매끄러운 계획
Smooth scheme대수 기하학에서, 한 분야에 걸친 매끄러운 체계는 어느 지점 근처에 있는 부속 공간에 의해 충분히 근사하게 계산되는 체계다.부드러움은 단 하나의 단점도 없는 계획의 개념을 정확하게 만드는 한 방법이다.특별한 경우는 한 분야를 넘나드는 매끄러운 다양성의 개념이다.매끄러운 계획은 위상에서 다지관의 대수 기하학 기하학에서 역할을 한다.
정의
첫째로, X는 필드 k에 걸쳐 유한한 형태의 아핀 체계가 되도록 한다.동등하게, X는 자연적인 숫자 n을 위해n a over k의 아핀 공간에 폐쇄적으로 몰입한다.그 다음 X는 일부 방정식1 g = 0r, ..., g = 0에 의해 정의되는 닫힌 하위 체임이며, 여기서 각i g는 다항 링 k[x1,..., xn]에 있다.부속 체계 X는 각 점의 근방에 최소 m의 치수가 있고, 파생상품의 행렬(ggi/xxj)이 X의 모든 곳에 최소 n-m의 순위를 갖는 경우 k에 걸쳐 치수 m의 매끄러운 것이다(X는 각 점의 근방에 m과 동일한 치수를 가진다).[1]부드러움은 아핀 스페이스에 X가 몰입하는 선택과는 무관하다.
파생상품 행렬의 조건은 파생상품 행렬의 모든 (n-m)× (n - m) 미성년자가 0인 X의 닫힌 부분집합이 빈 집합임을 의미하는 것으로 이해된다.동등하게, 모든 g와i 모든 미성년자가 생성하는 다항식 링에서 이상적인 것은 전체 다항식 링이다.
기하학적 용어로 X의 p 지점에 있는 파생상품의 행렬( (gi/∂xj)은 선형 지도 Fn → F를r 제공하며, 여기서 F는 p의 잔류장이다.이 지도의 커널은 p에서 X의 자리스키 접선 공간이라고 불린다.X의 부드러움은 Zariski 접선 공간의 치수가 각 점 근처에 있는 X의 치수와 같다는 것을 의미한다. 단수점에서 Zariski 접선 공간은 더 클 것이다.
보다 일반적으로 필드 k에 대한 체계 X는 각 지점의 k에 대한 치수의 부드러운 부착 체계인 개방된 근방이 있는 경우 k에 대해 매끄럽게 된다.특히, k에 대한 매끄러운 계획은 국소적으로 유한한 유형이다.
계략의 부드러운 형태론에 대한 보다 일반적인 개념이 있는데, 그것은 대략 매끄러운 섬유를 가진 형태론이다.특히 형태론 X → 스펙 k가 매끄러울 경우에만 필드 k에 걸쳐서 체계 X가 매끄러워진다.
특성.
밭에 매끄러운 계획은 규칙적이고 따라서 정상이다.특히 밭을 둘러싼 평탄한 구도가 축소된다.
필드 k에 걸쳐 변종을 정의하여 k에 걸쳐 유한형식의 일체형 분리형식으로 한다.그리고 k보다 유한한 유형의 매끄러운 분리 방식은 k보다 매끄러운 품종의 유한 분리 결합이다.
복잡한 숫자에 걸친 부드러운 품종 X의 경우 X의 복잡한 점의 공간 X(C)는 고전적(유클리드) 위상을 사용하는 복합 다지관이다.마찬가지로, 실수에 대한 매끄러운 버라이어티 X의 경우, 실제 지점의 공간 X(R)는 실제 다지관이며, 아마도 비어 있을 것이다.
필드 k에 걸쳐 유한한 유형의 국소적인 모든 체계 X에 대해 X에는 일관된 차등 층 Ω이1 있다.Ω이1 각 지점 근처에 있는 X의 치수와 동일한 등급의 벡터 번들일 경우에만 스키마 X는 k에 걸쳐 매끄러워진다.[2]이 경우 Ω은1 X의 등각 번들이라고 한다.k에 대한 부드러운 체계의 접선 번들은 이중 번들, TX = (Ω1)로 정의할 수 있다.*
부드러움은 기하학적 특성으로, 어떤 필드 익스텐션 E의 경우, 스키마 X가 스키마E X := X Spec k× 스펙 E가 스키마 E 위에 있는 경우에만 k 위에 매끄러워진다는 것을 의미한다.완벽한 필드 k의 경우, X가 k보다 유한한 유형의 국소이고 X가 정규인 경우에만 스키마 X가 k보다 매끄럽다.
일반 부드러움
체계 X는 치수 n이 k보다 부드러운 개방된 밀도 부분집합을 포함하는 경우 일반적으로 치수 n이 k보다 부드러운 것으로 알려져 있다.완벽한 분야(특히 대수학적으로 폐쇄된 분야)에 걸친 모든 다양성은 일반적으로 부드럽다.[3]
예
- 아핀 공간과 투영 공간은 필드 k에 걸쳐 매끄러운 계획이다.
- 투사 공간n P over k에서 매끄러운 과외면의 예는 Fermat 과외면0d x + ...이다.+ xnd = 0, k 단위의 변환 불가능한 모든 양의 정수 d에 대해.
- 필드 k에 대한 단수(매끄럽지 않은) 체계의 예는 k에 대한 부속선 A의1 닫힌 하위2 체임 x = 0이다.
- k에 대한 단수(평활하지 않은) 품종의 예로는 아핀 평면 A의2 정점 입방곡선2 x = y가3 있는데, 이는 원점(x,y) = (0,0) 밖에서 매끈하다.
- 필드 k에 대한 0차원 버라이어티 X는 X = 스펙 E 형식이며 여기서 E는 k의 유한 확장 필드다.품종 X는 E가 k의 분리 가능한 확장인 경우에만 k에 대해 매끄럽게 된다.따라서 E가 k에 대해 분리할 수 없는 경우 X는 정규 체계지만 k에 대해서는 매끄럽지 않다.예를 들어, k는 소수 p에 대해 합리적인 함수 Fp(t)의 필드로 하고 E = Fp(t1/p)로 한다. 그러면 Spec E는 k에 대해 다양한 차원 0이며, 이는 정규 체계지만 k에 대해서는 매끄럽지 않다.
- 슈베르트 품종은 대체로 부드럽지 않다.
메모들
참조
- D. http://www.math.harvard.edu/~gaitsgde/Schemes_2009/BR/SmoothMaps.pdf에서 평탄도와 부드러움에 대한 Gaitsgory의 노트
- Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
- Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6, MR 1011461
