디리클레의 단위 정리

수학에서 디리클레의 단위 정리는 피터 구스타프 르주네 디리클레로 인한 대수적 수 이론의 기본적인 결과물이다.^[1]숫자 필드 $K$ 의 대수 정수의 링 $O$ 에서_K 단위 그룹의 순위를 결정한다.조절기는 단위가 얼마나 "감각"한지 결정하는 양의 실수다.

이 문장은 단위 그룹이 정밀하게 생성되고 다음과 같은 순위(승수 독립 원소의 최대 수)를 갖는다는 것이다.

r = r 1 + r 2 - 1

여기서 $r$ 은₁ $K$ 의 실제 임베딩 수와 복합 임베딩의 결합₂ 쌍 수입니다. $r$ 과₁ $r$ 의₂ 이러한 특성화는 $n=[K:\mathbb {Q} ]$ = $n=[K:\mathbb {Q} ]$ [ K $n=[K:\mathbb {Q} ]$ : $n=[K:\mathbb {Q} ]$ $n=[K:\mathbb {Q} ]$ $n=[K:\mathb {Q} ]$ 의 정도만큼 복잡한 숫자 필드에 $K$ 를 내장할 수 있는 방법이 많을 것이라는 생각에 기초한다 $n=[K:\mathbb {Q} ]$ 이것들은 실제 숫자에 포함되거나 복잡한 결합에 의해 관련되는 임베딩 쌍에 포함될 것이다.

n = r 1 + 2 r 2

.

$K$ 가 $\mathbb {Q}$ ${\$ 에 걸쳐 Galois인 $경우 1 r$ = $02$ 또는 $r$ = 0에 해당한다는 $\mathbb {Q}$ 점에 유의하십시오.

$r$ 과₁ $r$ 을₂ 결정하는 다른 방법은

다음 α의 공액점:선분 AB를, 2r2하는 복잡한은 최고 진짜 r1은 숫자였을 것이다; 다른 말로 α의 Q{\displaystyle \mathbb{Q}에, 만약 f최소한의 다항식}, 그때 r1 것은 진정한 뿌리들의 번호와 2r2은 n. K= Q(α){\displaystyle K=\mathbb{Q}(\alpha)}을 작성하는 원시적 요소 정리 사용하라umber (복잡한 결합 쌍으로 제공되는) $f$ 의 비실제 복합 뿌리
필드 $K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R}$ $K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R}$ $K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R}$ $K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R}$ ${\$ 필드의 텐서 제품을 필드의 제품으로 쓰고 $K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R}$ , $\mathbb {R}$ ${\$ 및 $\mathbb {C}$ ${\$ 의₂ $r 1$ 복사본이 있다 $\mathbb {C}$

예를 들어 $K$ 가 2차 필드일 경우 등급은 실제 2차 필드일 경우 1이고, 가상 2차 필드일 경우 0이다.실제 이차장에 대한 이론은 본질적으로 펠의 방정식 이론이다.

순위는 $\mathbb {Q}$ ${\$ 을 $\mathbb {Q}$ $($ 를) 제외한 모든 숫자 필드와 순위 0을(를) 가진 가상의 2차 필드에서 양수한다.단위의 '크기'는 일반적으로 조절기라 불리는 결정요인에 의해 측정된다.단위의 근거는 원칙적으로 효과적으로 계산할 수 있으며, 실제로는 $n$ 이 클 때 계산이 상당히 관련되어 있다.

단위집단의 비틀림(torsion)은 유한 순환집단을 형성하는 $K$ 의 모든 통합의 뿌리의 집합이다.따라서 적어도 하나의 실제 포함이 있는 숫자 필드의 경우 비틀림은 ${1,-1}$ 만 되어야 한다.숫자 필드(예: 대부분의 가상의 2차 필드)는 단위 그룹의 비틀림을 위해 ${1,-1}$ 을(를) 갖는 실제 임베딩이 없다.

유닛에 관해서는 완전히 실제적인 분야가 특별하다. $L / K$ 가 1보다 큰 숫자 필드의 유한한 확장이고 $L$ 과 $K$ 의 정수에 대한 단위 그룹이 같은 순위를 갖는다면 $K$ 는 완전히 실재하며 $L$ 은 완전히 복잡한 2차 확장이다.반대도 마찬가지야. ( $예$ 를 들어 K는 이성계와 같고 $L$ 은 가상의 2차장과 같으며, 둘 다 단위 순위 0을 가지고 있다.)

