등역학적 점

유클리드 기하학에서 삼각형의 등역학적 점은 삼각형과 연관된 점으로, 이러한 점들 중 하나에 중심을 둔 반전성이 주어진 삼각형을 정삼각형으로 변형시키고, 이역학적 점에서 정점까지의 거리가 반대쪽 측면에 반비례한다는 특성이 있다.삼각형의 e 길이 서로 비슷한 삼각형은 평면의 해당 위치에 등역학적 포인트가 있어 등역학적 포인트가 삼각형의 중심이며, 다른 삼각형의 중심과는 달리 등역학적 포인트도 뫼비우스 변환에 따라 불변한다. 그 자체로 등변형인 삼각형은 그것의 중심에서 독특한 등변학적 점을 가지고 있다; 모든 등변형 삼각형은 두 개의 등변학적 점을 가지고 있다. 등역학적 점수는 조셉 뉴버그(1885년)가 처음 연구해 명명했다.^[1]

거리비

등역학적 점은 원래 점 쌍 사이의 거리에 대한 비율의 특정 등가(또는 제품 등가)에서 정의되었다. $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ 및 $S$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ S$'}$이(가) ${\displaystyle \mathrm{삼각형}}$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$C {\$displaystyle$ABC}의 등역학적 점이라면 ${\displaystyle \mathrm{거리}}$ $A{\displaystyle }$ S ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle B}$= ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle S}$= ${\displaystyle A}$ = ${\displaystyle C}$ = ${\displaystyle C}$ S ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle A}${\$cdot BC}$의 세 가지 제품.$BS\cdot AC=$$CS\cdot AB}$은(는) 동일하다. 이와 유사한 equalities 또한 S′{\displaystyle S}에 Equivalently 제품 공식에, 그 거리를 한 S{AS\displaystyle}, BS{BS\displaystyle}, CS{CS\displaystyle}역으로 해당triangle 측면 길이 BC{기원전\displaystyle}, AC{\displaysty에 비례한다 .[2]을 가지고 있다.르$AC}$, 및 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB}$.

${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$과 $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$은 삼각형 $A{\displaystyle }$ B ${\displaystyle C}${\$displaystyle ABC}$의 삼각형과 연관된 아폴로니우스 원의 공통 교차점이며$$, 각 원은 삼각형의 한 꼭지점을 통과하며 다른 두 꼭지점에 대한 거리의 일정한 비율을 유지하는 원이다$.$^[3] ${\displaystyle {}^{}}$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ 선은 아폴로니우스의 세 쌍의 원 각각에 대한 공통적인 급진적 축이다$$. 선분할 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$의 수직 이등분선은 레모인 선으로$$, 아폴로니우스 원의 세 중심부를 포함하고 있다.^[4]

변형

또한 $삼각형{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ C$${\$displaystyle ABC}$의 등역학적 $점{\displaystyle }$ S$${\$displaystyle$S} $및$ S${\displaystyle {}^{}}${$${\$displaystyle S'}$은 면의 변환, 특히 반전 및 뫼비우스 변환(다중 역전의 제품)과 관련된 속성으로 정의할 수 있다$$. 등역학적 점에 관한$$ 삼각형 A ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle ABC}$의 뒤집힘은 원래 삼각형을 정삼각형으로 변환한다.^[5] 삼각형 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle ABC}$의 원곡선에 대해 반대로 삼각형은 불변하지만$$ 하나는 다른 것으로 역학적 점을 변환한다.^[3] ${\displaystyle \mathrm{보다}}$ 일반적으로, 등역학 포인트는 뫼비우스 변환에서 등가역학 포인트의 등가역학 포인트의 순서가 $정하지{\displaystyle }$ 않은 쌍은${\displaystyle }$쌍 {${\displaystyle {}^{},}$ S${\displaystyle }$′} ${\displaystyle \{S,$S$\text{'}\backslash \}\}$에 적용된 동일한 변환과 동일하다$$. 개개의 등역학적 지점은 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle ABC}$의 원주 내부를$$ 변환된 삼각형의 원주 내측에 매핑하는 뫼비우스 변환에 의해 고정되며, 원주 내부와 외부를 교환하는 변환에 의해 교환된다.^[6]

각도

아폴로니우스 원의 교차점이 될 뿐만 아니라, 각각 등역학적 점은 또 다른 3중 원들의 교차점이다. $첫{\displaystyle }$ 번째 등역학적 점은 A B {\$displaystyle AB$ ${\displaystyle A}$ C ${\displaystyle AC}$및 B ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle BC}$의 쌍을 통해 세 개의 원이 교차하는 것으로$,$ 각 원은 $삼각형{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ C$${\$displaystyle ABC}$의 원주와 교차하여$$ 정점 각 2 angle/3의 렌즈를 형성한다. 마찬가지로 두 번째 isdynamic point는 원주를 교차하여 정점각 π/3으로 렌즈를 형성하는 세 개의 원들이 교차하는 지점이다.^[6]

