디데킨드 제타 함수

수학에서 일반적으로 ζ_K(s)로 표기되는 대수적 숫자 필드 K의 데데킨드 제타 함수는 리만 제타 함수의 일반화(K가 합리적인 숫자 Q의 필드인 경우 얻음)이다. 디리클레 시리즈로 정의할 수 있으며 오일러 제품 확장, 기능 방정식을 만족시킬 수 있으며, s = 1에서 단순한 극만으로 복합 평면 C의 용적함수에 대한 분석적 연속성을 가지고 있으며, 그 값은 K의 산술 데이터를 인코딩한다. 확장된 리만 가설은 ζ_K = 0과 0 < Re(s) > 1이면 Re(s) = 1/2이라고 한다.

데데킨드 제타 함수는 피터 구스타프 르주네 디리클레트의 보를레성겐 뷔르 자흘렌테우리(Vorlesungen)에 대한 부록으로 소개한 리처드 드데킨드의 이름을 따서 명명되었다.^[1]

정의 및 기본 속성

K를 대수적 숫자장이 되게 하라. 그것의 디데킨드 제타 함수는 Dirichlet 시리즈에 의해 Re(s) > 1의 실제 부품인 복잡한 숫자에 대해 처음 정의된다.

\jeta _{K}=\sum _{I\subseteq {\mathcal{O}_{K}}{{{1}{{{K_/\mathbf{Q}}}{s}}}}}}}:{s}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

여기서 I의 범위는 K와_K/Q N(I)의_K 정수 O 링의 0이 아닌 이상이다(O에서_K I의 지수 [O_K : I]와 동일하거나 동등하게 지수_K O/I의 카디널리티를 나타낸다. 이 합은 실제 부품 Re(s) > 1과 모든 복잡한 숫자에 대해 절대적으로 수렴된다. 케이스 K = Q의 경우, 이 정의는 리만 제타 함수의 정의로 감소한다.

오일러 제품

$K$ $K$ 의 데데킨드 제타 함수는 O ${\$ $mathfrak {p}$ 의 ${\mathfrak {p}}$ 모든 주요 ${\mathcal {O}}_{K}$ p {\displaystyle {\ $mathcal{O}_{K}}$ 에 걸쳐서 생산된 오일러 제품을 가지고 $K$ 있다.

\zeta _{K}(s)=\prod _{{\mathfrak {p}}\subseteq {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{1-N_{K/\mathbf {Q} }({\mathfrak {p}})^{-s}}},{\text{ for Re}}(s)>1.

$이것$ 은 O $\mathrm {Re} (s)>1,\ \zeta _{K}(s)$ ${\$ {\ $mathcal{O}_{K}}$ 에서 이상에 대한 프라임 인자화의 고유성에 대한 분석적 용어의 표현이다 ${\mathcal {O}}_{K}$ $\mathrm {Re} (s)>1,\ \zeta _{K}(s)$ $\mathrm {Re} (s)>1,\ \zeta _{K}(s)$ ( s $\mathrm {Re} (s)>1,\ \zeta _{K}(s)$ ) $\mathrm {Re} (s)>1,\ \zeta _{K}(s)$ > 1 , $\mathrm {Re} (s)>1,\ \zeta _{K}(s)$ K ( $\mathrm {Re} (s)>1,\ \zeta _{K}(s)$ ) ${\displaysty \mathrm {Re}{K}s}$ 는 0이 아니다 $\mathrm {Re} (s)>1,\ \zeta _{K}(s)$ .

해석적 연속성 및 기능 방정식

에리히 헤케는 ζ이_K s = 1에서만 간단한 폴을 갖는 등 용적함수로서 복잡한 평면에 대한 분석적 연속성을 갖는다는 것을 처음 증명했다. 이 극의 잔류물은 분석 등급 번호 공식에 의해 제공되며 단위 그룹과 K 등급 그룹의 불변수를 포함하는 중요한 산술 데이터로 구성된다.

