사분위수

4차 또는 2차 상호성은 일치⁴ x µp (mod q)가 해결 가능한 상태 조건인 초등 및 대수적 수 이론의 집합이다. "반복성"이라는 단어는 일치 x⁴ µp (mod q)의 해결⁴ 가능성을 p q의 수식과 관련짓는다는 점에서 이러한 이론들 중 일부의 형태에서 왔다.

역사

오일러는 2차적 ^[1]상호성에 대한 첫 번째 추측을 했다.가우스는 2차 상호관계에 관한 두 편의 논문을 발표했다.첫 번째 (1828년)에서 그는 2의 2차 특성에 대한 오일러의 추측을 증명했다.두 번째 (1832)에서 그는 가우스 정수에 대한 2차 상호 법칙을 언급하고 보충 공식을 증명했다.그는^[2] 세 번째 논문이 일반정리의 증명과 함께 발표될 것이라고 말했지만, 그것은 나타나지 않았다.자코비는 1836년부터 ^[3]37년까지의 쾨니히스베르크 강의에서 증거를 제시했다.처음 발표된 증거는 아이젠슈타인의 ^[4][5][6][7]것이었다.

그 이후로 고전(가우스) 버전의 다른 많은 증명과 대체 문장이 발견되었다.^[8]Lemmermeyer는 1970년대부터 ^[A][9]이성적인 상호주의에 대한 관심이 폭발적으로 증가했다고 말한다.

정수

4차 또는 2차 잔차(mod p)는 정수(mod p)의 4제곱에 해당하는 임의의 수이다.xµa(mod p)가 정수해를 가지지 않는 경우⁴ a는 4차 또는 2차 비잔류(mod p)^[10]이다.

수 이론에서 흔히 그렇듯이, 모듈로 소수를 작업하는 것이 가장 쉬우므로, 이 절에서는 모든 모듈리 p, q 등이 양의 홀수 ^[10]소수라고 가정한다.

가우스

정수의 고리 Z 내에서 작업할 때 가장 먼저 주목해야 할 점은 소수 q가 3(mod 4) 이상이면 잔차 r은 2차 잔차(mod q)인 경우에만 2차 잔차(mod q)가 된다는 것이다.실제로, 2차 상호성의 첫 번째 보충은 -1이 2차 비잔류(mod q)이므로, 임의의 정수 x에 대해 x와 -x 중 하나는 2차 잔류이고, 다른 하나는 비잔류이다.따라서 r a² a(mod q)가 2차 잔기이면 r a²² a b⁴ b(mod q)가 2차 잔기이면 r a a b b(mod q)가 2차 잔기이고, a가 비잔기이면 -a ²b²⁴ b이고, r ^[11], (mod q)가 2차 잔기이다.

따라서 유일하게 대상이 되는 경우는 계수 p p 1(mod 4)입니다.

가우스는^[12] p ≤ 1(mod 4)이면 0이 아닌 잔기 클래스(mod p)는 각각 (p-1)/4개의 숫자를 포함하는 4개의 세트로 나눌 수 있음을 증명했다.e를 2차 비잔류라고 하자.첫 번째 세트는 사분위 잔류물입니다.두 번째 세트는 첫 번째 세트의 숫자에 e를 곱한 값이고², 세 번째 세트는 첫 번째 세트의 숫자에 e 곱하기 첫 번째 세트의 숫자에 4번째 세트는 첫 번째 세트의 숫자에 e 곱하기입니다³.이 나눗셈을 설명하는 또 다른 방법은 g를 원시 루트(mod p)로 하는 것입니다.그 후 첫 번째 세트는 이 루트에 대한 인덱스가 00(mod 4)인 모든 숫자이고, 두 번째 세트는 인덱스가 ),1(^[13]mod 4)인 모든 숫자입니다.군 이론의 어휘에서, 첫 번째 집합은 지수 4의 부분군이고 (곱셈군 Z/pZ의^×) 나머지 세 개는 그것의 코세트이다.

첫 번째 세트는 2차 잔류기, 세 번째 세트는 4차 잔류기가 아닌 2차 잔류기, 두 번째 세트와 네 번째 세트는 2차 비잔류이다.가우스는 p 1 1(mod 8)이면 -1이 2차 잔기이고 p ( 5(mod 8)^[14]이면 2차 잔기가 아님을 증명했다.

2는 p ≤ ±1(mod 8)인 경우에만 2차 잔차 mod p이다.p도 1 1(mod 4)이므로 이는 p 1 1(mod 8)을 의미합니다.모든 소수는 정사각형의 합과 ^[15]두 배의 합이다.

