양극 좌표

양극 좌표는 아폴로니아 원을 바탕으로 한 2차원 직교 좌표계다.^[1] 혼란스러울 정도로, 같은 용어가 2-중앙 양극 좌표에도 사용되기도 한다. 또한 두 개의 극(사각형 좌표)을 기반으로 하는 제3계통도 있다.

"양극"이라는 용어는 타원, 하이퍼볼라, 카시니 난자와 같이 두 개의 단수점(초점)을 가진 다른 곡선을 설명하는 데 더 많이 사용된다. 그러나 양극 좌표라는 용어는 여기서 설명하는 좌표를 위해 예약되어 있으며 타원 좌표와 같은 다른 곡선과 관련된 시스템에는 결코 사용되지 않는다.

정의

이 시스템은 F와₁ F의₂ 두 가지 포커스를 기반으로 한다. 오른쪽 그림을 참조하여 점 P의 σ 좌표는 F P₁ F₂ 각도와 같고, coord 좌표는₁ d와₂ d: 거리 비율의 자연 로그와 같다.

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}:{d_{2}}.}$

데카르트 시스템에서 포커스를 (-a, 0) 및 (a, 0)에 놓이게 하는 경우, P 지점의 좌표는 다음과 같다.

${\displaystyle x=a\\\\frac {\sinh \tau}{\cosh \tau -\coses }}},\qquad y=a\\\\\\\prac \\cosh \tau -\cosma}}.}$

좌표 τ의 범위는 -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle$ -$\inflt }($F에₁ 가까운 점의 경우) ~ $\infty {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \inflt }($F에₂ 가까운 점의 경우)이다. 좌표 σ은 modulo 2π만 정의되며, P가 하반면에 있을 경우 급성 각도₁ F P F의₂ 음으로 간주하여 -π에서 to까지의 범위로 가장 잘 취한다.

좌표계가 직교한다는 증거

x와 y의 방정식은 다음과 같이 조합할 수 있다.

${\displaystyle x+iy=ai\cHB\fract\\\\\frac {\fltma +i\tau }{2}}\오른쪽).}$^[2][3]

(이것은 먼저 시그마 및 타우에 대해 x와 y를 구별한 다음 스케일 인자를 찾기 위해 아래 절의 논리를 반대로 함으로써 증명할 수 있다.) 이 방정식은 σ과 τ이 x+iy의 분석함수의 실제와 상상의 부분(초점에 로그 분기점 포함)임을 보여주며, 이는 and과 of의 이러한 특정 곡선이 직각에서 교차한다는 것을 (정렬 지도에 대한 일반 이론에 호소함으로써) 증명한다(Cauchy-Remann 방정식). 즉, 좌표 syste를 조정한다.m은 직교한다. 이는 시그마 및 타우와 관련하여 먼저 x와 y를 구별한 다음, 스케일 인자를 찾기 위해 아래 절의 논리를 뒤집는 방법으로 증명할 수 있다.

상수 σ 및 τ의 곡선

상수 σ의 곡선은 비집중 원에 해당한다.

${\displaystyle x^{2}+\왼쪽(y-a\lima \sigma \right)^{2}={\frac {a^{2}}:{\sin ^{2}\ma }}}}}$

두 초점에서 교차하는 것. 상수축 원의 중심은 Y축에 있다. 양수 σ의 원은 x축 위쪽에 중심인 반면, 음수 negative의 원은 축 아래에 있다. 진도 σ - π/2가 감소하면 원의 반지름이 감소하고 중심은 원점(0, 0)에 접근하여 which = π/2일 때 도달한다.(초기 기하학에서는 지름의 반대쪽 끝에 정점이 2개인 원의 모든 삼각형이 직각 삼각형이다.)

상수 $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau }$의 곡선은 서로$$ 다른 반경의 비 교차 원이다.

${\displaystyle y^{2}+\왼쪽(x-a\cot \tau \오른쪽)^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}}}}}$

포커스를 둘러싸고 있지만 다시 한 번 동심원이 아니다. 상수축 원의 중심은 x축에 있다. 양수 circles의 원은 면의 우측(x > 0)에 있는 반면, 음수 τ의 원은 면의 좌측(x < 0)에 있다. τ = 0 곡선은 y축(x = 0)에 해당한다. τ의 크기가 증가하면 원의 반지름이 감소하고 그 중심이 초점에 접근한다.