The angles formed by the first isodynamic point with the triangle vertices satisfy the equations ${\displaystyle ASB=ACB+\pi /3}$, ${\displaystyle ASC=ABC+\pi /3}$, and ${\displaystyle BSC=B$$AC+\pi /3}$. Analogously, the angles formed by the second isodynamic point satisfy the equations${\displaystyle AS'B=ACB-\pi /3}$, ${\displaystyle AS'C=ABC-\pi /3}$, and ${\displaystyle BS'C=BAC-\pi /3}$.^[6]

등역학적 점의 페달 삼각형, 즉 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에서 $삼각형{\displaystyle }$ A ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}${\$displaystyle ABC$의 세 면으로$$ 수직으로 떨어짐으로써 형성된 삼각형은 삼각형의 양쪽에 $걸쳐$ S ${\displaystyle S}$을 반사하여 형성된 삼각형과 마찬가지로 정삼각형이다.^[5][7] 삼각형 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle ABC}$에 새겨진 모든 정삼각형 삼각형 중에서 첫 번째 isdynamic 포인트의 페달 삼각형은 최소 면적을 가진 삼각형이다$.$^[8]

추가 속성

등역학적 점은 삼각형 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle ABC}$의 두 페르마트 지점의 등각 접합점이며$,$ 그 반대의 경우도 마찬가지다.^[9]

뉴버그 큐빅에는 두 개의 등역학적 포인트가 모두 들어 있다.^[4]

원이 세 개의 호로 분할된 경우, 원호 끝점의 첫 번째 등역학적 지점은 원호 내부의 고유한 지점으로, 세 개의 호 각각이 그 지점에서 시작하는 브라운 운동으로 도달한 첫 번째 호가 될 가능성이 동등하다는 특성이 있다. 즉, 등역학적 점은 세 호의 고조파 측도가 같은 지점이다.^[10]

건설

$삼각형{\displaystyle }$ A B$$ {\$displaystyle ABC}$의 꼭지점 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ A$}$을 통한 아폴로니우스 원은 ${\displaystyle \mathrm{꼭지점}}$ $A$ ${\displaystyle$ A$}$ 에서 A B ${\$displaystyle $AB$$}$ 및 $A$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystystyle AC$$\}$ $선$으로 구성된 두 개의 (내외) 각도 이등분자를 찾아서 교차할 수 있다$$.${\displaystyle \mathrm{B행}}$ C ${\displaystyle BC}$이(가) 있는 ese 이등분선$.$ 이 두 교차점 사이의 선분할은 아폴로니우스 원의 지름이다. 등역학적 점은 이들 원 중 두 개를 구성하고 두 교차점을 찾으면 찾을 수 있다.^[3]

또 다른 나침반과 직선 구조에는 ${\displaystyle B}$ C ${\$$displaystyle$ $BC}($$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $B}$과 C ${\displaystyle$ $A}$을(를) 가로지르는$$ $꼭지점{\displaystyle }$ A의$$ $반사{\displaystyle {}^{}}$ A ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$$displaystystyle$ A$'}$을(를 통해$$ $B{\displaystyle }$ ${\$displaystytylease B})가 포함된다.$$삼각형의 ${\displaystyle \mathrm{측면}}$ $B{\displaystyle }$ C ${\displaystyle BC}$ 안쪽으로의 n등변 삼각형(이 삼각형의$$ $꼭지점{\displaystyle {}^{}}$ A ${\displaystyle {″}^{}}$ ${\$은 두 원의 교차점이며 B $[\$displaystyle $BC}$를 반지름으로 한다$$. $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle A{}^{}}$ ${\displaystyle {″}^{}}$ ${\$ 라인은 유사하게 구성된 $B{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle B{}^{}}$ ${\displaystyle {″}^{}}$ ${\$과 ${\displaystyle C{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ C ${\displaystyle {″}^{}}$ ${\$과 첫 번째 라인은$$$$ 역학 포인트로 교차한다. 두 번째 등역학적 지점은 유사하게 구성될 수 있지만 안쪽으로가 아니라 바깥쪽으로 정삼각형이 세워져 있다.^[11]

또는, 첫 번째 등역학적 점의 위치는 3행 좌표에서 계산될 수 있다^[12].

${\displaystyle \sin(A+\pi /3):\sin(B+\pi /3):\sin(C+\pi /3).}$

두 번째 등역학 포인트는 ${\displaystyle \mathrm{point}}$ / $3{\displaystyle }$$displaystyle -\pi /3}$을(를) 포함하는 유사한 공식과 함께 trilinar 좌표를 사용한다$.$ ${\displaystyle /}$ / ${\displaystyle 3\mathrm{}}$ $(\displaystyle \pi$/$3}$을(를) 대신한다.

메모들

참조

외부 링크

위키미디어 커먼즈에는 이즈다이나믹 포인트와 관련된 미디어가 있다.

클라크 킴벌링에 의한 삼각 센터 백과사전에서 등역학적 포인트 X(15)와 X(16)

• Weisstein, Eric W. "Isodynamic Points". MathWorld.