가우스가^[14] 증명했다

q = a² + 2b² 1 1 (mod 8)을 소수라고 하자.그리고나서

2는 a ≤ ±1(mod 8)인 경우에만 2차 잔기(mod q)이다.

2는 2차 잔기(mod q)이며, a가 ±3(mod 8)일 경우에만 2차 잔기(mod q)이다.

모든 소수 p 1 1(mod 4)은 두 ^[16]제곱의 합입니다.만약 p² = a² + b이고 여기서 a는 홀수이고 b는 짝수이면, 가우스는 다음을^[17] 증명했다.

2는 위에서 정의한 첫 번째(각각 두 번째, 세 번째 또는 네 번째) 클래스에 속합니다(b ( 0(응답 2, 4, 또는 6)(mod 8).이 중 첫 번째 사례는 오일러의 추측 중 하나입니다.

2는 p = a² + 64b일² 경우에만 p ≤ 1(mod 4)의 2차 잔기이다.

디리클레

홀수 소수 p와 2차 잔차 a(mod p${\displaystyle )}$의 ${\displaystyle {경우\frac{}{}}^{}}$, 오일러의 기준은 p${\displaystyle {\frac{}{}}^{}}$- ${\displaystyle {\frac{1}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{\mathrm{}}{}}^{}1}$1 ( ${\displaystyle mod}$p${\displaystyle }$)$$, { $displaystyle$ a^ {\$frac {p-1} {p}$ , $따라서$ p${\displaystyle {\frac{}{}}^{}}$$display$1 ( mod 4 ) , ${\displaystyle {a\frac{}{}}^{}}$ - ${\displaystyle {\frac{\mathrm{}}{}}^{}\mathrm{display}}$ 1 ( ${\displaystyle mod}$ p ) \ $frac${ p$$} 가 표시됩니다$.$$}$

소수 p ≤ 1(mod 4) 및 2차 잔차 a(mod p)의 유리 사분위 잔차 기호를 $({\displaystyle p_{\mathrm{}}){}_{}}$ 4 $=$ ± ${\displaystyle 1{\frac{\mathrm{}}{}a\frac{}{}}^{}}$ - ${\displaystyle {\frac{1}{}}^{}{}^{}}$( ${\displaystyle mod}$p${\displaystyle }$)로 정의합니다$.$ ({$style {\frac {a} {\Bigg}}}_{4$}=\$pm$ 1$\equiv$ a$\frac$ {$p}$$=$$4$$}$

디리클레는^[18] 2의 2차 성질에 대한 가우스의 증명을 단순화하고(그의 증명은 정수에 대한 2차 상호성만을 필요로 한다) 결과를 다음과 같은 형태로 표현했다.

p = a² + b² 1 1 (mod 4)을 소수, i let b/a (mod p)를 소수라고 하자.그리고나서

${\displaystyle (}$ ${\displaystyle 2\frac{\mathrm{}}{}{}_{}\frac{p}{}}$ ) ${\displaystyle 4_{\mathrm{}}{}^{}}$ ${\displaystyle {i\frac{}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{a}{}}^{}}$ b${\displaystyle {}^{}{\frac{\mathrm{}}{}}^{}}$ ( ${\displaystyle mod}$p )$$。{ $displaystyle${ \ $frac {2}$ {$p}$ { \ $Bigg }$ } _ { $4 }$ \$equiv i$^ { \ $frac${$ab$} { \ $pmod$ { p$$} （$$ i4² ) - 1 ( mod p ) ） 。

실제로 ^[19]p = a²² + b² = c + 2d² = e² - 2f² 1 1 (mod 8)을 소수라고 가정하고 a는 홀수라고 가정한다.그리고나서

$displaystyle$$^{n+{\frac {d}{2}}=(\frac${-$2}{e}}{\Bigg}})},$ 여기서${\displaystyle }$(${\displaystyle \frac{x}{}}$q$)$ {$displaystyle(\tfrac {x}{q}})$은 일반적인 Legendre 기호입니다.

