디리클레의 근사 정리

수 이론에서 디리클레트의 근사치 정리라고도 하는 디리클레트의 정리에서는 1${\displaystyle }$theorem N ${\displaystyle \alpha$과 N {\$displaystyle$ $N$$}$의 $실수$에 대해 $그러한{\displaystyle \mathrm{}}$ $정수{\displaystyle }$$$ p ${\displaystyle p}$과 $q {\displaystyle$ p$}$이 존재한다고 명시하고 있다.${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \le }$ N ${\displaystyle 1\leq q\leq N}$ 및

${\displaystyle \left q\alpha -p\오른쪽 \leq {1}{{[N]+1}{\frac {1}{N}}.}$

여기서${\displaystyle }$[ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [N]}$은$($는$)$ N {\$displaystyle$ N}의$$ 정수 부분을 나타낸다$.$ 이는 디오판틴 근사치의 근본적 결과로서, 어떤 실제 숫자도 일련의 양호한 합리적 근사치를 가지고 있음을 보여준다. 사실 즉각적인 결과는 주어진 불합리한 α에 대한 불평등이다.

${\displaystyle \left -{\frac {p}{q}}\오른쪽 <{\frac {1}{q^{2}}:}$

무한히 많은 정수 p와 q로 만족한다.또한 이 예측은 다른 방향으로의 결과인 Thue-Siegel-Roth 정리가 근본적으로 가능한 가장 엄격한 경계를 제공한다는 것을 보여주는데, 이는 대수적 숫자의 합리적 근사치에 대한 경계는 2 이상의 지수를 증가시킴으로써 개선할 수 없다는 것이다.Thue-Siegel-Roth 정리는 숫자 이론의 고급 기법을 사용하지만, 황금 ${\displaystyle \mathrm{비율}}({\displaystyle }$1${\displaystyle }$+${\displaystyle 5\sqrt{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle )/2\mathrm{}}$ ${\displaystyle(1+{\sqrt{5})/2}$와 같은 많은 간단한 숫자들은 지수 2를 넘어 비교 가능한 것으로 훨씬 쉽게 검증될 수 있다$$.이 지수를 비합리성 척도라고 한다.

동시 버전

The simultaneous version of the Dirichlet's approximation theorem states that given real numbers ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{d}}$ and a natural number ${\displaystyle N}$ then there are integers ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{d},q\in \mathbb {Z}$$,$${\displaystyle 1_{}}$\leq $q$${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ≤ 1${\displaystyle \frac{{q\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ 1 / ${\displaystyle \frac{d^{}}{}}$ .${\displaystyle \left \alpha _{i}-{p_{i}}}}}\right \leq {\frac {$1}{qN$^{1/$$d$}}}.$}$

증명방법

비둘기 구멍 원리에 의한 증거

이 정리는 비둘기구멍 원리의 결과물이다.결과를 입증한 피터 구스타프 르주네 디리클레트는 다른 맥락에서 같은 원리를 사용했으며(예: 펠 방정식), 교과서적인 용어로 그 위상이 나중에 나오지만 (독일어로) 그 원리를 명명함으로써 그 사용을 대중화시켰다.^[1]그 방법은 동시 근사치까지 확장된다.^[2]

증명 개요:$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha}$을(를) 비합리적인 숫자로 하고$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$을(를) 정수로$$ 한다.모든 k의 경우=0,1,..., n{\displaystyle k=0,1,...,n}우리가 써서 kα=mk+xk{\displaystyle k\alpha =m_{k}+x_{k}}가 mk{\displaystyle m_{k}}는 정수와 0≤)k개체, 1{\displaystyle 0\leq x_{k}< 1}. 누군갈 수 있는 나누는 간격 경우 0,1){\displaystyle -LSB- 0,1)}에. n${\displaystyle n}$ 측정값 ${\displaystyle \frac{1}{}}$ n ${\displaystyle$ {$1}{n1}$의 작은$$$$ 간격$.$ $이제{\displaystyle }$ n${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n+1} 숫자$ $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1, .${\displaystyle }$.${\displaystyle }$x${\displaystyle n_{}}$ ${\$},${n$},$n$$}$ 및 n ${\displaystyplaystystystystystystymmet styleann}$이 있다.그러므로 비둘기구멍 원리에 의해 적어도 두 개는 같은 간격을 두고 있다.우리는 이 ${\displaystyle x_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ j$${\$displaystyle x_{i},x_{j}}$을(를)" ${\displaystyle i<j}"$라고 부를 수 있다 자:

${\displaystyle (j-i)\m_m_{i} = j\na -m_{j}-(i\na -m_{i}) = x_{j}-x_{n} <{\frac {1}{n}}}}}$

양쪽을 $j{\displaystyle }$ -${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j-i}($으)로 나누면 다음과 같은 결과가 된다$$.

${\displaystyle \reft -{\frac {m_{j}-m_{i}}}\right <{\frac {1}{\frac {1}{(j-i)n}}}}\frac {1}{\frac(j-i\right)^{2}}:$

그리고 우리는 정리를 증명했다.

프루프 바이 민코프스키 정리

디리클레의 근사 정리라는 또 다른 간단한 증거는 세트에 적용된 민코프스키의 정리에 기초하고 있다.

${\displaystyle S=\왼쪽\{(x,y)\in \mathb {R}^{2};-N-{\frac {1}{1}:{2}}:\leq x\leq N+{1}{1},\vertalpha x-y}{1}{N}\right}.}$

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 부피가 $4{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 4}$보다 크기$$ 때문에$,$ 민코프스키의 정리는 적분 좌표를 가진 비극점의 존재를 확립한다.이 증거는 세트를 고려함으로써 자연스럽게 동시 근사치까지 확장된다.

${\displaystyle S=\left\{(x,y_{1},\dots ,y_{d})\in \mathbb {R} ^{1+d};-N-{\frac {1}{2}}\leq x\leq N+{\frac {1}{2}}, \alpha _{i}x-y_{i} \leq {\frac {1}{N^{1/d}}}\right\}.}$

참고 항목

• 디리클레트의 산술 진행 정리
• 후르비츠의 정리(숫자 이론)
• 헤이얼브론 세트
• 크로네커의 정리(디리클레트의 정리 일반화)

메모들

참조

• Schmidt, Wolfgang M (1980). Diophantine approximation. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 785. Springer. doi:10.1007/978-3-540-38645-2. ISBN 978-3-540-38645-2.
• Schmidt, Wolfgang M. (1991). Diophantine Approximations and Diophantine Equations. Lecture Notes in Mathematics book series. Vol. 1467. Springer. doi:10.1007/BFb0098246. ISBN 978-3-540-47374-9.

외부 링크

• 플래닛매스에서의 디리클레트의 근사정리.