말러의 정리

수학에서 쿠르트 말러(1958)가 도입한 말러의 정리는 다항식 측면에서 지속적인 p-adic 함수를 표현한다. 특성 0의 모든 분야에 걸쳐 다음과 같은 결과가 나타난다.

$({\displaystyle \Delta }$ f${\displaystyle }$)${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= f${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$ +${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle f}$( x )${\displaystyle (\Delta$ f$)(x)=f(x+1)-f(x)}$을(를) 전진 차이 연산자로 한다. 다항식 함수의 경우 뉴턴 시리즈가 있다.

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\inf}(\Delta ^{k}f)(0){x \선택 k}}}$

어디에

${\displaystyle {x \선택 k}={\frac {x-1)(x-2)\cdots(x-k+1)}{k!}}}$

k번째 이항계수 다항식이다.

실수의 분야에 걸쳐 함수 f가 다항식이라는 가정은 약해질 수 있지만, 단순히 연속성까지 약해질 수는 없다. 말러의 정리는 f가 p-adic 정수의 연속적인 p-adic 값 함수라면 동일한 정체성이 유지된다고 명시하고 있다. 연산자 Δ와 이 다항식 시퀀스 사이의 관계는 분화와 k번째 항이 x인^k 시퀀스 사이의 관계와 매우 유사하다.

연속성만큼 약한 가정으로도 충분하다는 것은 주목할 만한 사실이다; 대조적으로 복잡한 수 분야의 뉴턴 시리즈는 훨씬 더 엄격하게 구속되어 있고, 칼슨의 정리가 필요하다.

참조

• Mahler, K. (1958), "An interpolation series for continuous functions of a p-adic variable", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 199: 23–34, ISSN 0075-4102, MR 0095821