지역계급장론

수학에서 국 소장의abelian 확장, 지역 수업 장 이론, 헬무트 Hasse,[1]에 의해 소개된 연구;여기,"국 소장"은 유한한 잔류물 분야:진짜 숫자에 그 지역의 모든 분야는 동형( 위상적인 필드로)R,과 절대적 가치 또는 분리된 평가에 관련하여 완전한 분야를 의미한다. 그 복합 번호 C, p-adic 번호 Q의_p 유한 확장(여기서 p는 임의의 소수) 또는 유한 필드 F에_q 대한 형식 Laurent 시리즈 F_q(T)의 유한 확장.

로컬 클래스 필드 이론에 대한 접근 방식

지역 계급장 이론은 K^×=K\{0}의 승수 그룹에서 작용하는 상호주의 지도를 통해 지역 필드 K의 최대 아벨리아 확장 G의 갈루아 그룹 G에 대한 설명을 제공한다. 유한한 K의 아벨리아 확장 L에 대해 상호주의 지도는 확장^× L의 정규군 N(L^×)에 의한 K의^× 지수군 K^×/N(L^×)의 이형성을 확장군 갈루아군(L/K)에 유도한다.^[2]

국소급장 이론의 존재 정리는 승수군 K에서^× 유한지수의 열린 부분군과 필드 K의 유한 아벨리안 확장 사이의 일대일 일치성을 확립한다. 유한 아벨리안 확장 L의 경우 유한지수의 해당 개방형 부분군은 표준군 N(L^×)이다. 상호주의 지도는 상위 단위 그룹을 상위 래미화 하위 그룹으로 전송한다(예: 참조). 의 ^[3]4장

지역 상호주의 지도를 사용하여 힐버트 기호와 그것의 일반화를 정의한다. 이에 대한 명시적 공식을 찾는 것은 지역 분야 이론의 하위 방향 중 하나이며, 길고 풍부한 역사를 가지고 있다(예: 참조). 세르게이 보스토코프의 평론.^[4]

지역 계급장 이론에 대한 동족학적 접근법과 비동족학적 접근법이 있다. 코호몰로지 접근법은 첫 번째 갈루아 코호몰로지 그룹의 컵 제품을 사용하기 때문에 명확하지 않은 경향이 있다.

지역 계급장 이론에 대한 다양한 접근방법은 Ch를 참조한다. 4장과 7장 그 중 IV에는 브루어 집단을 이용하는 하세 접근법, 코호몰로지 접근법, 위르겐 노이키르흐의 명시적 방법, 미치엘 헤이즈윙클, 루빈-테이트 이론 등이 포함된다.

지역 클래스 필드 이론의 일반화

지역 계급장 이론을 준마인잔류장이 있는 지역 분야로 일반화한 것은 G가 얻은 이론의 손쉬운 확장이었다. 1950년대에는 5장을^{[clarification needed]} 참조하라.^[6]

완전하고 불완전한 잔류장이 유한하지 않은 지역 분야에 대한 명시적 p-class 필드 이론은 무한 지수의 규범 그룹이라는 새로운 이슈를 다루어야 한다. 적절한 이론은 이반 페센코에 의해 세워졌다.^[7]^[8] 산술적으로 많은 지역 분야 확장을 위한 Fesenko의 비확정 지역 클래스 필드 이론은 적절한 지역 상호주의 cocycle 지도와 그 특성을 연구한다.^[9] 이 산술 이론은 대표론적 국부 랭글랜드 통신의 대안으로 볼 수 있다.

상위지역계급장론

고차원 로컬 필드 $K$ $K$ 의 경우 필드의 Milnor K-group에 한정된 지수의 개방된 부분군 측면에서 필드의 아벨리안 확장을 설명하는 더 높은 로컬 상호주의 맵이 있다 $K$ . $즉$ , $K$ $K$ 이(가) n ${\$ $\mathrm {K} _{n}^{\mathrm {M} }(K)$ $n$ $\mathrm {K} _{n}^{\mathrm {M} }(K)$ -차원 $n$ 로컬 필드인 $K$ 경우 $\mathrm {K} _{n}^{\mathrm {M} }(K)$ $\mathrm {K} _{n}^{\mathrm {M} }(K)$ K ) ${\displaystyle \mathrmatrm {K} _{n}^{\matrmatrm {}}}(K)$ 또는 $\mathrm {K} _{n}^{\mathrm {M} }(K)$ 적절한 위상이 부여된 분리된 지수를 사용한다. $n=1$ = $n=1$ $n=1$ 이면 이론은 $n=1$ 일반적인 지역 계급장 이론이 된다. 고전적인 경우와 달리 밀노르 K-그룹들은 $n>1$ > $n>1$ $n>1$ 이면 갈루아 모듈 하강을 만족시키지 못한다 $n>1$ 일반적인 고차원 지역 계급장 이론은 K. 카토와 I에 의해 개발되었다. 페센코.