2의 문자를 넘어서는 소수 p = a² + b가² 짝수일 때 q를 소수$({\displaystyle \frac{p}{}}$q) $=$.$${$displaystyle({\tfrac$ {p$}{q}})=$$1$로 합니다.} 2차$$ 상호관계는${\displaystyle }$(q${\displaystyle \frac{{}^{}}{}\ast }$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$) $1$ , ${\tfrac$ {q$^{*}}$ {$p{\displaystyle {}^{}}$$} =$ 1$$,}, 여기서${\displaystyle {}^{}\mathrm{q}{}^{}}$}$=$ ( - ${\displaystyle {\frac{\mathrm{}}{}}^{}}$)$q$ - 1 ${\displaystyle 2^{}}$ $q$ . { displaystyle q$$}^{\$frac {q-1}{2}}$} } q² } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } $}$ 그럼^[20].

$=$$$ 이는^[21] 을 암시한다.

$({displaystyle {\frac {q^{*}}{p}}{\Bigg}}_{4}=1gmbox{if and only if }}{\cases}b\equiv 0gpmod {q}}{\a\equiv 0gpmod {q}}}}{\frac}{\frac}{\f}{\f}{\f}}{\frac}{\frac}{\f}{\f}{\f}{\f}}}}{\f}{\\end {case}}$

첫 번째 예는 다음과 같습니다.^[22]

${\displaystyle{\begin{정렬}({\frac{-3}{p}}\right)_{4}=1&,{\mbox{만일}}&b&, \equiv 0{\pmod{3}}\\\left({\frac{5}{p}}\right)_{4}=1&,{\mbox{만일}}&b&, \equiv 0{\pmod{5}}\\\left({\frac{-7}{p}}\right)_{4}=1&,{\mbox{만일}}&ab&, \equiv 0{\pmod{7}}\\\left({\frac{-11}{p}}\right)_{.4}=1&,{\mbox{만일}}&b(b^{.2)-3a^{2}&\equiv 0gpmod {11}\\left\frac {13}{p}\right)_{4}=1&{mbox{if and only }}&b(b^2}-3a^{2}&\equiv 0gpmod {13}\left\frac_{p}}}}{right}}}}\\\end {aligned}}$

오일러는 2, -3, 5에 대한 법칙을 추측했지만, 그것들 중 어느 것도 증명하지 못했다.

디리클레는^[23] 또한 p ≡ 1(mod 4)이 소수이고${\displaystyle }$(${\displaystyle \frac{\mathrm{17}}{}}$ p${\displaystyle )}$ $=$ $({displaystyle${\$tfrac {17}{p$}})=1$}$이면 다음과 같이 증명했다.

${\displaystyle {\frac {17}{\Bigg}{\Bigg}_{\frac {p}{17}{\Bigg}}_{4}=syslog{case}+1syslogmbox{이후만}\;\px^2+17^2}{\bigg}{\b}{\bigg}}$

이것은 브라운과 ^[24]레머에 의해 17에서 17, 73, 97, 193으로 확장되었다.

부르데

Burde의 이성적인 2차 상호 법칙을 말하는 데는 많은 동등한 방법이 있다.

모두 p = a² + b² 및 q = c² + d는² b와 d가 짝수인 소수이며$,{\displaystyle }$ (${\displaystyle \frac{p}{}}$q) $=$ 1. $displaystyle({\tfrac {p}{q$})=$$$1$이라고 가정합니다.$}$

고셋의 버전은^[9]

${\displaystyle {\frac {q} {\Bigg} {\frac {a/b-c/d} {a/b+c/d} {\Bigg} {{\frac {q-1} {\pmod {q}}} {\equiv {4}}$

i - -1 (mod p) 및 j² - -1 (mod q)을 허용하면² 프뢰리히의 법칙은^[25] 다음과 같다.

$\displaystyle {\frac {q} {\Bigg} {\frac {p} {\Bigg} {\frac {p} {\Bigg} {4} = {\frac {a+big} {q}}} {\Bigg} = bigbigg （ } { \ frac { c + di } { p } } { \ Bigg } 。}$

Burde는 ^[26][27][28]다음과 같이 진술했다.

${\displaystyle {\frac {q} {\Bigg} {\Bigg} {\frac {p} {\Bigg} {\Bigg} {\frac {ac-bd} {q} {\Bigg}} = {\frac {ac-bd} {\Bigg} } 。}$

주의^[29]:

$\ displaystyle \ Bigg ( ) { \ frac { ac + bd } { p}} {\Bigg} = bigbig gg gg （ { \ frac { p } { q } } { \ Bigg } } { \ Frac { ac - bd } { \ p } } { \ Bigg } } 。}$

잡동사니

p ≡ q 1 1 ( mod 4 )을 소수라고 가정하고${\displaystyle }$( ${\displaystyle \frac{p}{}}$q ) $=$ ${\displaystyle 1}$ { $displaystyle$ ( \ $tfrac${ $p$} { q } ) $= 1$. e² = p² f + q² g 에는 비고정수 정수가 있습니다^[30].