디데킨드 제타 함수는 s와 1 - s에서의 값과 관련된 함수 방정식을 만족한다. 특히 Δ는_K K의 차별성을 나타내고, let r₁ (resp. r₂)은 K의 실제 장소(복잡한 장소)의 수를 나타내며, let leasekind zeta 함수는 다음과 같이 한다.

\Gamma _{\mathbf {R}}=\pi ^{-s/2}\Gamma(s/2)

그리고

\Gamma _{\mathbf {C}}=2(2\pi )^{-s}\Gamma

여기서 γ은 감마함수다. 그리고 나서, 기능들은.

\Lambda _{K}(s)=\left \Delta _{K}\right ^{s/2}\Gamma _{\mathbf {R} }(s)^{r_{1}}\Gamma _{\mathbf {C} }(s)^{r_{2}}\zeta _{K}(s)\qquad \Xi _{K}(s)={\tfrac {1}{2}}(s^{2}+{\tfrac {1}{4}})\Lambda _{K}({\tfrac {1}{2}}+is)

함수 방정식을 만족시키다

\Lambda _{K}=\Lambda _{K}(1-s).\qquad \Xi _{K}-s=\Xi _{K}s\;

특수값

리만 제타 함수와 유사하게, 정수의 데데킨드 제타 함수의 값은 필드 K의 중요한 산술 데이터를 인코딩(최소한 추측)한다. 예를 들어, 분석 등급 번호 공식은 s = 1에서 K의 등급 번호 h(K), K의 조절기 R(K), K의 통합 뿌리의 숫자 w(K) 및 K의 절대 차별성, K의 실질적이고 복잡한 장소의 수와 관련된다. 다른 예로는 s = 0에서 순서 r이 O_K 단위 그룹의 순위와 같고 선행 조건이 다음과 같은 경우 입니다.

\lim _{s\오른쪽 화살표 0}s^{-r}\zeta _{K}=-{\frac {h(K)R(K)}{w(K)}}}.

$r=r_{1}+r_{2}-1$ = $r=r_{1}+r_{2}-1$ = $r=r_{1}+r_{2}-1$ 1 $r=r_{1}+r_{2}-1$ + $r=r_{1}+r_{2}-1$ $r=r_{1}+r_{2}-1$ - 1 ${\displaystyle r=r_{1}+r_{2}-1$ 함수 방정식과 γ_K(s)이 모든 음의 짝수 정수에서 소멸되는 0보다 작거나 같은 모든 정수에 무한하다는 사실을 결합한 것이다. K가 완전히 진짜(예₂: r = 0; Q 또는 실제 2차 필드)가 아니면 음의 홀수 정수에서도 사라진다. 완전히 실제적인 경우에서 칼 루트비히 시겔은 negative이 음의 홀수 정수에서_K 0이 아닌 이성수임을 보여주었다. 스테판 리히텐바움은 K의 대수적 K 이론의 관점에서 이러한 합리적 숫자에 대한 구체적인 값을 추측했다.

기타 L 기능과의 관계

K가 Q의 아벨리안 확장형인 경우, 디데킨드 제타 함수는 디리클레 L-기능의 제품으로 작성할 수 있다. 예를 들어, K가 2차 필드인 경우 이는 비율을 나타낸다.

{\frac {\zeta _{K}}{\zeta _{\mathbf {Q}}}}}

L-함수 L(s, χ)이며, 여기서 χ은 디리클레 문자로 사용되는 자코비 기호다. 2차 영역의 제타 함수가 리만 제타 함수의 산물이고 특정 디리클레 L-함수는 가우스의 2차 상호주의 법칙의 분석적 공식이다.

일반적으로 K가 갈루아 그룹 G와 Q의 갈루아 확장형이라면, 디데킨드 제타 기능은 G의 정규표현의 Artin L-기능이므로 G의 수정불가 아르틴 L-기능 측면에서 인자가 된다.