상위 지역 계급장 이론은 정수에 대한 적절한 규칙적 계획의 합리적인 기능 분야의 아벨 확장(resp. abelian covers)을 연구하는 상위 계급장 이론의 일부다.

참고 항목

참조

^ Hasse, H. (1930), "Die Normenresttheorie relativ-Abelscher Zahlkörper als Klassenkörpertheorie im Kleinen.", Journal für die reine und angewandte Mathematik (in German), 162: 145–154, doi:10.1515/crll.1930.162.145, ISSN 0075-4102, JFM 56.0165.03
^ 페센코, 이반과 보스토코프, 세르게이, 로컬 필즈와 그 확장들, 제2편, 미국 수학 협회, 2002, ISBN 0-8218-3259-X
^ 페센코, 이반과 보스토코프, 세르게이, 로컬 필즈와 그 확장들, 제2편, 미국 수학 협회, 2002, ISBN 0-8218-3259-X
^ "Sergei V Vostokov, Explicit formulas for the Hilbert symbol, In Invitation to higher local fields". Geometry and Topology Monographs. 3: 81–90. 2000. doi:10.2140/gtm.2000.3.
^ 페센코, 이반과 보스토코프, 세르게이, 로컬 필즈와 그 확장들, 제2편, 미국 수학 협회, 2002, ISBN 0-8218-3259-X
^ "Sergei V Vostokov, Explicit formulas for the Hilbert symbol, In Invitation to higher local fields". Geometry and Topology Monographs. 3: 81–90. 2000. doi:10.2140/gtm.2000.3.
^ I. Fesenko (1994). "Local class field theory: perfect residue field case". Izvestiya Mathematics. Russian Academy of Sciences. 43 (1): 65–81.
^ Fesenko, I. (1996). "On general local reciprocity maps". Journal für die reine und angewandte Mathematik. 473: 207–222.
^ Fesenko, I. (2001). "Nonabelian local reciprocity maps". Class Field Theory – Its Centenary and Prospect, Advanced Studies in Pure Math. pp. 63–78. ISBN 4-931469-11-6.

추가 읽기

Fesenko, Ivan; Vostokov, Sergey (2002), Local Fields and their Extensions (2nd ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-19-504030-2
Fesenko, Ivan B.; Kurihara, Masato, eds. (2000), Invitation to Higher Local Fields, Geometry and Topology Monographs, vol. 3 (First ed.), University of Warwick: Mathematical Sciences Publishers, doi:10.2140/gtm.2000.3, ISSN 1464-8989, Zbl 0954.00026
Iwasawa, Kenkichi (1986), Local class field theory, Oxford Science Publications, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-504030-2, MR 0863740
Neukirch, Jürgen (1986), Class field theory, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], vol. 280, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-15251-4, MR 0819231
Serre, Jean-Pierre (1967), "Local class field theory", in Cassels, John William Scott; Fröhlich, Albrecht (eds.), Algebraic Number Theory (Proc. Instructional Conf., Brighton, 1965), Thompson, Washington, D.C., pp. 128–161, ISBN 978-0-9502734-2-6, MR 0220701
Serre, Jean-Pierre (1979) [1962], Corps Locaux (English translation: Local Fields), Graduate Texts in Mathematics, vol. 67, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90424-5, MR 0150130

[1] Hasse, H. (1930), "Die Normenresttheorie relativ-Abelscher Zahlkörper als Klassenkörpertheorie im Kleinen.", Journal für die reine und angewandte Mathematik (in German), 162: 145–154, doi:10.1515/crll.1930.162.145, ISSN 0075-4102, JFM 56.0165.03

[2] 페센코, 이반과 보스토코프, 세르게이, 로컬 필즈와 그 확장들, 제2편, 미국 수학 협회, 2002, ISBN 0-8218-3259-X

[3] 페센코, 이반과 보스토코프, 세르게이, 로컬 필즈와 그 확장들, 제2편, 미국 수학 협회, 2002, ISBN 0-8218-3259-X

[4] "Sergei V Vostokov, Explicit formulas for the Hilbert symbol, In Invitation to higher local fields". Geometry and Topology Monographs. 3: 81–90. 2000. doi:10.2140/gtm.2000.3.

[5] 페센코, 이반과 보스토코프, 세르게이, 로컬 필즈와 그 확장들, 제2편, 미국 수학 협회, 2002, ISBN 0-8218-3259-X

[6] "Sergei V Vostokov, Explicit formulas for the Hilbert symbol, In Invitation to higher local fields". Geometry and Topology Monographs. 3: 81–90. 2000. doi:10.2140/gtm.2000.3.

[7] I. Fesenko (1994). "Local class field theory: perfect residue field case". Izvestiya Mathematics. Russian Academy of Sciences. 43 (1): 65–81.

[8] Fesenko, I. (1996). "On general local reciprocity maps". Journal für die reine und angewandte Mathematik. 473: 207–222.

[9] Fesenko, I. (2001). "Nonabelian local reciprocity maps". Class Field Theory – Its Centenary and Prospect, Advanced Studies in Pure Math. pp. 63–78. ISBN 4-931469-11-6.

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