칼슨의 정리

수학에서, 복잡한 분석 영역에서, 칼슨의 정리는 프리츠 데이비드 칼슨이 발견한 고유성 정리다.비공식적으로, 그것은 무한대에서 매우 빠르게 성장하지 않는 두 가지 다른 분석 기능은 정수에서 일치할 수 없다고 명시한다.그 정리는 프라그멘-린델뢰프 정리에서 얻을 수 있는데, 그 자체가 최대계량정리의 연장선이다.

칼슨의 정리는 일반적으로 뉴턴 시리즈 확장의 고유성을 방어하기 위해 발동된다.칼슨의 정리는 다른 팽창과 일반화된 유사점을 가지고 있다.

성명서

f가 다음의 세 가지 조건을 만족한다고 가정하자: 첫 번째 두 조건은 f의 성장을 무한대로 묶은 반면, 세 번째 조건은 음이 아닌 정수에 f가 소멸한다고 명시한다.

• f(z)는 지수형의 전체 함수로서, 다음을 의미한다.

${\displaystyle f(z) \leq Ce^{\tau z },\quad z\in \mathb {C}}$

일부 실제 값 C, τ에 대해.

• 그런 c < π이 존재한다.

${\displaystyle f(iy) \leq Ce^{c y },\quad y\in \mathb {R}}$

• f(n) = 음이 아닌 정수 n의 경우 0.

그렇다면 f는 똑같이 0이다.

날카로움

첫 번째 조건

첫 번째 조건은 완화될 수 있다: f가 Re z > 0에서 분석되고 Re z ≥ 0에서 연속되며 만족한다고 가정해도 충분하다.

${\displaystyle f(z) \leq Ce^{\tau z }},\quad \operatorname {Re} z>0}$

일부 실제 값 C, τ에 대해.

두 번째 조건

두 번째 조건이 날카로운지 확인하려면 f(z) = sin(πz) 함수를 고려하십시오.정수에서는 사라지지만, c = π의 증가율로 상상의 축에서는 기하급수적으로 성장하며, 실제로 0과 동일한 것은 아니다.

세 번째 조건

결과는 루벨(1956년)으로 인해 f가 정수에서 사라지는 조건을 완화시킨다.즉, 루벨은 f가 상위 밀도 1의 부분집합 A ⊂ {0, 1, 2, …}에 소멸해도 정리의 결론은 유효하다는 것을 보여주었다.

${\displaystyle \limsup _{n\to \flat }{\frac {\왼쪽 A\cap \{0,1,\cdots,n-1\}\오른쪽}{n}=1=1.}$

이 조건은 1보다 작은 상위 밀도 A 세트에 대해 정리가 실패한다는 것을 의미한다.

적용들

f(z)가 모든 유한 전방 차이 ${\displaystyle {\Delta n}^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{f}}$( 0${\displaystyle }$) ${\displaystyle \Delta ^{n}f(0)}$을(를) 갖는 함수라고 가정합시다$.$ 그 다음 뉴턴 시리즈를 고려하십시오.

${\displaystyle g(z)=\sum _{n=0}^{\infit }{z \선택 n}\Delta ^{n}f(0)}$

(${\displaystyle z\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ $){\$은(는) 이항계수이고 $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle n^{}{}^{}}$ (${\displaystyle 0}$ )$${\$displaystyle \Delta$^{$n}f$(0$)$는 n번째 전진차이다.시공에 의해, 그 다음 하나는 모든 비 음의 정수 k에 대해 그 f(k) = g(k)를 가지므로, 차이 h(k) = f(k) - g(k) = 0. 이것은 칼슨의 정리의 조건 중 하나이다. 만약 h가 다른 것을 복종한다면, h는 동일하게 0이며 f에 대한 유한 차이가 뉴턴 시리즈를 결정한다.즉, f에 대한 뉴턴 시리즈가 존재하고 그 차이가 칼슨 조건을 만족시킨다면 f는 유일무이한 것이다.

참고 항목

• 뉴턴 시리즈
• 말러의 정리
• 뉴턴 시리즈 표

참조

• F. Carlson, Sur une clusse de Taylor, (1914) 논문, 웁살라, 스웨덴, 1914.
• Riesz, M. (1920). "Sur le principe de Phragmén–Lindelöf". Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 20: 205–107., cor 21(수치) 페이지 6.
• Hardy, G.H. (1920). "On two theorems of F. Carlson and S. Wigert" (PDF). Acta Mathematica. 42: 327–339. doi:10.1007/bf02404414.
• EC. Titchmarsh, 기능 이론 (2차 Ed) (1939년) 옥스퍼드 대학 출판부 (제5.81절 참조)
• R. P. Boas, Jr. 전체 기능, (1954) Academic Press, New York.
• DeMar, R. (1962). "Existence of interpolating functions of exponential type". Trans. Amer. Math. Soc. 105 (3): 359–371. doi:10.1090/s0002-9947-1962-0141920-6.
• DeMar, R. (1963). "Vanishing Central Differences". Proc. Amer. Math. Soc. 14: 64–67. doi:10.1090/s0002-9939-1963-0143907-2.
• Rubel, L. A. (1956), "Necessary and sufficient conditions for Carlson's theorem on entire functions", Trans. Amer. Math. Soc., 83 (2): 417–429, doi:10.1090/s0002-9947-1956-0081944-8, JSTOR 1992882, MR 0081944, PMC 528143, PMID 16578453