The relation with Artin L-functions shows that if L/K is a Galois extension then ${\frac {\zeta _{L}(s)}{\zeta _{K}(s)}}$ is holomorphic ( $\zeta _{K}(s)$ "divides" $\zeta _{L}(s)$ ): for general extensions the result woul아르틴 추측에서 L-기능을 따르다.^[2]

또한 ζ은_K 사양 O의_K^[3] Hasse-Weil zeta 함수와 사양 K의 동역학에서 오는 동기의 동기 L-함수다.^[4]

산술 등가장

두 개의 필드가 동일한 데데킨드 제타 함수를 갖는 경우 산술적으로 등가라고 한다. Wieb Bosma와 Bart de Smit(2002)는 산술적으로 동등한 비 이형성 장 쌍의 예를 몇 가지 제시하기 위해 Gasmann 3쌍을 사용했다. 특히 이들 쌍 중 일부는 다른 등급 번호를 가지고 있으므로 숫자 필드의 데데킨드 제타 함수는 등급 번호를 결정하지 않는다.

메모들

^ Narkiewicz 2004, §7.4.1
^ 마르티넷(1977년) 페이지 19
^ 1994, §1
^ 플라크 2004, §1.1

참조

Bosma, Wieb; de Smit, Bart (2002), "On arithmetically equivalent number fields of small degree", in Kohel, David R.; Fieker, Claus (eds.), Algorithmic number theory (Sydney, 2002), Lecture Notes in Comput. Sci., vol. 2369, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 67–79, doi:10.1007/3-540-45455-1_6, ISBN 978-3-540-43863-2, MR 2041074
제10.5.1절
Deninger, Christopher (1994), "L-functions of mixed motives", in Jannsen, Uwe; Kleiman, Steven; Serre, Jean-Pierre (eds.), Motives, Part 1, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol. 55.1, American Mathematical Society, pp. 517–525, ISBN 978-0-8218-1635-6^{[영구적 데드링크]}
Flach, Mathias (2004), "The equivariant Tamagawa number conjecture: a survey", in Burns, David; Popescu, Christian; Sands, Jonathan; et al. (eds.), Stark's conjectures: recent work and new directions (PDF), Contemporary Mathematics, vol. 358, American Mathematical Society, pp. 79–125, ISBN 978-0-8218-3480-0
Martinet, J. (1977), "Character theory and Artin L-functions", in Fröhlich, A. (ed.), Algebraic Number Fields, Proc. Symp. London Math. Soc., Univ. Durham 1975, Academic Press, pp. 1–87, ISBN 0-12-268960-7, Zbl 0359.12015
Narkiewicz, Władysław (2004), Elementary and analytic theory of algebraic numbers, Springer Monographs in Mathematics (3 ed.), Berlin: Springer-Verlag, Chapter 7, ISBN 978-3-540-21902-6, MR 2078267

[1] Narkiewicz 2004, §7.4.1

[Mar19-2] 마르티넷(1977년) 페이지 19

[3] 1994, §1

[4] 플라크 2004, §1.1

[1]

[2]

[3]

[4]

v t 숫자 이론의 L 기능
분석적 예	리만 제타 함수 디리클레 L 기능 헤케 캐릭터의 L-기능 자동형 L 기능 셀버그급
대수적 예	디데킨드 제타 함수 아르틴 L 기능 Hasse-Weil L-기능 동기 L 기능
정리	분석등급번호식 리만-본 망골트 공식 웨일 추측
분석적 추측	리만 가설 일반화 리만 가설 린델뢰프 가설 라마누잔-피터슨 추측 아르틴 추측
대수적 추측	버치·스위너튼-다이어 추측 델리뉴의 추측 베이린슨 추측 블로흐-카토 추측 랭글랜드 추측
p-adic L 기능	이와사와 이론의 주요 추측 셀머 그룹 오일러 시스템

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