$({displaystyle {\frac {p} {\Bigg} {\Bigg} {\frac {p} {\Bigg} {\Bigg} {4} =\leftfrac {fg} {2}} {\frac {1} {e} {\bigg} {\오른쪽} } 。}$

p ≡ q 1 1 (mod 4)을 소수라고 가정하고² p = r + q² s를 가정합니다.그럼^[31].

${\displaystyle {\frac {p} {\Bigg} {\Bigg} {{\frac {p}} {\Bigg}}_{4}=\leftfrac {2}{q}\right}^s}.$

p = 1 + 4x를² 소수, x를 나누는 홀수 a를 소수,${\displaystyle {}^{}}$θ $=$( -${\displaystyle {}^{\frac{}{}}}$)${\displaystyle {\frac{}{}}^{}}$a - ${\displaystyle {\frac{\mathrm{}}{}}^{}}$ 2${\displaystyle a^{}}$ .$${ { $displaystyle$ a^ { * } = \ $left 1$1 \ $right$}^{ \ $frac${ a - $1$} {$2 a$} 。$$ a는^[32]* 2차 잔기(mod p)입니다.

p = a² + 4b² = c² + 2d² 1 1 (mod 8)을 소수라고 하자.c^[33] - p² a의⁴ 제수는 모두 2차 잔기(mod p)이다.d - p b의² 모든⁴ 제수에 대해서도 마찬가지다.

가우스 정수

배경

가우스는 2차 상호성에 관한 그의 두 번째 논문에서 몇 가지 예를 보여주고 작은 소수의 2차적 특성에 대해 위에 열거된 이론들을 암시하는 추측을 한다.그는 몇 가지 일반적인 발언을 하고, 일에는 분명한 일반적인 규칙이 없다는 것을 인정한다.그는 계속해서 말한다.

2차 잔차 이론들은 산술의 장이 허수까지 확장될 때에만 가장 단순하고 진정한 아름다움으로 빛난다. 그래서 제한 없이 a + bi 형식의 숫자가 연구의 대상을 구성한다... 우리는 그러한 숫자를 정수 ^[34]복소수라고 부른다.[원작의 과감함]

이 숫자들은 이제 가우스 정수의 링이라고 불리며, Z[i]로 표시됩니다.i는 1의 네 번째 루트입니다.

각주에 그는 덧붙인다.

입방체 잔기의 이론은 a + bh 형식의 수를 고려하여 유사한 방식으로 기초해야 하며, 여기서 h는 방정식³ h = 1 ...의 가상 근이며, 마찬가지로 더 높은 힘의 잔기의 이론은 다른 가상 ^[35]수량의 도입으로 이어진다.

단일성의 세제곱근에서 만들어진 숫자는 이제 아이젠슈타인 정수의 고리라고 불립니다."높은 힘의 잔기 이론"에 필요한 "기타 상상량"은 사이클로토믹 수 필드의 정수 고리이다. 가우스 정수와 아이젠슈타인 정수는 이러한 가장 단순한 예이다.

사실과 용어

가우스는 "적분 복소수"의 산술 이론을 발전시키고 그것이 일반 ^[36]정수의 산술과 상당히 유사하다는 것을 보여준다.여기서 단위, 관계, 노름, 일차라는 용어가 수학에 도입되었다.

단위는 ^[37]1을 나누는 숫자입니다.1, i, -1, -i 입니다.이들은 모든 숫자를 나눈다는 점에서 일반 정수의 1 및 -1과 유사합니다.단위는 i의 거듭제곱이다.

숫자 θ = a + bi일 때, 그 켤레는 a - bi이고, 그 관련은 4개의^[37] 숫자이다.

θ = +a + bi

i420 = -b + ai

-bi = -a -bi

-i440 = +b - ai

λ = a + bi일 경우, N으로 표기된 ,의 노름은 a + b이다²².γ와 μ가 2개의 가우스 정수인 경우 Nµμ = Nµ Nμ, 즉 노름은 ^[37]곱셈이다.0의 노름은 0이고 다른 숫자의 노름은 양의 정수입니다.θ는 Nθ = 1인 경우 단위이다.가우스 정수가 아닐 수 있는 음이 아닌 실수인 θ 노름의 제곱근은 람다의 절대값이다.

Gauss는 Z[i]가 고유한 인수분해 영역임을 증명하고 소수가 세 가지 ^[38]클래스로 분류됨을 보여줍니다.

