콜모고로프 방정식(마르코프 점프 프로세스)

이 글은 대부분의 독자들이 이해하기에는 너무 기술적인 것일 수도 있다. 기술 세부 정보를 삭제하지 않고 비전문가가 이해할 수 있도록 개선하십시오.(2012년 1월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

수학 및 통계학에서, 연속 시간 $마르코프$ 과정의 맥락에서, 콜모고로프 포워드 방정식과 콜모고로프 후진 방정식을 포함한 콜모고로프 방정식은 확률 $(x$, $s$y${\displaystyle }$, ${\displaystyle t}$)의 시간 진화를 설명하는 $미분 방정식$의 한 쌍의 시스템이다. 여기서$,$${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}${\$displaystyle x,y$\in $\Oomega}($상태 공간) 및 > ${\displaystyt t>s}$이(가) 각각 최종 및 초기 시간이다.

방정식

카운트 가능한 상태 공간의 경우 $x{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle x,y}$ 대신$$ $i{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i,j}$을(를) 배치했다$.$콜모고로프 포워드 방정식은 다음과 같다.

$){\displaystyle {\frac {\partial P_{ij}}}{\partial t}}}}{\$$A_{kj}(t$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $A{\displaystyle }$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle A(t)}$은 전환 속도 매트릭스(또는 제너레이터 매트릭스라고도 함)이다$$.

콜모고로프 역방정식이 있는 동안

${\displaystyle {\frac {\partial P_{ij}}{\partial s}}=-\sum _{k}A_{ik}개P_{kj}(s;t)}$

$P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$( ${\displaystyle s;}$ ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle P_{ij}(s;t)}$ 함수는 두 시간 인수 모두에서 연속적이고$$ 서로 다를 수 있다.$이{\displaystyle }$ 값은 $s$에$$상태 i {\$displaystyle s}$에 있던 시스템이 t > s {\displaystyle $j}$에 상태 $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ j$}$로 점프할$$ 확률을 나타낸다연속 수량 $A{\displaystyle {}_{}}$ i ${\displaystyle j_{}}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle A_{ij}(t)}$이(가) 충족됨

${\displaystyle A_{ij}(t)=\왼쪽[{\frac {\partial P_{ij}}{{ij}}{partial u}}}(t;u)\right]_{u=t},\quad A_{jk}(t) 0,\neq,\quad \sum \k}A_{jk}(t)=0.}$

배경

콜모고로프에 의한 방정식의 원래 도출은 유한하고 이산적인 상태 공간에서 시간연속적이고 차별적인 마르코프 공정에 대한 채프만-콜모고로프 방정식(콜모고로프 그것을 근본 방정식이라고 한다)으로 시작한다.^[1]이 공식에서 확률 $P{\displaystyle }$(${\displaystyle i}$, ${\displaystyle s;}$ ${\displaystyle j}$, $){\displaystyle P(i,s;j,t)}$는 t> ${\displaystyle t>s}$의 연속적이고 차별화할 수 있는 함수라고$$ 가정한다 또한 파생상품에 대한 적절한 한계 속성이 가정된다.펠러는 순수하게 불연속적인 마르코프 공정의 개념에서 시작하여 보다 일반적인 주 공간에 대해 공식화함으로써 약간 다른 조건에서 방정식을 도출한다.^[2]펠러는 자연 조건 하에서 콜모고로프 전진 방정식과 콜모고로프 후진 방정식에 대한 확률론적 성격의 해결책의 존재를 증명한다.^[2]

생성함수와의 관계

여전히 이산형 상태인 $경우{\displaystyle }$s = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle s=0}$을(를) 허용하고$$ 시스템이 처음에 $상태{\displaystyle }$ i ${\displaystyle i}$에서 발견되었다고 가정하면$,$ Kolmogorov 전진 방정식은 $A{\displaystyle {}_{}}$ j ${\displaystyle k_{}}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle A_{jk}(t)$의 수량으로 볼 때 공정의 확률을 찾기 위한 초기 값 문제를 설명한다$.$${\displaystyle \mathrm{쓰기}}$ p ${\displaystyle k_{}}$( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= P ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$( ${\displaystyle 0}$; t${\displaystyle }$) ${\displaystyle p_{k}(t)=$$P_{ik}(0;t)$ 여기서$$ $\sum {\displaystyle \underset{}{}}$ k ${\displaystyle \underset{}{p}}$ ${\displaystyle k_{}}$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \sum _{k}p_{k}(t)=1$ 그러면

${\displaystyle {\frac {dp_{k}}}{dt}(t)=\sum _{jk}p_{j}(t);\quad p_{k}(0)=\delta _{ik}\qquad k=0,1,\dots.}}}$

일정한 비율을 갖는 순수 사망 프로세스의 경우, 0이 아닌 유일한 계수는 A ${\displaystyle j_{}}$ ,${\displaystyle j_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$= ${\displaystyle \text{μ}}$,${\displaystyle }$j${\displaystyle }$≥ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle A_{j,j-1}=\mu ,\j\geq$ 1$}$이다$.$

${\displaystyle \PSI (x,t)=\sum _{k}x^{k}p_{k}(t),\quad }}$

이 경우 방정식 시스템은 초기 조건인 $with$${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$, $){\displaystyle {\PSI$}($x,t)$에 대한 부분 미분 방정식으로 다시 적용될 수 있다.$$$\psi {\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle x,0}$ )${\displaystyle }$= x ${\displaystyle i^{}}$ ${\$ . . 약간의 조작 후에 방정식 시스템은 읽는다.^[3]

${\displaystyle {\frac {\partial t}{\partial t}(x,t)=\mu(1-x){\pxi}{\partial x}}}{\psi}}{\partial x,t);\qquad \pSi(1,t)=1.$

역사

콜모고로프 방정식에서 짧은 역사적 기록을 찾을 수 있다.

참고 항목

• 연속 시간 마르코프 프로세스
• 점프 프로세스
• 마스터 방정식
• 포커-플랑크 방정식
• 콜모고로프 역방정식(디퓨전)

참조