정리는 최대 순서 $O뿐$ 만_K 아니라 어떤 순서 O ⊂ $O$ 에도_K 적용된다.^[2]

Helmut Hasse (그리고 후에 Claude Chevalley)에 의한 단위 정리의 일반화가 있어 S-units 그룹의 구조를 기술하고, 정수의 링의 국소화에 있어서 단위 그룹의 순위를 결정한다.또한 $\mathbb {Q} \oplus O_{K,S}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q} \oplus O_{K,S}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q} \oplus O_{K,S}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q} \oplus O_{K,S}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q}$ , $\mathbb {Q} \oplus O_{K,S}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q} \oplus O_{K,S}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q}$ Z $\mathbb {Q} \oplus O_{K,S}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q}$ ${\$ 의 Galois 모듈 구조가 결정되었다 $\mathbb {Q} \oplus O_{K,S}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q}$ .^[3]

조절기

K가 숫자 필드이고 $u_{1},\dots ,u_{r}$ 1 … , $u_{1},\dots ,u_{r}$ r ${\$ 이(가) 통합의 K 모듈로 뿌리의 단위 그룹에 대한 생성기 집합이라고 $u_{1},\dots ,u_{r}$ 가정한다.K의 아르키메데스는 실제적이든 복합적이든 r + $1$ 이 될 것이다.For $u\in K$ , write $u^{(1)},\dots ,u^{(r+1)}$ for the different embeddings into $\mathbb {R}$ or $\mathbb {C}$ and set $N j$ to 1 or 2 if the corresponding embedding is real or complex respectively. $그$ 다음 r × $(r$ $+ 1)$

\left(N_{j}\log \left u_{i}^{(j)}\right)_{i=1,\dots,r,\j=1,\dots,r+1

모든 행의 합이 0인 속성을 가지고 있다(모든 단위는 표준 1을 가지며, 표준의 로그는 한 행에 있는 항목의 합이기 때문이다.이는 하나의 열을 삭제하여 형성된 하위계층의 결정요인의 절대값

R

이 해당 열과 독립되어 있음을 의미한다.

숫자

R을 대수적 숫자 필드의 조절기라고 한다(발전기

u

의_i 선택에 따라 달라지지 않는다).단위의 "밀도"를 측정한다. 조절기가 작을 경우 단위의 "집중"이 있음을 의미한다.

조절기는 다음과 같은 기하학적 해석을 가지고 있다.The map taking a unit $u$ to the vector with entries ${\textstyle N_{j}\log \left u^{(j)}\right }$ has an image in the $r$ -dimensional subspace of $\mathbb {R} ^{r+1}$ consisting of all vectors whose entries have sum 0, and by Dirichlet's unit theorem the image is a lattice in t그의 아공간이 격자의 기본 도메인의 볼륨은 $R{\sqrt {r+1}}$ $R{\sqrt {r+1}}$ + $R{\sqrt {r+1}}$ ${\$ R ${\sqrt{r+1$ } 입니다 $R{\sqrt {r+1}}$

현재 많은 경우에 그것을 할 수 있는 컴퓨터 대수 패키지가 있지만, 2도 이상의 대수적 수 영역의 조절기는 계산하기가 보통 상당히 번거롭다.일반적으로 클래스 번호 $h$ 와 조절기의 제품 $hR$ 을 클래스 번호 공식으로 계산하는 것이 훨씬 용이하며 대수적 숫자 필드의 클래스 번호 계산에 있어 주된 난이도는 대개 조절기의 계산이다.

예

f (x)

=

x 3

+

x 2

-

2x

-

1

의

\mathbb {Q}

루트를 Q

{\

에 연결하여 얻은 순환 입방 필드

K

단위 그룹의 로그 공간에 있는 기본 도메인.

α

가

f (x

)의 루트를 나타내는 경우

,

기본 단위의

집합

은₁

{,,

},}

이며₂

여기

서₁

= =

α 2

+

α

-

1

과₂

= =

2

-

α

이다².기본 영역의 면적은 약 0.910114이므로

K

의 조절기는 약 0.525455이다.

상상의 2차장 또는 합리적인 정수의 조절기는 1이다(0 × 0 행렬의 결정 인자는 1)
실제 2차 영역의 조정기는 그 기본 단위의 로그로, 예를 들어 $\mathbb {Q} ({\sqrt {5}})$ ( 5 $\mathbb {Q} ({\sqrt {5}})$ ) ${\displaystyle \mathb {Q}({\sqrt{5}})$ 의 $\mathbb {Q} ({\sqrt {5}})$ 로그는 ${\textstyle \log {\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}$ 5 ${\textstyle \log {\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}$ + ${\textstyle \log {\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}$ ${\textstyle \log {\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}$ ${\$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {5}})$ 은 다음과 같이 볼 수 있다.A fundamental unit is ${\textstyle {\sqrt {5}}+1/2}$ , and its images under the two embeddings into $\mathbb {R}$ are ${\textstyle {\sqrt {5}}+1/2}$ and ${\textstyle -{\sqrt {5}}+1/2}$ . So the $r \times (r + 1)$ matrix is $\left[1\propert \log \refrac {{\sqrt{5}+1}{{-\sqrt{5}}{2}}\right \frac}{\precovery 1\log \log \right}$
주기적 입방체 필드 $\mathbb {Q} (\alpha )$ ( $\mathbb {Q} (\alpha )$ ) $\mathb {Q}(\alpha )$ 의 조절기는 약 0.5255이며 여기서 $α$ 는 $x 3$ + $x 2$ - $2x$ - $1$ 의 루트다 $\mathbb {Q} (\alpha )$ 단결의 단위 모듈로 뿌리의 집단의 기본은 { $ε 1,$ $ε 2}$ 이며 여기서 $ε 1$ = $α 2$ + $α$ - $1$ 과 $ε 2$ = 2 - $α$ 이다².^[4]