호혜관계

데카르트 좌표에서 양극 좌표로 향하는 통로는 다음 공식을 통해 수행할 수 있다.

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{1}:{2}}+y^{{2}+y^{2}:{2}{(x-a)^{2}+y^{2}}}}}$

그리고

${\displaystyle \pi -\chma =2\arctan {2ay}{a^{2}-x^{2}+{2}+{\qrt{(a^{2}-x^{2}-y^{2})^{2}+4a^{2}{2}}.}$

좌표에는 다음과 같은 ID도 있다.

${\displaystyle \tanh \tau ={\frac {2ax}{x^{2}+y^{2}+a^{2}}}}}$

그리고

${\displaystyle \tan \sigma ={\frac {2ay}{x^{2}+y^{2}-a^{2}}.}$

위 섹션의 정의에서 x = 0을 얻는 한계. 그리고 x =0에서는 모든 한계가 꽤 평범해 보인다.

척도계수

양극 좌표에 대한 축척 인자를 얻기 위해${\displaystyle }x{\displaystyle }$ + ${\displaystyle i}$ y$${\$displaystyle$x+$iy}$에 대한 방정식의 차이를 구한다$.$

${\displaystyle dx+i\,dy={\frac {-ia}{\sin ^{2}{\bigl (}{\tfrac {1}{1}{{\bigl (}{\bigr )}}}}}(d\brma +i\,d\tau).}$

이 방정식을 복합 결합 수율과 곱하기

${\displaystyle (dx)^{2}+(dy)^{2}={\frac {a^{2}}{{\bigl [}2\sin {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\sigma +i\tau {\bigr )}\sin {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\sigma -i\tau {\bigr )}{\bigr ]}^{2}}}{\bigl (}(d\sigma )^{2}+(d\tau )^{2}{\bigr )}.}$

sine과 cosin의 생산품에 삼각측량적 정체성을 사용하여 우리는 얻는다.

${\displaystyle 2\sin {1}{1}:{1}{{1}\bigl (}\bigl (}\bigr)}\bigl (}\bigl){1}{1}{1}\bigl (}\bigl)=\cos \cosh \tau ,}}$

그 다음이 그것이다.

${\displaystyle (dx)^{2}+(dy)^{2}={\frac{a^{2}}:(\cosh \tau -\cos \cos \cos \bigma )^{2}}:{\bigl (}d\bigl){2}+(d\tau )^{2}{\bigr )}.}$

따라서 σ과 τ의 척도 계수는 같으며 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle h_{\buma }=h_{\\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \coses \ma}}}.}$

현재 직교 좌표에 대한 일반 공식에서 많은 결과가 연속적으로 뒤따른다. 따라서 최소 면적 요소는 동일하다.

${\displaystyle dA={\frac {a^{2}}:{\좌(\cosh \tau -\cos \sigma \오른쪽)^{2}}:\,d\sigma \,d\tau ,}$

그리고 라플라시아인은

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}}}\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right).}$

$\nabla {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \nabla f$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle F\mathbf{}}$ ${\$$\nabla {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle F\mathbf{}}$ ${\$에 대한 표현은 직교차 좌표에 있는 일반 공식으로 대체할 수 있다$$.

적용들

양극 좌표의 고전적 적용은 부분 미분 방정식(예: 라플레이스의 방정식 또는 헬름홀츠 방정식)을 푸는 데 있으며, 양극 좌표는 변수의 분리를 허용한다. 직경이 같지 않은 두 개의 평행 원통형 도체를 둘러싼 전기장이 그 예다.

극성 플롯터는 양극 좌표를 사용하여 대상 이미지를 그리는 데 필요한 그리기 경로를 설명한다.

3차원까지 확장

양극 좌표는 여러 세트의 3차원 직교 좌표에 대한 기초를 형성한다.

• 양극 원통형 좌표는 z축, 즉 평면 외 축을 따라 양극 좌표를 변환하여 생성된다.

• 이구형 좌표는 X축에 대한 양극 좌표, 즉 포커스를 연결하는 축을 회전시켜 생성된다.

• Toroidal 좌표는 Y축에 대한 양극 좌표, 즉 포커스를 분리하는 축을 회전시켜 생성된다.

참조

• "Bipolar coordinates", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Korn GA와 Korn TM. (1961년) Mathemical Handbook for Science and Engineers, McGraw-Hill.