클래스번호식

숫자 이론에서, 클래스 번호 공식은 숫자 필드의 많은 중요한 불변수들과 그것의 디데킨드 제타 함수의 특별한 가치를 연관시킨다.

클래스 번호 공식의 일반 문

먼저 다음 데이터로 시작하십시오.

• K는 숫자 분야다.
• [K : Q] = n = r₁ + 2r₂, 여기서 r은₁ K의 실제 임베딩 수를 나타내며, 2r는₂ K의 복합 임베딩 수입니다.
• ζ은_K K의 데데킨드 제타 함수다.
• h는_K K의 이상적인 클래스 그룹에 있는 요소의 수인 클래스 번호다.
• Reg는_K K의 조절기다.
• w는_K K에 포함된 통합의 뿌리의 수입니다.
• D는_K 확장 K/Q의 판별이다.

다음:

정리(Class Number Formula).ζ은_K Re(s) > 1에 절대적으로 수렴되며 s = 1에 단순 폴이 하나만 있고 잔여물이 있는 모든 복합 s에 대해 정의된 용적함수로 확장된다.

${\displaystyle \lim _{s\to 1}(s-1)\zeta _{K}(s)={\frac {2^{r_{1}}\cdot (2\pi )^{r_{2}}\cdot \operatorname {Reg} _{K}\cdot h_{K}}{w_{K}\cdot {\sqrt { D_{K} }}}}}$

이것은 가장 일반적인 "클래스 번호 공식"이다.특히, 예를 들어 K가 Q의 사이클로토믹스 확장인 경우, 보다 구체적이고 정제된 클래스 번호 공식들이 있다.

증명

클래스 번호 공식의 증명 아이디어는 K = Q(i)일 때 가장 쉽게 나타난다.이 경우 K에서 정수의 링은 가우스 정수가 된다.

기초 조작을 통해 s = 1에서 데데킨드 제타 함수의 잔류물이 데데킨드 제타 함수의 디리클레 시리즈 표현 계수의 평균임을 알 수 있다.디리클레 시리즈의 n번째 계수는 기본적으로 n의 표현 횟수로, 비음수 정수의 두 제곱합이다.그래서 평균 표현 수를 계산하여 s = 1에서 데데킨드 제타 함수의 잔여물을 계산할 수 있다.가우스 서클 문제에 관한 글에서와 같이, 잔류물이 파이의 1/4이라고 결론지으면서 원점을 중심으로 한 쿼터 서클 내부의 격자점 수를 근사하게 계산하면 이를 계산할 수 있다.

K가 임의의 가상의 2차 숫자 필드일 때의 증명은 매우 유사하다.^[1]

일반적인 경우, 디리클레의 단위 정리로는 K의 정수 링에 있는 단위 집단이 무한하다.그럼에도 불구하고 실제와 복잡한 임베딩의^[2] 고전적 이론을 이용하여 격자점 계산 문제로 잔존물의 연산을 줄일 수 있고, 지역의 부피에 의해 한 지역의 격자점 수를 대략적으로 추정할 수 있다.

디리클레 클래스 번호 공식

피터 구스타프 르주네 디리클레트는 1839년에 2차적 분야의 계급 번호 공식에 대한 증거를 발표했지만, 이상 계급보다는 2차적 형태의 언어로 명시되었다.가우스는 1801년에 이미 이 공식을 알고 있었던 것으로 보인다.^[3]

이 박람회는 Davenport를 따른다.^[4]

d를 근본적인 판별자가 되게 하고, 판별 d를 가진 2차 형태의 동등성 등급의 수에 대해 h(d)를 쓰도록 한다.$\chi {\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle d\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{m}{}}$) ${\$$\right)}$은(는) 크론커 기호가 된다$$.그러면 $\chi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \chi}$은 디리클레 문자다.Write ${\displaystyle L(s,\chi )}$ for the Dirichlet L-series based on ${\displaystyle \chi }$. For d > 0, let t > 0, u > 0 be the solution to the Pell equation ${\displaystyle t^{2}-du^{2}=4}$ for which u is smallest, and write

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{2}}(t+u{\sqrt{d}).}$

(그러면 ${\displaystyle \var렙실론 }$은(는) 실제 2차 필드 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$(${\displaystyle d}$) ${\displaystyle \mathb {Q}({\sqrt{d})$의 기본 단위이거나 기본 단위의 제곱이다.)d < 0의 경우, 2차적 형태의 판별 d의 자동화 수에 대해 w를 쓴다. 즉,

$w={\database}2,&d<-4;\4,&d=4;\6,&d=-3.\end{case}}}$

그러자 디리클레트는 그것을 보여주었다.

