법칙의 일반화이다.

호혜법을 표현하는 데는 몇 가지 다른 방법이 있다.19세기에 발견된 초기 상호법칙은 보통 2차 상호법칙을 일반화하는 역수 기호(p/q)로 표현되었으며, 소수가 n번째 역수 모듈로 다른 소수일 때를 기술하고 (p/q)와 (q/p) 사이의 관계를 제공했다.힐베르는 힐베르트 기호(a, b/p)의 p에 대한 곱이 통일성의 근에서 값을 취하면 1이라는 상호 법칙을 재구성했다.Artin의 재구성된 상호 법칙은 이상(또는 아이들)에서 갈로아 그룹의 요소들에 이르는 Artin 기호는 특정 하위 그룹에서는 사소한 것이라고 말한다.보다 최근의 몇 가지 일반화는 그룹의 코호몰로지 또는 아델릭 그룹 또는 대수적 K-그룹의 표현을 사용하여 상호 법칙을 표현하며, 원래의 2차 상호 법칙과의 관계는 보기 어려울 수 있다.

클래스 번호 공식

클래스 번호 공식은 숫자 필드의 많은 중요한 불변량을 데데킨드 제타 함수의 특수 값과 관련짓습니다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ 스타크, 페이지 145~146
^ Aczel, 페이지 14~15.
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추가 정보

도입부 텍스트

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Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (2013), A classical introduction to modern number theory, vol. 84, Springer, doi:10.1007/978-1-4757-2103-4, ISBN 978-1-4757-2103-4
Stewart, Ian; Tall, David (2015), Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem, CRC Press, ISBN 978-1-4987-3840-8

중간 텍스트

Marcus, Daniel A. (2018), Number Fields (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3-319-90233-3

대학원 수준의 텍스트

Cassels, J. W. S.; Fröhlich, Albrecht, eds. (2010) [1967], Algebraic number theory (2nd ed.), London: 9780950273426, MR 0215665
Fröhlich, Albrecht; Taylor, Martin J. (1993), Algebraic number theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 27, Cambridge University Press, ISBN 0-521-43834-9, MR 1215934
Lang, Serge (1994), Algebraic number theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 110 (2 ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94225-4, MR 1282723
Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 322. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. Zbl 0956.11021.

외부 링크

위키미디어 커먼스의 대수적 수론 관련 매체
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[1] 스타크, 페이지 145~146

[2] Aczel, 페이지 14~15.

[3] 스타크, 페이지 44~47

[4] Gauss, Carl Friedrich; Waterhouse, William C. (2018) [1966], Disquisitiones Arithmeticae, Springer, ISBN 978-1-4939-7560-0

[Elstrodt-5] Elstrodt, Jürgen (2007), "The Life and Work of Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859)" (PDF), Clay Mathematics Proceedings, retrieved 2007-12-25

[Kanemitsu-6] Kanemitsu, Shigeru; Chaohua Jia (2002), Number theoretic methods: future trends, Springer, pp. 271–4, ISBN 978-1-4020-1080-4

[7] Reid, Constance (1996), Hilbert, Springer, ISBN 0-387-94674-8

[8] 이 업적으로 다카기는 일본 최초의 국제적인 수학자로 자리매김했다.

[9] Hasse, Helmut (2010) [1967], "History of Class Field Theory", in Cassels, J. W. S.; Fröhlich, Albrecht (eds.), Algebraic number theory (2nd ed.), London: 9780950273426, pp. 266–279, MR 0215665

[Singh-10] Singh, Simon (1997), Fermat's Last Theorem, ISBN 1-85702-521-0

[nyt-11] Kolata, Gina (24 June 1993). "At Last, Shout of 'Eureka!' In Age-Old Math Mystery". The New York Times. Retrieved 21 January 2013.

[12] 이 표기법은 요소 i의 Z에 인접하여 Z에서 얻은 링을 나타냅니다.

[13] 이 표기법은 Z의 요소 $µ-5$ 에 인접하여 Z에서 얻은 링을 나타냅니다.

[14] Neukirch, Schmidt 및 Wingberg 2000의 제안 VII.8.6.11 참조

[15] Stein. "A Computational Introduction to Algebraic Number Theory" (PDF).

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