• 2는 특수한 경우입니다. 2 = i³ (1 + ²i).그것은 Z[i]의 소수 제곱으로 나눌 수 있는 유일한 소수이다.대수적 수론에서, 2는 Z[i]로 나뉘는다고 한다.
• Z 3 3(mod 4)의 양의 소수도 Z[i]의 소수이다.대수적 수론에서, 이러한 소수들은 Z[i]에서 불활성인 채로 있다고 한다.
• Z 1 1(mod 4)의 양의 소수는 Z[i]의 두 켤레 소수의 곱이다.대수적 수론에서, 이러한 소수들은 Z[i]로 분할된다고 한다.

따라서 불활성 소수는 3, 7, 11, 19, ...이며 분할 소수의 인수분해는 다음과 같다.

5 = (2 + i) × (2 - i),

13 = (2 + 3i) × (2 - 3i),

17 = (4 + i) × (4 - i),

29 = (2 + 5i) × (2 - 5i), ...

소수의 관계수와 켤레도 소수이다.

불활성 소수 q의² 노름은 Nq = q 1 1 (mod 4)이므로 1 + i와 그 관련성을 제외한 모든 소수의 노름은 1 1 (mod 4)이다.

Gauss는 노름이 ^[39]홀수 정수일 경우 Z[i] 단위로 숫자를 호출합니다.따라서 1 + i와 그 관련성을 제외한 모든 소수가 홀수입니다.홀수 두 개의 곱은 홀수이고 짝수와 짝수는 홀수입니다.

고유한 인수분해 정리를 서술하기 위해서는 숫자의 관계 중 하나를 구별하는 방법이 필요하다.가우스에서는^[40] 홀수가 1 1(mod (1 + i))³이면 홀수가 프라이머리라고 정의합니다.홀수마다 1개의 프라이머리 어소시에이트가 있음을 나타내는 것은 간단합니다.a + b a a - b 1 1(mod 4), 즉 a 1 1 및 b 0 0 또는 a 3 3 및 b 2 2(mod 4)^[41]일 경우 홀수 λ a = a + bi가 1차이다.두 개의 1차 숫자의 곱은 1차이고 1차 숫자의 켤레도 1차입니다.

Z[i]에 대한 독특한 인수분해^[42] 정리는 다음과 같다: 만약 θ 0 0이면,

${\displaystyle \displayda = i^{\mu }(1+i)^{\nu }\pi _{1}^{\alpha _{2}\pi _{3}^{\alpha _{3}}\pi }$

여기서 0 μ μ 3 3, , 0 0 0, s는_i 1차 소수, αs_i 1 1이며, 이 표현은 인자의 순서에 따라 고유하다.

일치와^[43] 최대공약수의^[44] 개념은 일반 정수 Z에 대한 것과 같은 방식으로 Z[i]에서 정의된다.단위는 모든 수를 나누기 때문에 일치(mod ))도 ,의 임의의 어소시에이트에 대한 진정한 모듈이며 GCD의 어소시에이트도 GCD입니다.

4차 잔차 특성

가우스는 페르마 정리의 유사성을 증명한다: 만약 α가 홀수 소수 θ로 나누어지지 않는다면^[45],

${\displaystyle \alpha ^{N\pi-1}\equiv 1{\pmod {\pi }}$

$N{\displaystyle {}^{}}$ pi 1(mod 4)이므로 ${\displaystyle {\alpha \frac{}{}}^{}}$ N$pi$ - ${\displaystyle {\frac{\mathrm{}}{}}^{}}$ \$$alpha ^ { \ $frac$ ${$$N$ \ $pi$ - $1$} { $4$} $pi$ 、 ${\displaystyle {\alpha \frac{}{}}^{}}$ N ${\displaystyle {\frac{\mathrm{pi}}{}}^{}}$ - ${\displaystyle {\frac{\mathrm{}}{}}^{}{}^{}}$ i${\displaystyle {}^{}{k}^{}}$ ( ${\displaystyle mod}$ ${\displaystyle )}$) { $display style$ \ $alpha$^ { \ $pi$ - 1 } { 4 }$} pi$ i k$pi$ { $pm$ } } 。

이 단위는 α(mod θ)의 4차 또는 2차 잔류 특성이라고 하며 다음과 같이 나타낸다^[46][47].

${\displaystyle \left[{\frac {\pi }}\right]=i^{k}\equiv \alpha ^{\frac {N\pi -1}{4}}{\pmod {pi }}}.}$

Legendre 기호와 ^[48]유사한 형식 속성을 가집니다.