${\dplaystyle h(d)={\begin{case}{\dfrac{w{\sqrt{d}}{2\pi }}{{d}\dfrac {\sqrt{d}{\ln \varepsilon }}}{{n \begin,chi),&d}0.\end{case}}}$

This is a special case of Theorem 1 above: for a quadratic field K, the Dedekind zeta function is just ${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\zeta (s)L(s,\chi )}$, and the residue is ${\displaystyle L(1,\chi )}$. Dirichlet also showed that the L-series can be written in a finite form, which gives계급 번호의 유한 형식$prime{\displaystyle }$ {\displaystyle $\chi}$이(가) 기본 컨덕터 q$$ {\$displaystyle q}$과(와$)$ 함께 원시적이라고 가정해 보십시오$.$ 그러면

${\displaystyle L(1,\chi )={\begin{cases}-{\dfrac {\pi }{q^{3/2}}}\sum _{m=1}^{q-1}m\left({\dfrac {m}{q}}\right),&q\equiv 3\mod 4;\\-{\dfrac {1}{q^{1/2}}}\sum _{m=1}^{q-1}\left({\dfrac {m}{q}}\right)\ln \left(2\sin {\dfrac {m\pi }{q}}\right),&q\equiv 1\mod 4.\end{case}}}$

이성계의 갈루아 확장

K가 Q의 갈루아 확장형이라면 아르틴 L 기능 이론은 ${\displaystyle k}$ K${\displaystyle {}_{}}$( s${\displaystyle }$) ${\displaystyle \zeta _{K}}}$에 적용된다$.$ 리만 제타 함수의 한 인자를 가지고 있는데, 이 인자는 잔여 1의 극을 가지고 있으며, 몫은 s = 1에서 규칙적이다.이것은 클래스 번호 공식의 오른쪽을 왼쪽과 동일시할 수 있다는 것을 의미한다.

π L(1,610)^{dim ρ}

ρ은 치수 딤(dim)의 Gal(K/Q)의 수정불가비 복합 선형 표현 클래스에 걸쳐 실행한다.그것은 정규표현의 표준분해에 따른 것이다.

이성계의 아벨리아식 확장.

위와 같은 경우가 있는데, 아벨 그룹인 갈(K/Q)은 모든 ρ을 도체라 불리는 어떤 계량 f를 위해 (계급장 이론을 통해) 디리클레 문자로 대체할 수 있다.따라서 모든 L(1) 값은 로그와 관련된 고전적 공식이 있는 디리클레 L-기능에 대해 발생한다.

Kronecker-Weber 정리에서는 분석 등급 번호 공식에 필요한 모든 값이 사이클로토믹 장을 고려할 때 이미 발생한다.그 경우에 쿠머가 보여주듯이 추가적인 제형이 가능하다.조절기는 사이클로토믹장 단위의 로그로 나눈 '로그 공간'의 부피 계산으로, 사이클로토믹 단위의 로그로 인식할 수 있는 L(1)의 수량에 대해 설정할 수 있다.전체 단위 그룹의 사이클로토믹 단위 지수에 의해 등급 번호가 결정된다는 결과 공식이 있다.

이와사와 이론에서는 이러한 사상이 스틱벨베르거의 정리와 더욱 결합되어 있다.

메모들

참조

• W. Narkiewicz (1990). Elementary and analytic theory of algebraic numbers (2nd ed.). Springer-Verlag/Polish Scientific Publishers PWN. pp. 324–355. ISBN 3-540-51250-0.

이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유-알리케 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath의 클래스 번호 공식의 자료가 통합되어 있다.