상위 규제 기관

'높은' 조절기(higher' regulator)는 단위 $K그룹$ 에₁ 대해 고전적 조절기가 하는 것과 같은 역할을 하는 지수 $n$ > $1$ 을 갖는 대수적 K-그룹에 대한 함수를 구성하는 것을 말한다.아만드 보렐 등의 연구와 함께 그러한 규제자들의 이론이 개발되고 있다.예를 들어, 베일린슨 추측에서 그러한 상위 규제기관은 역할을 하며, 인수의 정수 값으로 특정 L-기능의 평가에서 발생할 것으로 예상된다.^[5]Beilinson 레귤레이터도 참조하십시오.

스타크 조절기

스타크의 추측의 공식화 때문에 해롤드 스타크는 현재 스타크 조절기라고 불리는 것을 정의하게 되었는데, 이는 고전적인 조절기와 유사하며, 어떤 아르틴 표현에도 붙어 있는 단위 로그의 결정요인이다.^[6]^[7]

p-adic 조절기

$K$ 를 숫자 필드로 하고, $K$ 의 Prime $P$ 보다 약간 높은 고정된 $prime$ p에 대해 $U$ 는_P $P$ 에서 로컬 단위를 나타내고 $U$ 는_1,P U $집합$ 에서_P 주단위의 하위단위를 나타내도록 한다.

U_{1}=\prod _{P}U_{1,P}.

그런 다음 $E$ 는₁ $E$ 에 글로벌 유닛의 대각선 내장을 통해 $U$ 에₁ 매핑되는 글로벌 유닛 $ε$ 의 집합을 나타내도록 한다.

$E$ 는₁ 지구 단위의 유한 지수 부분군이기 때문에 $순위 1$ r + $r 2$ - $1$ 의 아벨 그룹이다.p-adic 조절기는 이 그룹 발전기의 p-adic 로그에 의해 형성된 행렬의 결정 요인이다.레오폴트의 추측에 따르면 이 결정요인은 0이 아니다.^[8]^[9]

참고 항목

메모들

^ Elstrodt 2007, §8.d
^ Stevenhagen, P. (2012). Number Rings (PDF). p. 57.
^ Neukirch, Schmidt & Wingberg 2000, 제안 VIII.8.6.11.
^ 코헨 1993, 표 B.4
^ Bloch, Spencer J. (2000). Higher regulators, algebraic $K$ -theory, and zeta functions of elliptic curves. CRM Monograph Series. Vol. 11. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2114-8. Zbl 0958.19001.
^ Prasad, Dipendra; Yogonanda, C. S. (2007-02-23). A Report on Artin's holomorphy conjecture (PDF) (Report).
^ Dasgupta, Samit (1999). Stark's Conjectures (PDF) (Thesis). Archived from the original (PDF) on 2008-05-10.
^ 노이키르치 외(2008) 페이지 626–627
^ Iwasawa, Kenkichi (1972). Lectures on $p$ -adic $L$ -functions. Annals of Mathematics Studies. Vol. 74. Princeton, NJ: Princeton University Press and University of Tokyo Press. pp. 36–42. ISBN 0-691-08112-3. Zbl 0236.12001.

참조

Cohen, Henri (1993). A Course in Computational Algebraic Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 138. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-55640-4. MR 1228206. Zbl 0786.11071.
Elstrodt, Jürgen (2007). "The Life and Work of Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859)" (PDF). Clay Mathematics Proceedings. Retrieved 2010-06-13.
Lang, Serge (1994). Algebraic number theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 110 (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94225-4. Zbl 0811.11001.
Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 322. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. Zbl 0956.11021.
Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 323, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196, Zbl 0948.11001

[1] Elstrodt 2007, §8.d

[2] Stevenhagen, P. (2012). Number Rings (PDF). p. 57.

[FOOTNOTENeukirchSchmidtWingberg2000proposition_VIII.8.6.11-3] Neukirch, Schmidt & Wingberg 2000, 제안 VIII.8.6.11.

[4] 코헨 1993, 표 B.4

[Bloch-5] Bloch, Spencer J. (2000). Higher regulators, algebraic $K$ -theory, and zeta functions of elliptic curves. CRM Monograph Series. Vol. 11. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2114-8. Zbl 0958.19001.

[6] Prasad, Dipendra; Yogonanda, C. S. (2007-02-23). A Report on Artin's holomorphy conjecture (PDF) (Report).

[7] Dasgupta, Samit (1999). Stark's Conjectures (PDF) (Thesis). Archived from the original (PDF) on 2008-05-10.

[NSW6267-8] 노이키르치 외(2008) 페이지 626–627

[9] Iwasawa, Kenkichi (1972). Lectures on $p$ -adic $L$ -functions. Annals of Mathematics Studies. Vol. 74. Princeton, NJ: Princeton University Press and University of Tokyo Press. pp. 36–42. ISBN 0-691-08112-3. Zbl 0236.12001.

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