일치 ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{4\mu \alpha }}$( ${\displaystyle \mathrm{mod}}$${\displaystyle \frac{\pi }{}}$$){$ $displaystyle$ x$^{4}\equiv \alpha \pmod {pi$}}는$$ [${\displaystyle \alpha \frac{}{}}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle =}$. \$displaystyle \frac$\alpha }${\pi$} $=$$1$인 경우에만 Z[i] 단위로 해결 가능합니다.$}$^[49]

${\displaystyle {\frac \pi } {\bigg } = bigbigg gggg [ \ frac \ pi } { \ bigg } { \ frac { \ pi } } { \ frac \ pi } } { \ bigg } }$

${\displaystyle \stackrel{}{[\frac{\alpha }{}}}$] ${\displaystyle =}$ [$α$ ${\displaystyle \frac{\stackrel{}{¯}}{\stackrel{}{}}}$ $=$ {\${\overline {{\Bigg$[}{\frac ${\pi$ }}}$= big$ Bigg [ } {\$frac${\$overline${\$pi }}$ {\$Bigg$$$}} = $big$ the the the the 、 여기서 바의 복합체는 복합체를 나타냅니다.

θ와 θ가 연관되어 있는 경우 [${\displaystyle \frac{\alpha }{}}$] ]$=$ [${\displaystyle \alpha \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{\theta }{}}$ $]{$ $displaystyle {\frac${\$pi }}{\frac$ {\pi }}= $big$ Bigg [ }{\$frac${\$theta }}}{\Bigg$}}

α ${\displaystyle \beta \frac{}{}}$ ( mod β ) 、 [${\displaystyle \frac{\alpha }{}}$ ${\displaystyle [}$ ] ${\displaystyle =}$ [ ${\displaystyle \beta \frac{}{}}$ ] $（$ $displaystyle$） { \ $frac$ { \ $pi }$ } = } Bigg [ } { \ $frac$ { \ $pi }$} { \ $frac$} { \ pi $}$ } ${\displaystyle =}$ [ $Bigg$ [ }

2차 문자는 Legendre 기호가 Jacobi 기호로 일반화되는 것과 같은 방법으로 "분자"의 홀수 합성 번호로 확장될 수 있습니다.이 경우처럼, "분자"가 합성일 경우, 합치를 분해할 수 없는 상태에서 기호는 1과 같을 수 있습니다.

${\displaystyle [\alpha }$] ${\displaystyle {}^{}}$ [${\displaystyle {\alpha \frac{}{}}^{}}$ $π$ 1${\displaystyle {\frac{{}_{}}{}}^{}}$]$α$ 1${\displaystyle {{}_{}}^{}{}^{}}$[${\displaystyle {\alpha \frac{}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{{\pi \mathrm{}}_{}}{}}^{}}$ 2${\displaystyle {\frac{{}_{}}{}}^{}}$]${\displaystyle {{\alpha \mathrm{}}_{}}^{}}$ 2 $...$ {\$displaystyle \left$[ { \ $frac$ { \ $flac$\ alpha } { \ $pi _$ { } \ right } = \$lef$ [ { \ $frac$ \ $flac }$ { \ $pi$ _ { { { } } } \ $right }$ { { \ { \ { \ { \ } } }$le \sqda = \pi _{1}^{\alpha _{1}}\pi _{2}^{{2}\pi _{3}^{\alpha _{3}}\pi }$

a와 b가 보통 정수인 경우 a ≤ 0, b > 1, gcd(a, b) = 1이면^[50]${\displaystyle }$[${\displaystyle \frac{a}{}]}$ $=$.$$\$displaystyle \left$[ { \ $frac${ $a$} {$b}$ \ right ]=$$$1$이다.$}$

정리 기술

가우스는 이 2차 상호성의 법칙을 다음과 ^[2][51]같이 기술했다.

and와 be를 Z[i]의 서로 다른 제1소수로 하자.그리고나서

or 또는 or 또는 둘 다 11(${\displaystyle \frac{\mathrm{mod}}{}}$ 4)이면 [${\displaystyle }$]$=$ [ ${\displaystyle ],}${\$displaystyle${\$bigg$ [ }{\$theta$}}=\$left$ [ { \ $frac${ \ $theta }{$ \ $pi$}}, $그러나$$,$

and와 are가 둘 다 3 3 + 2i(mod 4)인${\displaystyle }$경우 [${\displaystyle ]=}$ - [ ${\displaystyle \frac{\theta }{}}$] .$${ $display$style { \$frac$ { \ $bigg$[ } { \ $theta$}$$= - \ $left [$ \ $frac$ { \ $theta$} { \ $pi$} } } = - \ $。$$}$

Legendre 기호에 대한 2차 상호 법칙이 Jacobi 기호에 대해서도 참인 것처럼, 숫자가 소수가 되어야 한다는 요구사항은 필요하지 않다; 그것은 홀수 상대적으로 ^[52]소수가 아닌 것으로 충분하다.가장 잘 알려진 문장은 다음과 같습니다.

θ와 θ를 비교적 일차적인 비단위라고 하자.그럼^[53].

${\displaystyle {\frac {\pi } {\bigg } {\frac {\theta }} {\pi } {\frac {N\pi-1} {4} {\frac {N\pi-1} {\frac {\theta}} {4}}} {\frac {\frac {\frac {\ta1}}$

단위와 반짝수 소수 1 + i에 대한 보충 이론이^[54][55] 있다.

θ = a + bi가 1차 소수일 경우,

${\displaystyle {\frac {i}{\pi }}{\Bigg }=i^{-{\frac {a-1}{2}},\;{\Bigg [}{\frac {1+i}}}}=i^{\frac {-1}{b}}{\b}}$

그래서

${\displaystyle {\frac {-1}{\pi }}{\Bigg }}=param1)^{\frac {a-1}{2},\;\;{\Bigg [}{\frac {2}}=i^{-{\frac {b}}}}}}.}$

또한 θ = a + bi가 1차 소수이고 b 0 0이면^[56]

${\displaystyle [\frac{\stackrel{}{]}}{}}$ ${\displaystyle =}$ [ - $π$]${\displaystyle =\frac{}{}}$ [${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {1\frac{{}^{}}{}}^{}}$ ] ${\displaystyle {\frac{{a\mathrm{}}^{}}{}}^{}}$2$$- $1$ ${\displaystyle {\frac{\mathrm{}}{}}^{}}$ ( \ $displaystyle [ ]$ { \ $frac$ { $overline$} { \$pi$ } { \ pi } = {\$gg$ [ } \ $frac$ { \ $frac${ - 2 } { \ $pi }$} { \ $frac$} { \ $frac$ }

Jacobi는 θ = a + bi를 θ 1(mod 4)이면 1차라고 정의했다.이 정상화에 따라 법률은 다음과 같은 형태를^[57] 취한다.

α = a + bi 및 β = c + di로 하자. 여기서 a δ c 1 1(mod 4), b 및 d는 비교적 소수 단위이다.그리고나서

${\displaystyle \left[{\frac {\frac }}\right] \left[{\frac {\alpha }}\right]^{-1}=frac {bd}{4}}}}$

다음 버전은 가우스의 미공개 ^[58]원고에서 발견되었다.

a와 c가 홀수인 경우 α = a + 2bi 및 β = c + 2di를 비교적 소수 단위라고 하자.그리고나서

${\displaystyle \left[{\frac {\frac }{\alpha }}\right]\left[{\frac {a-1}{2}}}d+{\frac {c-1}{2}}b},\;\;\frac {1}\frac {\frac {\frac}\frac {\fright}\frac {\frac {\}\f}\frac {\fright}\fright}\frac {\f}\f}\f}\fright}\f$

법은 프라이머리 개념을 사용하지 않고 기술할 수 있습니다.

θ가 홀수일 경우, θ(mod (1 + i))³와 일치하는 고유 단위, 즉 θ(mod) = i^k θ(mod 2 + 2i)이며, 여기서 0 ≤ k 3 3이다.그리고^[59] 홀수이면서 상대적으로 소수인 α와 β의 경우, 어느 단위도 아니다.

${\displaystyle \left[{\frac {\frac }{\alpha }}\right] {{\frac {N\alpha } {4}}{\frac {N\beta -1}{4}}}\ilon(\alpha }\frac {\frac } {\frac })$

홀수 δ에 대해서는 $\delta {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle =}$( -${\displaystyle {}^{1\frac{}{}}}$) N${\displaystyle {\frac{\delta }{}}^{}}$ - ${\displaystyle {\frac{1}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{\mathrm{}}{}}^{}{\delta }^{}}$. { $style$\ $lambda$ ^ { * } =$δ1)^{\ frac${ $N\ lambda$ -$1$}{ 4$}}$ \ $flac .}$ δ$$ 및 μ가 비교적 소수인 경우, 아이젠슈타인은^[60] 증명되었다.

$(\displaystyle \left[{\frac {\mu }}\right]= 빅 [}{\frac {\mu ^*}}{\bigg }}}{\frac ^{\bigg}}}).}$

「 」를 참조해 주세요.

• 이차상호성
• 입방체 상호 작용
• 8진법
• 아이젠슈타인 상호 작용
• 아르틴 호혜성

메모들

• a.^ 여기서 "합리적"은 대수적 수 필드의 정수가 아닌 일반 정수로 기술된 법칙을 의미합니다.

레퍼런스

문학.

오일러, 디리클레, 아이젠슈타인의 원본 논문에 대한 언급은 렘메르마이어와 콕스의 참고 문헌에서 베낀 것이며, 이 논문의 작성에는 사용되지 않았다.

오일러

• Euler, Leonhard (1849), Tractatus de numeroroum doctrina capita sedecim quae supersunt, Comment. Arithmet. 2

이것은 실제로 1748-1750년에 쓰여졌지만, 사후에 출판되었을 뿐이다; 그것은 권 V, 182-283에 있다.

• Euler, Leonhard (1911–1944), Opera Omnia, Series prima, Vols I–V, Leipzig & Berlin: Teubner

가우스

가우스가 2차 상호관계에 대해 발표한 두 개의 논문에는 연속적으로 번호가 매겨져 있다.첫 번째 논문에는 § 1-23과 § 24-76이 포함되어 있다.이를 참조하는 각주는 "Gauss, BQ, n n" 형식이며, 디스퀴지션 산술을 참조하는 각주는 "Gauss, DA, Art. n" 형식이다.

• Gauss, Carl Friedrich (1828), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima, Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 6

• Gauss, Carl Friedrich (1832), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda, Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 7

이것들은 가우스의 베르케, Vol II, 페이지 65–92와 93–148에 있다.

독일어 번역본은 다음 중 511-533페이지와 534-586페이지에 있으며, 숫자이론에 대한 디스퀴지스 산술과 가우스의 다른 논문도 있다.

• Gauss, Carl Friedrich; Maser, H. (translator into German) (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae & other papers on number theory) (Second edition), New York: Chelsea, ISBN 0-8284-0191-8 {{citation}}: first2=범용명(도움말)이 있습니다.

아이젠슈타인

• Eisenstein, Ferdinand Gotthold (1844), Lois de réciprocité (PDF), J. Reine Angew. Math. 28, pp. 53–67 (Crelle's Journal)

• Eisenstein, Ferdinand Gotthold (1844), Einfacher Beweis und Verallgemeinerung des Fundamentaltheorems für die biquadratischen Reste, J. Reine Angew. Math. 28 pp. 223–245 (Crelle's Journal)

• Eisenstein, Ferdinand Gotthold (1845), Application de l'algèbre à l'arithmétique transcendante, J. Reine Angew. Math. 29 pp. 177–184 (Crelle's Journal)

• Eisenstein, Ferdinand Gotthold (1846), Beiträge zur Theorie der elliptischen Funktionen I: Ableitung des biquadratischen Fundalmentaltheorems aus der Theorie der Lemniskatenfunctionen, nebst Bemerkungen zu den Multiplications- und Transformationsformeln, J. Reine Angew. Math. 30 pp. 185–210 (Crelle's Journal)

이 서류들은 모두 그의 베르케 1권에 있다.

디리클레

• Dirichlet, Pierre Gustave LeJeune (1832), Démonstration d'une propriété analogue à la loi de Réciprocité qui existe entre deux nombres premiers quelconques, J. Reine Angew. Math. 9 pp. 379–389 (Crelle's Journal)

• Dirichlet, Pierre Gustave LeJeune (1833), Untersuchungen über die Theorie der quadratischen Formen, Abh. Königl. Preuss. Akad. Wiss. pp. 101–121

둘 다 그의 베르케 1권에 있다.

현대 작가

• Cox, David A. (1989), Primes of the form x² + n y², New York: Wiley, ISBN 0-471-50654-0

• Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990), A Classical Introduction to Modern Number Theory (Second edition), New York: Springer, ISBN 0-387-97329-X

• Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein, Berlin: Springer, doi:10.1007/978-3-662-12893-0, ISBN 3-540-66957-4

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Biquadratic Reciprocity Theorem". MathWorld.

Franz Lemmermeyer의 이 두 논문은 Burde의 법칙과 관련된 결과를 증명한다.

• 유리 사분위수 상호주의
• 유리 사분위수 II